2022年高三上学期9月月考数学试卷（理科） 含解析(II)

2022年高三上学期9月月考数学试卷（理科） 含解析(II)一、选择题：本题共12小题，每小题5分1已知集合U=1，2，3，4，5，6，集合A=2，3，集合B=3，5，则A（UB）等于（）A2B2，3，5C1，4，6D52f（）=，则f（2）=（）A3B1C2D3函数f（x）=的定义域为（）A（，2）（1，+）B（2，1）C（，1）（2，+）D（1，2）4已知logalogb，则下列不等式成立的是（）Aln（ab）0BC3ab1Dloga2logb25已知f（x）=ax过（1，3），则以下函数图象正确的是（）ABCD6已知实数x，y满足，2x+4y=1，则x+2y的最大值是（）A2B4CD17已知命题p：“已知f（x）为定义在R上的偶函数，则f（x+1）的图象关于直线x=1对称”，命题q：“若1a1，则方程ax2+2x+a=0有实数解”，则（）A“p且q”为真B“p或q”为假Cp假q真Dp真q假8若x，y满足且z=2x+y的最大值为4，则k的值为（）ABCD9若函数f（x）=ln（1x）ln（1+x）+a在x，的最大值为M，最小值为N，且M+N=1，则a的值是（）A1BC1D10已知函数f（x）=，若f（a）+f（a）2f（1），则a的取值范围是（）A（，11，+）B1，0C0，1D1，111已知函数f（x）=，若方程f（x）+2x8=0恰有两个不同实根，则实数a的取值范围是（）AB4，2CD12己知集合A=0，1），B=1，+），函数f（x）=，若对任意x0A，都有f（f（x0）B，则实数a的取值范围是（）A1，2）B1，+）C0，+）D（2，1二、填空题：本题4小题，每小题5分13log26log233+（）=14函数f（x）=lg（x22x3）的递增区间是15已知f（x）是定义在实数集上的函数，当x（0，1时，f（x）=2x，且对任意x都有f（x+1）=，则f（log25）=16已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x0时，f（x+2）=f（x），若f（x）满足：x0，2）时，f（x）=a|xb|，f（x）是定义在R上的周期函数，存在m使得f（x+m）=f（mx）则a+b的值为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17函数f（x）=+a关于（1，0）对称（1）求a得值；（2）解不等式f（x）18二次函数f（x）开口向上，且满足f（x+1）=f（3x）恒成立已知它的两个零点和顶点构成边长为2的正三角形（1）求f（x）的解析式；（2）讨论f（x）在t，t+3的最小值19四棱锥PABCD中，PC=AB=1，BC=a，ABC=60，底面ABCD为平行四边形，PC平面ABCD，点M，N分别为AD，PC的中点（1）求证：MN平面PAB；（2）若PAB=90，求二面角BAPD的正弦值20已知抛物线E：y2=4x焦点为F，准线为l，P为l上任意点过P作E的两条切线，切点分别为Q，R（1）若P在x轴上，求|QR|；（2）求证：以PQ为直径的圆恒过定点21已知函数f（x）=x2axlnx+ax恰有两个零点x1，x2（1）求a的范围；（2）求证：x1x2e4选修4-1：几何证明选讲22如图，BC是圆O的直径，点F在弧上，点A为弧的中点，做ADBC于点D，BF与AD交于点E，BF与AC交于点G（）证明：AE=BE（）若AC=9，GC=7，求圆O的半径选修4-4：坐标系与参数方程选讲23在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C的方程为=4sin（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l将于点A、B，若点M的坐标为（1，4），求|MA|+|MB|的值选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x2|（1）解不等f（x）+f（x+1）5；（2）若|a|1且f（ab）|a|f（），证明：|b|2参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分1已知集合U=1，2，3