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2022年高三数学 第78课时 函数的极限和连续性教案 教学目标: 了解函数极限的概念;掌握极限的四则运算法则;会求某些数列与函数的极限;了解函数连续的意义;理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质 (一) 主要知识及主要方法: 函数极限的定义:当自变量取正值并且无限增大时,如果函数无限趋近于一个常数,就说当趋向于正无穷大时,函数的极限是,记作:,或者当时, ;当自变量取负值并且绝对值无限增大时,如果函数无限趋近于一个常数,就说当趋向于负无穷大时,函数的极限是.记作或者当当时, 如果且,那么就说当趋向于无穷大时,函数的极限是,记作:或者当时, .常数函数: (),有. 存在,表示和都存在,且两者相等所以中的既有,又有的意义,而数列极限中的仅有的意义.趋向于定值的函数极限概念:当自变量无限趋近于()时,如果函数无限趋近于一个常数,就说当趋向时,函数的极限是,记作.特别地,;.其中表示当从左侧趋近于时的左极限,表示当从右侧趋近于时的右极限.对于函数极限有如下的运算法则:如果,,那么, .当是常数,是正整数时:,这些法则对于的情况仍然适用.函数在一点连续的定义: 如果函数在点处有定义,存在,且,那么函数在点处连续.函数在内连续的定义:如果函数在某一开区间内每一点处连续,就说函数在开区间内连续,或是开区间内的连续函数.函数在上连续的定义:如果在开区间内连续,在左端点处有,在右端点处有就说函数在闭区间上连续,或是闭区间上的连续函数.最大值:是闭区间上的连续函数,如果对于任意,那么在点处有最大值.最小值:是闭区间上的连续函数,如果对于任意,那么在点处有最小值.最大值最小值定理如果是闭区间上的连续函数,那么在闭区间上有最大值和最小值.极限问题的基本类型:分式型,主要看分子和分母的首项系数;指数型(和型),通过变形使得各式有极限;根式型(型),通过有理化变形使得各式有极限;根的存在定理:若函数在上连续,则方程至少有一根在区间内;若函数在上连续且单调,则方程有且只有一根在区间内.(二)典例分析: 问题1求下列函数的极限:; ;();(广东) (陕西) 问题2若,求、的值.设,若,求常数、的值.(重庆)设正数满足,则问题3讨论下列函数在给定点处的连续性.,点;,点;试讨论函数,点问题4已知 ,在区间上连续,求(届高三四川眉山市一诊)已知函数在上连续且单调递增,则实数 问题5已知函数,当时,求的最大值和最小值;解方程;求出该函数的值域.问题6证明:方程至少有一个小于的正根.(三)课后作业: 已知,求的值.若(、为常数),则 ; 已知(),那么给一个定义,使在处连续,则应是 (济南一模)设是一个一元三次函数且,则 设函数在处连续,且,则 (四)走向高考: (江西)若,则(湖北)若,则常数的值为(天津)设,则 (四川) (江西) 等于 等于 等于 不存在(天津)设等差数列的公差是,前项的和为,则 (全国)已知数列的通项,其前项和为,则 (湖南)下列四个命题中,不正确的是若函数在处连续,则函数的不连续点是和若函数,满足,则yxO(安徽)如图,抛物线与轴的正半轴交于点,将线段的等分点从左至右依次记为,过这些分点分别作轴的垂线,与抛物线的交点依次为,从而得到个直角三角形当时,这些三角形的面积之和的极限为 (江西)已知函数在区间内连续,且求实数和的值;解不等式(广东)设函数,其中常数为整数.当为何值时,;定理:若函数在上连续,且与异号,则至少存在一点,使得.试用上述定理证明:当整数时,方程在内有两个实根.
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