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第1章 常用逻辑用语充分条件、必要条件与充要条件的探究【例1】已知p：2m0,0n0，则x4；命题的否定：若x23x40，则x4.等价转化思想的应用【例3】已知c0，设p：函数ycx在R上单调递减；q：不等式x|x2c|1的解集为R.如果p和q有且仅有一个为真命题，求c的取值范围解函数ycx在R上单调递减0c1.不等式x|x2c|1的解集为R函数yx|x2c|在R上恒大于1.x|x2c|函数yx|x2c|在R上的最小值为2c，2c1，得c.如果p真q假，则解得0c；如果q真p假，则解得c1.c的取值范围为1，)等价转化思想是包含在化归思想中的一种比较具体的数学思想，本章主要体现在四种命题间的相互转化与集合之间的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等，即以充要条件为基础，把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式，从而使复杂问题简单化、具体化.3已知命题p：(x1)(x5)0，命题q：1mx0)(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；(2)若m5，“pq”为真命题，“pq”为假命题，求实数x的取值范围解(1)由命题p：(x1)(x5)0，解得1x5.命题q：1mx1m(m0)p是q的充分条件，1,51m,1m)，解得m4，则实数m的取值范围为(4，)(2)m5，命题q：4x6.“pq”为真命题，“pq”为假命题，命题p，q为一真一假当p真q假时，可得解得x.当q真p假时，可得解得4x1或5x6.因此x的取值范围是4，1)(5,6).分类讨论思想的应用【例4】已知关于x的方程(mZ)：mx24x40，x24mx4m24m50，求方程和的根都是整数的充要条件解当m0时，方程的根为x1，方程化为x250，无整数根，m0.当m0时，方程有实数根的充要条件是1644m0m1；方程有实数根的充要条件是16m24(4m24m5)0m.m1.又mZ，m1或m1.当m1时，方程为x24x40，无整数根；当m1时，方程为x24x40，方程为x24x50.此时和均有整数根综上，方程和均有整数根的充要条件是m1.分类讨论思想是中学数学中常用的数学思想之一，利用分类讨论思想解答问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点.解题中要找清讨论的标准.4已知p：2；q：x2axxa.若綈p是綈q的充分条件，求实数a的取值范围解p：2，0，即1x3.又q：x2axxa，x2(a1)xa0.当a1时，ax1；当a1时，x1；当a1时，1xa.设q对应的集合为A，p对应的集合为B，綈p是綈q的充分条件RBRA，即AB.当a1时，AB，不合题意；当a1时，AB，符合题意；当a1时，1xa，要使AB，则1a3.综上，符合条件的a1,3)- 6 -
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