，4，5，6，集合A=2，3，集合B=3，5，则A（UB）等于（）A2B2，3，5C1，4，6D5【考点】交、并、补集的混合运算【分析】集合U=1，2，3，4，5，6，集合A=2，3，集合B=3，5，故CUB=1，2，4，6，由此能求出A（UB）【解答】解：集合U=1，2，3，4，5，6，集合A=2，3，集合B=3，5，CUB=1，2，4，6，A（UB）=2故选A2f（）=，则f（2）=（）A3B1C2D【考点】函数的值【分析】由f（2）=f（），能求出结果【解答】解：f（）=，f（2）=f（）=3故选：A3函数f（x）=的定义域为（）A（，2）（1，+）B（2，1）C（，1）（2，+）D（1，2）【考点】函数的定义域及其求法【分析】根据导数的性质，二次根式的性质得不等式，解出即可【解答】解：由题意得：，解得：1x2，故选：D4已知logalogb，则下列不等式成立的是（）Aln（ab）0BC3ab1Dloga2logb2【考点】对数函数的单调性与特殊点；不等关系与不等式【分析】直接利用对数函数的单调性判断即可【解答】解：logalogb，可得0ab所以ab0，3ab1故选：C5已知f（x）=ax过（1，3），则以下函数图象正确的是（）ABCD【考点】指数函数的单调性与特殊点【分析】根据幂函数的性质即可求出【解答】解：f（x）=ax过（1，3），3=a，f（x）=3x，该函数为增函数，且过点（1，1），故选：B6已知实数x，y满足，2x+4y=1，则x+2y的最大值是（）A2B4CD1【考点】基本不等式【分析】根据基本不等式的应用条件直接应用即可【解答】解：1=2x+4y=2x+22x2，则x+2y2，故选A7已知命题p：“已知f（x）为定义在R上的偶函数，则f（x+1）的图象关于直线x=1对称”，命题q：“若1a1，则方程ax2+2x+a=0有实数解”，则（）A“p且q”为真B“p或q”为假Cp假q真Dp真q假【考点】命题的真假判断与应用【分析】复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断【解答】解：f（x）为定义在R上的偶函数，对称轴为：x=0，则f（x+1）的图象看作y=f（x）的图象向左平移1个单位得到的，函数的图象关于直线x=1对称，命题q为真命题q：1a1，则方程ax2+2x+a=0，可得=44a20，方程有实数解，所以命题q是真命题，所以p且q为真故选A8若x，y满足且z=2x+y的最大值为4，则k的值为（）ABCD【考点】简单线性规划【分析】根据已知的约束条件 画出满足约束条件的可行域，再用目标函数的几何意义，求出求出直线2x+y=4与y=0相交于B（2，0），即可求解k值【解答】解：先作出不等式组对应的平面区域，直线kxy+3=0过定点（0，3），z=2x+y的最大值为4，作出直线2x+y=4，由图象知直线2x+y=4与y=0相交于B（2，0），同时B也在直线kxy+3=0上，代入直线得2k+3=0，即k=，故选：A9若函数f（x）=ln（1x）ln（1+x）+a在x，的最大值为M，最小值为N，且M+N=1，则a的值是（）A1BC1D【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】由求出f（x）=，且x时，f（x）是减函数，从而M=f（），N=f（），由此能求出a的值【解答】解：函数f（x）=ln（1x）ln（1+x）+a，f（x）=，1x1当x时，f（x）0，x时，f（x）是减函数，在x，的最大值为M，最小值为N，M=f（）=ln（1+）ln（1）+a=lnln+a=ln3+a，N=f（）=ln（1）ln（1+）+a=lnln=ln3+a，M+N=1，M+N=ln3+aln3+a=2a=1，解得a=a的值是故选：B10已知函数f（x）=，若f（a）+f（a）2f（1），则a的取值范围是（）A（，11，+）B1，0C0，1D1，1【考点】分段函数的应用【分析】先判断函数为偶函数，再判断在（0，+）上为增函数，即可求出a的范围【解答】解：f（x）=，f（x）为偶函数，f（a）+f（a）2f（1），2f（a）2f（1），f（a）f（1），当x0时，函数f（x）为增函数，|a|1，1a1，故选：D11已知函数f（x）=，若方程f（x）+2x8=0恰有两个不同实根