2022年高三上学期第一次月考数学试卷（理科） 含解析(VIII)

2022年高三上学期第一次月考数学试卷（理科） 含解析(VIII)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设U=R，若集合A=0，1，2，B=x|x22x30，则AUB=（）A0，1B0，2C1，2D0，1，22已知a=30.6，b=log2，c=cos300，则a，b，c的大小关系为（）AabcBbcaCcabDcba3命题“”的否定是（）ABCD4下列函数中，值域为R的偶函数是（）Ay=x2+1By=exexCy=lg|x|D5已知f（x）=ex（sinxcosx），则函数f（x）的图象x=处的切线的斜率为（）A2eBCeD26sin（10）cos160sin80sin（200）=（）ABCD7若（0，），且cos2+cos（+2）=，则tan（）ABCD8在ABC中AC=6，AC的垂直平分线交AB边所在直线于N点，则的（）A6B15C9D189=（）ABCD10将函数f（x）=sin（x）的图象分别向左和向右移动之后的图象的对称中心重合，则正实数的最小值是（）ABCD11已知f（x）=Asin（2x+），（A0，|），对任意x都有f（x）f（）=2，则g（x）=Acos（2x+）在区间0，上的最大值与最小值的乘积为（）ABC1D012如图AB是半圆O的直径，C，D是弧的三等分点，M，N是线段AB的三等分点，若OA=6，则=（）A18B8C26D35二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13已知向量，若，则=14已知函数y=f（x+1）1（xR）是奇函数，则f（1）=15若正整数m满足10m1251210m，则m=（lg20.3010）16在四边形ABCD中，AB=7，AC=6，CD=6sinDAC，则BD的最大值为三、解答题（本大题共5小题，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）已知命题p：实数x满足22，命题q：实数x满足x（1+m）x（1m）0（m0），若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围18（12分）设函数f（x）=cos（x）cosxsin2（x）（） 求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（） 若f（）=1，且（，），求f（）的值19（12分）已知函数f（x）=（1）求f（x）的极小值和极大值；（2）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为正数时，求l在x轴上的截距和取值范围20（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求sinB的值；（2）若a，b，c成等差数列，且公差大于0，求cosAcosC的值21（12分）已知函数f（x）=exa（x1）（aR）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若m，n，p满足|mp|np|恒成立，则称m比n更靠近p在函数f（x）有极值的前提下，当x1时，比ex1+a更靠近lnx，试求a的取值范围请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号选修4-1：几何证明选讲22（10分）如图，已知AB=AC，圆O是ABC的外接圆，CDAB，CE是圆O的直径过点B作圆O的切线交AC的延长线于点F（）求证：ABCB=CDCE；（）若，求ABC的面积选修4-4：坐标系与参数方程23已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos2+32sin2=12，且曲线C的左焦点F在直线l上（）若直线l与曲线C交于A、B两点求|FA|FB|的值；（）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值选修4-5：不等式证明选讲24已知函数f（x）=|x+a|+|2x1|（aR）（）当a=1时，求不等式f（x）2的解集；（）若f（x）2x的解集包含，求a的取值范围参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设U=R，若集合A=0，1，2，B=x|x22x30，则AUB=（）A0，1B0，2C1，2D0，1，2【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解：B=x|x22x30=x|x3或x1，则UB=x|1x3，则AUB=0，1，2，故选：D【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础2已知a=30.6，b=log2，c=cos300，则a，b，c的大小关系为（）AabcBbcaCcabDcba【考点】对数值大小的比较【分析】分别估算每个数的大小，然后比较【解答】解：a=30.61，b=log20，c=cos300=cos60=0.50，故bca；故选B【点评】本题考查了数的大小比较；依据指数函数、对数函数和三角函数的性质比较3命题“”的否定是（）ABCD【考点】命题的否定【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“”的否定是：故选：C【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题4下列函数中，值域为R的偶函数是（）Ay=x2+1By=exexCy=lg|x|D【考点】函数奇偶性的判断【分析】判断函数的奇偶性然后求解值域，推出结果即可【解答】解：y=x2+1是偶函数，值域为：1，+）y=exex是奇函数y=lg|x|是偶函数，值域为：R的值域：0，+）故选：C【点评】本题考查函数的奇偶性的判断以及函数的值域，是基础题5已知f（x）=ex（sinxcosx），则函数f（x）的图象x=处的切线的斜率为（）A2eBCeD2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数，运用导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，计算即可得到所求值【解答】解：f（x）=ex（sinxcosx）的导数为f（x）=ex（sinxcosx）+ex（cosx+sinx）=2exsinx，可得函数f（x）的图象x=处的切线的斜率为k=2esin=2e故选：D【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，属于基础题6sin（10）cos160sin80sin（200）=（）ABCD【考点】三角函数的化简求值【分析】应用诱导公式、两角和的正弦公式，求得要求式子的值【解答】解：sin（10）cos160sin80sin（200）=sin10cos20+cos10sin20=sin（10+20）=sin30=，故选：D【点评】本题主要考查应用诱导公式、两角和的正弦公式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题7若（0，），且cos2+cos（+2）=，则tan（）ABCD【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】由条件利用诱导公式、二倍角公式，同角三角函数的基本关系求得3tan2+20tan7=0，解方程求得tan的值【解答】解：若，且，则cos2sin2=（cos2+sin2），cos2sin22sincos=0，即 3tan2+20tan7=0求得tan=，或 tan=7（舍去），故选：B【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式、二倍角公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题8在ABC中AC=6，AC的垂直平分线交AB边所在直线于N点，则的（）A6B15C9D18【考点】平面向量数量积的运算【分析】先根据条件画出图形，并设AC的垂直平分线交AC于M，从而得出，这样进行数量积的运算便可求出的值【解答】解：如图，设AC垂直平分线交AC于M，则：=18+0=18故选D【点评】考查线段垂直平分线的定义，向量垂直的充要条件，向量加法的几何意义，向量数乘的几何意义，以及向量数量积的运算9=（）ABCD【考点】定积分【分析】欲求的值，只须求出被积函数的原函数，再利用积分中值定理即可求得结果【解答】解：=（lnxx1+x2）|12=故选D【点评】本小题主要考查定积分、定积分的应用、导数等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想属于基础题10将函数f（x）=sin（x）的图象分别向左和向右移动之后的图象的对称中心重合，则正实数的最小值是（）ABCD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律可得：2=k=k，kN+，当k=1时，即可求得的最小值【解答】解：将函数f（x）=sin（x）的图象分别向左和向右移动之后的图象的对称中心重合，设T为函数f（x）=sin（x）的最小正周期，则：2=k=k，kN+，即：=k，kN+，则：当k=1时，取得最小值是故选：C【点评】本题主要考查函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，三角函数周期公式的应用，由题意得到2=k=k，kN+，是解题的关键，属于中档题11已知f（x）=Asin（2x+），（A0，|），对任意x都有f（x）f（）=2，则g（x）=Acos（2x+）在区间0，上的最大值与最小值的乘积为（）ABC1D0【考点】三角函数的最值【分析】求出f（x）的表达式，从而求出g（x）的表达式，根据三角函数的性质求出g（x）的最大值和最小值即可，从而求出其乘积即可【解答】解：f（x）=Asin（2x+），（A0，|），若对任意x都有f（x）f（）=2，则A=2，f（）=2sin（2+）=2，=，g（x）=2cos（2x+），x0，2x+，2x+=时，g（x）最大，最大值是，2x+=时，g（x）最小，最小值是2，故g（x）maxg（x）min=2，故选：A【点评】本题考查了三角函数的表达式、最值问题，是一道中档题12如图AB是半圆O的直径，C，D是弧的三等分点，M，N是线段AB的三等分点，若OA=6，则=（）A18B8C26D35【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据向量加法的三角形法则，把要求向量数量积的两个向量变化为两个向量和的形式，根据多项式乘法法则，展开代入向量的模长和夹角，得到结果【解答】解：连接OC，OD，C、D是弧AB的三等分点，AOC=DOC=DOB=60，M、N是线段AB的三等分点，OA=6，|=|=2，|=|=6=+， =+，=（+）（+）=+=4+26+26+66=26故选C【点评】本题主要考查向量的三角形法则、向量的数量积、两个向量的夹角等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13已知向量，若，则=【考点】平面向量数量积的运算【分析】先根据即可求出x=2，从而可得出的坐标，进而求出的坐标，根据坐标即可求出的值【解答】解：；41（2）x=0；x=2；故答案为：【点评】考查向量平行时的坐标关系，向量坐标的加法运算，以及根据向量坐标求向量长度的方法14已知函数y=f（x+1）1（xR）是奇函数，则f（1）=1【考点】函数奇偶性的性质【分析】直接利用函数的奇偶性的性质求解即可【解答】解：函数y=f（x+1）1（xR）是奇函数，可知x=0时，y=0，可得0=f（1）1，则f（1）=1故答案为：1【点评】本题考查奇函数的性质的应用，考查计算能力15若正整数m满足10m1251210m，则m=155（lg20.3010）【考点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数、指数函数与幂函数的增长差异【分析】利用题中提示lg20.3010，把不等式同时取以10为底的对数，再利用对数的运算性质，转化为关于m的不等式求解即可【解答】解：10m1251210m，取以10为底的对数得lg10m1lg2512lg10m，即m1512lg2m又lg20.3010m1154.112m，因为m是正整数，所以 