，则实数a的取值范围是（）AB4，2CD【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】函数f（x）的图象与函数y=2x+8共有两个交点，可能为：两个交点均为y=2x+8与二次函数y=x2的交点，也可能为：两个交点为y=2x+8与y=2x+3的交点，另一个是y=2x+8与二次函数y=x2的交点，进而得到答案【解答】解：y=x2与y=2x+8共有两个交点（4，16），（2，4），y=2x+3与y=2x+8有一个交点（，），若方程f（x）+2x8=0恰有两个不同实根，则函数f（x）的图象与函数y=2x+8共有两个交点，若两个交点均为y=2x+8与二次函数y=x2的交点，则a2，若两个交点为y=2x+8与y=2x+3的交点，另一个是y=2x+8与二次函数y=x2的交点，则4a，综相所述，a，故选：A12己知集合A=0，1），B=1，+），函数f（x）=，若对任意x0A，都有f（f（x0）B，则实数a的取值范围是（）A1，2）B1，+）C0，+）D（2，1【考点】分段函数的应用【分析】求得函数y=2xx2，x0，1）的导数和单调性，可得最大值及值域，再由二次函数的值域求法，注意对称轴和区间的关系，求得有f（f（x0）的值域，再由集合的包含关系，解不等式可得a的范围【解答】解：当x0A，即x00，1），f（x0）=2x0x02，由函数y=2xx2，x0，1），导数y=2xln22x，即有y=2xln222，由0x1，可得y0，即函数y=2xln22x在（0，1）递减，且x=0时，20ln2=ln20；x=1时，2ln220，由零点存在定理可得，y=2xln22x只有一个零点，设为m（0，1）则函数y=2xx2在x0，m）递增，在（m，1）递减又x=m取得最大值t，又x=0时，y=1；x=1时，y=1则函数y=2xx2的值域为1，t当x1时，f（x）=2x2x+a=2（x）2+a，由f（x0）的值域为1，t，可得ff（x0）的值域为1+a，2t2t+a再由f（f（x0）B，可得1+a1，解得a0故选：C二、填空题：本题4小题，每小题5分13log26log233+（）=【考点】对数的运算性质【分析】利用对数函数的性质、运算法则求解【解答】解：log26log233+（）=1=故答案为：14函数f（x）=lg（x22x3）的递增区间是（3，+）【考点】复合函数的单调性【分析】确定函数的定义域，确定内、外函数的单调性，即可求得结论【解答】解：令t=x22x3=（x1）24，则函数在（1，+）上单调递增当x22x30时，可得x3或x1f（t）=lgt在（0，+）上单调增函数f（x）=lg（x22x3）的递增区间是（3，+）故答案为：（3，+）15已知f（x）是定义在实数集上的函数，当x（0，1时，f（x）=2x，且对任意x都有f（x+1）=，则f（log25）=【考点】抽象函数及其应用；函数的值【分析】根据当x（0，1时，f（x）=2x，先求f（log252）的值，进而根据f（x+1）=迭代可得答案【解答】解：log25（2，3），log252（0，1），又当x（0，1时，f（x）=2x，f（log252）=，又对任意x都有f（x+1）=，f（log251）=f（log252）=，故答案为：16已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x0时，f（x+2）=f（x），若f（x）满足：x0，2）时，f（x）=a|xb|，f（x）是定义在R上的周期函数，存在m使得f（x+m）=f（mx）则a+b的值为【考点】函数奇偶性的性质【分析】根据函数奇偶性和周期性的关系，判断函数的对称性，利用对称性建立方程进行求解即可【解答】解：f（x）是定义在R上的偶函数，且当x0时，f（x+2）=f（x），当x0时，f（x+2）=f（x）=f（x），即此时函数关于x=1x0，2）时，f（x）=a|xb|，对称轴x=b，则b=1，则f（x）=a|x1|，若存在m使得f（x+m）=f（mx），则f（x+m）=f（mx）=f（xm），即f（x+2m）=f（x），则f（x+4m）=f（x+2m）=f（x），f（x+2）=f（x），函数的周期是2，则4m=2，则m=，则f（x+）=f（x），则f（0）=f（1），则a1=（a