m=155故答案为 155【点评】本题考查了利用指数形式和对数形式的互化熟练掌握对数的性质对数的运算性质是解决本题的关键16在四边形ABCD中，AB=7，AC=6，CD=6sinDAC，则BD的最大值为8【考点】正弦定理【分析】由CD=6sinDAC，可得CDAD点D在以AC为直径的圆上（去掉A，B，C）可得：当BD经过AC的中点O时取最大值，利用余弦定理可得：OB，可得BD的最大值=OB+AC【解答】解：由CD=6sinDAC，可得CDAD点D在以AC为直径的圆上（去掉A，B，C）当BD经过AC的中点O时取最大值，OB2=32+72237cosBAC=25，解得OB=5，BD的最大值=5+AC=8故答案为：8【点评】本题考查了余弦定理、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）（xx秋涪陵区校级月考）已知命题p：实数x满足22，命题q：实数x满足x（1+m）x（1m）0（m0），若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】解不等式分别求出命题p，q对应的m的范围A，B，若p是q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件，即AB且AB，进而得到答案【解答】解：由22得2x10，所以记A=x|p（x）=x|2x10由1mx1+m所以记B=x|q=x|1mx1+m（m0）（8分）因为p是q的必要不充分条件，所以p是q的充分不必要条件即AB且AB，即解得m9（12分）【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，分式不等式的解法，二次不等式的解法，集合的包含关系及应用，难度中档18（12分）（xx万州区校级二模）设函数f（x）=cos（x）cosxsin2（x）（） 求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（） 若f（）=1，且（，），求f（）的值【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法【分析】（）由条件利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性得出结论（）由条件利用同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式求得的值【解答】解：（） =，f（x）的最小正周期为 由，得，f（x）的单调递增区间为 （）， 由知， =【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的周期性和单调性，属于中档题19（12分）（xx朝阳区一模）已知函数f（x）=（1）求f（x）的极小值和极大值；（2）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为正数时，求l在x轴上的截距和取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）利用导数的运算法则即可得出f（x），利用导数与函数单调性的关系及函数的极值点的定义，即可求出函数的极值；（2）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，得出切线的方程，利用方程求出与x轴交点的横坐标，再利用导数研究函数的单调性、极值、最值即可【解答】解：（1）f（x）=x2ex，f（x）=2xexx2ex=ex（2xx2），令f（x）=0，解得x=0或x=2，令f（x）0，可解得0x2；令f（x）0，可解得x0或x2，故函数在区间（，0）与（2，+）上是减函数，在区间（0，2）上是增函数x=0是极小值点，x=2极大值点，又f（0）=0，f（2）=故f（x）的极小值和极大值分别为0，；（2）设切点为（x0，），则切线方程为y=（2x0x02）（xx0），令y=0，解得x=（x02）+3，曲线y=f（x）的切线l的斜率为正数，（2x0x02）0，0x02，令g（x0）=（x02）+3，则g（x0）=当0x02时，令g（x0）=0，解得x0=2当0x02时，g（x0）0，函数g（x0）单调递减；当2x02时，g（x0）0，函数g（x0）单调递增故当x0=2时，函数g（x0）取得极大值，也即最大值，且g（2）=32综上可知：切线l在x轴上截距的取值范围是（，32【点评】本题考查利用导数求函数的极值与利用导数研究函数的单调性、切线、函数的值域，综合性强，考查了推理能力和计算能力20（12分）（xx秋涪陵区校级月考）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求sinB的值；（2）若a，b，c成等差数列，且公差大于0，求cosAcosC的值【考点】正弦定理【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换，即可求出sinB的值；（2）由等差数列和正弦定理，列出方程组即可求出cosAcosC的值【解答】解：（1）ABC中，由，根据正弦定理得，（4sinAcosC）sinB=cosBsinC4sinAsinB=cosBsinC+sinBcosC即，所以； （2）由已知和正弦定理以及（1）得，设cosAcosC=x，2+2，得； （7分）又abc，ABC，所以0B90，cosAcosC，故； （10分）代入式得；因此 （12分）【点评】本题考查了正弦定理以及三角恒等变换和等差数列的应用问题，是综合性题目21（12分）（xx秋涪陵区校级月考）已知函数f（x）=exa（x1）（aR）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若m，n，p满足|mp|np|恒成立，则称m比n更靠近p在函数f（x）有极值的前提下，当x1时，比ex1+a更靠近lnx，试求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）求出函数的导函数，分类讨论，利用导函数的符号判断函数的单调性；（2）设g（x）=lnx（x1），h（x）=ex1+alnx（x1），分类讨论，利用导数确定函数的单调性，即可求a的取值范围【解答】解：（1）f（x）=exa，若a0，则在区间（，+）上f（x）0，f（x）单调递增所以当a0时，f（x）的单调递增区间为（，+）；若a0，令f（x）=0，即ex=a，解得x=lna，因为函数f（x）=exa在区间（，+）是递增函数，所以在区间（，lna）内f（x）0，f（x）单调递减；在区间（lna，+）内f（x）0，f（x）单调递增所以当a0时，f（x）的单调递减区间为（，lna），f（x）的单调递增区间为（lna，+）；（2）由题意，a0，|lnx|ex1+alnx|，设g（x）=lnx（x1），h（x）=ex1+alnx（x1），g（x）在1，+）上为减函数，g（e）=0，1xe，g（x）g（e）=0，xe，g（x）0h（x）=ex1，h（x）在1，+）上为增函数，h（x）h（1）=0，h（x）在1，+）上为增函数，x1，h（x）h（1）=a+101xe，|lnx|ex1+alnx|，可化为lnxex1+alnx，即aex1，设p（x）=ex1（1xe），p（x）单调递减，ap（1）=e1；xe，|lnx|ex1+alnx|，可化为+lnxex1+alnx，即aex1+2lnx设q（x）=ex1+2lnx（xe），q（x）=ex1，q（x）在（e，+）上单调递减，q（x）q（e）=0，q（x）在（e，+）上单调递减，q（e）=1ee1，a1ee1综上所述，ae1【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值，分类讨论的数学思想，考查分析问题解决问题的能力请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号选修4-1：几何证明选讲22（10分）（xx常德一模）如图，已知AB=AC，圆O是ABC的外接圆，CDAB，CE是圆O的直径过点B作圆O的切线交AC的延长线于点F（）求证：ABCB=CDCE；（）若，求ABC的面积【考点】与圆有关的比例线段【分析】（）连接AE，证明RtCBDRtCEA，结合AB=AC，即可证明：ABCB=CDCE；（）证明ABFBCF，可得AC=CF，利用切割线定理有FAFC=FB2，求出AC，即可求ABC的面积【解答】证明：（）连接AE，CE是直径，CAE=90，又CDAB，CDB=90，CBD=CEA，故RtCBDRtCEA，（2分），ACCB=CDCE又AB=AC，ABCB=CDCE（）FB是O的切线，CBF=CAB在ABF和BCF中，ABFBCF，FA=2AB=2AC，AC=CF（7分）设AC=x，则根据切割线定理有FAFC=FB2x2x=8，x=2，（10分）【点评】本题主要考查了切线的性质及其应用，同时考查了相似三角形的判定和切割线定理等知识点，属于中档题选修4-4：坐标系与参数方程23（xx沈阳二模）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos2+32sin2=12，且曲线C的左焦点F在直线l上（）若直线l与曲线C交于A、B两点求|FA|FB|的值；（）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（I）求出曲线C的普通方程和焦点坐标，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程利用根与系数的关系和参数的几何意义得出；（II）设矩形的顶点坐标为（x，y），则根据x，y的关系消元得出P关于x（或y）的函数，求出此函数的最大值【解答】解：（I）曲线C的直角坐标方程为x2+3y2=12，即曲线C的左焦点F的坐标为F（2，0）F（2，0）在直线l上，直线l的参数方程为（t为参数）将直线l的参数方程代入x2+3y2=12得：t22t2=0，|FA|FB|=|t1t2|=2（II）设曲线C的内接矩形的第一象限内的顶点为M（x，y）（0，0y2），则x2+3y2=12，x=P=4x+4y=4+4y令f（y）=4+4y，则f（y）=令f（y）=0得y=1，当0y1时，f（y）0，当1y2时，f（y）0当y=1时，f（y）取得最大值16P的最大值为16【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，函数的最值，参数方程的几何意义，属于中档题选修4-5：不等式证明选讲24（xx石家庄二模）已知函数f（x）=|x+a|+|2x1|（aR）（）当a=1时，求不等式f（x）2的解集；（）若f（x）2x的解集包含，求a的取值范围【考点】带绝对值的函数【分析】（1）通过分类讨论，去掉绝对值函数中的绝对值符号，转化为分段函数，即可求得不等式f（x）0的解集；（2）由题意知，不等式可化为|x+a|+2x12x，即|x+a|1，解得a1xa+1，由f（x）2x的解集包含，可得，解出即可得到a的取值范围【解答】解：（1）当a=1时，不等式f（x）2可化为|x+1|+|2x1|2，当时，不等式为3x2，解得x，故此时不等式f（x）2的解集为x；当1x时，不等式为2x2，解得x0，故此时不等式f（x）2的解集为1x0；当x1时，不等式为3x2，解得，故x1；综上原不等式的解集为x|x0或x；（2）因为f（x）2x的解集包含，不等式可化为|x+a|+2x12x，即|x+a|1，解得a1xa+1，由已知得，解得所以a的取值范围是【点评】本题考查带绝对值的函数，考查分类讨论思想，属于中档题