0）=a，则a=，则a+b=+1=，故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17函数f（x）=+a关于（1，0）对称（1）求a得值；（2）解不等式f（x）【考点】其他不等式的解法；函数的图象【分析】（1）利用函数f（x）=+a关于（1，0）对称，得到f（0）+f（2）=0，解得a（2）将解析式代入，解分式型不等式【解答】解：（1）因为函数f（x）=+a关于（1，0）对称，所以f（0）+f（2）=0，解得a=；（2）不等式f（x）为，化简得，即，所以2x3或2x2，解得xlog23或x118二次函数f（x）开口向上，且满足f（x+1）=f（3x）恒成立已知它的两个零点和顶点构成边长为2的正三角形（1）求f（x）的解析式；（2）讨论f（x）在t，t+3的最小值【考点】二次函数的性质【分析】（1）f（x）的对称轴为x=2，从而得出f（x）的零点和顶点坐标，利用待定系数法求出解析式；（2）讨论对称轴和区间t，t+3的位置关系，得出f（x）的单调性，根据单调性计算最小值【解答】解：（1）f（x+1）=f（3x），f（x）的对称轴为x=2，f（x）的两个零点和顶点构成边长为2的正三角形，且f（x）开口向上，f（x）的两个零点为1，3，顶点坐标为（2，），设f（x）=a（x1）（x3），则f（2）=，即a=，a=f（x）=（x1）（x3）（2）若2t，则f（x）在t，t+3上是增函数，fmin（x）=f（t）=（t1）（t3），若t2t+3，即1t2时，f（x）在t，t+3上先减后增，fmin（x）=f（2）=，若2t+3，即t1时，f（x）在t，t+3上是减函数，fmin（x）=f（t+3）=t（t+2）综上，fmin（x）=19四棱锥PABCD中，PC=AB=1，BC=a，ABC=60，底面ABCD为平行四边形，PC平面ABCD，点M，N分别为AD，PC的中点（1）求证：MN平面PAB；（2）若PAB=90，求二面角BAPD的正弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（1）取PB为中点Q，连结NQ，QA，推导出四边形AMNQ为平行四边形，从而MNAQ，由此能证明MN平面PAB（2）以C为原点，CD为x轴，CA为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角BAPD的正弦值【解答】证明：（1）取PB为中点Q，连结NQ，QA，点M，N分别为AD，PC的中点，QN是中位线，QNBC，又ABCD是平行四边形，ADBCQN，M是AD中点，QN=BC=AD=AM，四边形AMNQ为平行四边形，MNAQ，又MN平面PAB，AQ平面PAB，MN平面PAB解：（2）PC平面ABCD，PCAB，又PAAB，AB面PAC，ABAC，a=2，CDAC，以C为原点，CD为x轴，CA为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），P（0，0，1），=（0，1），=（1，0，0），=（1，0），设面ABP的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，），设面APD的法向量=（a，b，c），则，取a=，得=（），cos=，二面角BAPD的正弦值为=20已知抛物线E：y2=4x焦点为F，准线为l，P为l上任意点过P作E的两条切线，切点分别为Q，R（1）若P在x轴上，求|QR|；（2）求证：以PQ为直径的圆恒过定点【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）由P（1，0），设直线PQ方程，代入抛物线方程，由=0，求得直线的斜率，代入方程求得切点分别为Q，R坐标，即可求得求|QR|；（2）由对称性可知：该点必在x轴上，设M（m，0），设Q（，y0），P（1，t），则切线为yy0=2x+，求得t=y0，根据=0，即可求得m的值【解答】解：（1）由已知可知：抛物线y2=4x焦点为F（1，0），P（1，0），设PQ：y=k（x+1），整理得：k2x2+（2k24）x+k2=0，由=0，即（2k24）24k2k2=0，解得：k=1，代入求得x=1，y=2，切点分别为Q和R坐标为（1，2），|QR|=4；（2）证明：由对称性可知：该点必在x轴上，设M（m，0），设Q（，y0），P（1，t），则切线为yy0=2x+，t=y0，由题意可知： =0，即（m）（m+1）+y0（y0）=0，整理得：（m2+m2）+（1m）=0m=1，恒过点M（1，0）21已知函数f（x）=x2axlnx+ax恰有两个零点x1，x2（1）求a的范围；（2）求证：x1x2e4【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（1）要使得f（x）=x（xalnx+a）有两个零点，即g（x）=xalnx+a有两个零点，即求g（x）的最小值要小于0即可（2）要求证x1x2e4 即求证lnx1x24；令，lnx1x2=+2=；所以，原不等式即证：【解答】解：（1）f（x）=x（xalnx+a），函数的定义域为（0，+）设g（x）=xalnx+a，所以g（x）有两个零点，g（x）=，a0时，g（x）单调递增，显然不成立；a0时，令g（x）=0，则导函数零点为x=a；所以f（x）在（0，a）上单调递减，（a，+）上单调递增，故g（x）最小值为g（a）=aalna+a，要使得g（x）有两个零点，则g（a）0，解得：e2a所以a的取值范围为：（e2，+）证明：（2）因为； x2alnx2+a=0 ；+：；：；令，lnx1x2=+2=所以，原不等式即证：即证：设h（t）=lnt2，有h（t）=所以h（t）单调递增，所以h（t）h（1）=0，所以不等式得证选修4-1：几何证明选讲22如图，BC是圆O的直径，点F在弧上，点A为弧的中点，做ADBC于点D，BF与AD交于点E，BF与AC交于点G（）证明：AE=BE（）若AC=9，GC=7，求圆O的半径【考点】与圆有关的比例线段【分析】（）证明：ABF=BAD，即可证明AE=BE（）由ABGACB，求出AB，直角ABC中由勾股定理知BC，即可求圆O的半径【解答】证明：（）连接AB，点A为弧的中点，=，ABF=ACB又ADBC，BC是圆O的直径，BAD=ACB，ABF=BAD，AE=BE （）由ABGACB知AB2=AGAC=29AB=3 直角ABC中由勾股定理知BC=3 圆的半径为 选修4-4：坐标系与参数方程选讲23在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C的方程为=4sin（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l将于点A、B，若点M的坐标为（1，4），求|MA|+|MB|的值【考点】参数方程化成普通方程【分析】（1）由x=cos，y=sin，x2+y2=2，能求出圆C的直角坐标方程（2）将直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程，化简整理，再由韦达定理和t的几何意义能求出|MA|+|MB|的值【解答】解：（1）圆C的方程为=4sin，2=4sin，圆C的直角坐标方程为x2+y24y=0即x2+（y2）2=4（2）将直线l的参数方程代入圆的方程，整理，得t23t+1=0，=184=140，设t1，t2为方程的两个实根，则t1+t2=3，t1t2=1，t1，t2均为正数，又直线l过M（1，4），由t的几何意义得：|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x2|（1）解不等f（x）+f（x+1）5；（2）若|a|1且f（ab）|a|f（），证明：|b|2【考点】绝对值不等式的解法【分析】（1）通过讨论x的范围，去掉绝对值号，解不等式即可；（2）求出f（ab）和f（），代入不等式，问题转化为|ab2|b2a|，平方证明即可【解答】（1）解：原不等式等价于|x2|+|x1|5，当x2时，不等式可化为：（x2）+（x1）5，解得：x4，当1x2时，不等式可化为（2x）+（x1）5，15，无解，x1时，不等式可化为：（2x）+（1x）5，解得：x1，综上，不等式的解集是x|x4或x1；（2）证明：|ab2|a|2|ab2|b2a|（ab2）2（b2a）2a2b2+4b24a20（a21）（b24）0，|a|1，a210，b240，|b|2，证毕xx1月6日