资源描述
会计学1反常积分反常积分21xy A1xyO引例引例. 曲线21xy 和直线1x及 x 轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作12dxxA其含义可理解为 bbxxA12dlimbbbx11limbb11lim1第1页/共20页, ),)(aCxf,ab 取若若xxfbabd)(lim存在存在 ,则称此极限为则称此极限为 f (x) 的无穷限的无穷限反常积分反常积分, 记作记作xxfxxfbabad)(limd)(这时称反常积分这时称反常积分xxfad)(收敛收敛 ;如果上述极限不存在如果上述极限不存在,就称反常积分就称反常积分xxfad)(发散发散 .类似地类似地 , 若若, ,()(bCxf则定义则定义xxfxxfbaabd)(limd)(第2页/共20页, ),()(Cxf若则定义则定义xxfd)(xxfcaad)(limxxfbcbd)(lim( c 为任意取定的常数为任意取定的常数 )只要有一个极限不存在只要有一个极限不存在 , 就称就称xxfd)(发散发散 .无穷限的反常积分也称为无穷限的反常积分也称为第一类反常积分第一类反常积分. ,并非不定型并非不定型 ,说明说明: 上述定义中若出现上述定义中若出现 它表明该反常积分发散它表明该反常积分发散 . .第3页/共20页,)()(的原函数是若xfxF引入记号引入记号; )(lim)(xFFx)(lim)(xFFx则有类似牛则有类似牛 莱公式的计算表达式莱公式的计算表达式 :xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF第4页/共20页.1d2 xx解解:21dxxarctanx)2(2xyO思考思考: ?01d2对吗xxx分析分析:)1ln(211d22xxxx原积分发散原积分发散 !注意注意: 对反常积分对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零偶倍奇零” 的性质的性质, 否则会出现错误否则会出现错误 .第5页/共20页apxxd证证:当当 p =1 时有时有 axxdaxlnapxxdappx11当当 p 1 时有时有 1p1p,11pap当当 p 1 时收敛时收敛 ; p1 时发散时发散 .,因此因此, 当当 p 1 时时, 反常积分收敛反常积分收敛 , 其值为其值为;11pap当当 p1 时时, 反常积分发散反常积分发散 . 第6页/共20页. )0(de0ptttp解解:tppte原式00de1tptptppe12021p第7页/共20页引例引例:曲线曲线xy1所围成的所围成的1x与与 x 轴轴, y 轴和直线轴和直线开口曲边梯形的面积开口曲边梯形的面积可记作可记作10dxxA其含义可理解为其含义可理解为 10dlimxxA12lim0 x)1 (2lim02xy1A1xyO第8页/共20页, ,()(baCxf而在点而在点 a 的右邻域内无界的右邻域内无界,0取存在存在 ,xxfxxfbabad)(limd)(0这时称反常积分这时称反常积分xxfbad)(收敛收敛 ;如果上述极限不存在如果上述极限不存在,就称反常积分就称反常积分xxfbad)(发散发散 .类似地类似地 , 若若, ),)(baCxf而在而在 b 的左邻域内无界的左邻域内无界,xxfxxfbabad)(limd)(0若极限若极限baxxfd)(lim0数数 f (x) 在在 a , b 上的反常积分上的反常积分, 则定义则定义则称此极限为函则称此极限为函 记作记作第9页/共20页若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 ,)(,)(外连续上除点在若bcacbaxf而在点而在点 c 的的无界函数的积分又称作无界函数的积分又称作第二类反常积分第二类反常积分,无界点常称无界点常称邻域内无界邻域内无界 ,xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(xxfcad)(lim110 xxfbcd)(lim220为为瑕点瑕点(奇点奇点) .例如例如,xxxd11112xxd) 1(11间断点间断点,而不是反常积分而不是反常积分. 则本质上是常义积分则本质上是常义积分, 则定义则定义第10页/共20页,)()(的原函数是设xfxF计算表达式计算表达式 : xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbF则也有类似牛则也有类似牛 莱公式的莱公式的若若 b 为瑕点为瑕点, 则则若若 a 为瑕点为瑕点, 则则若若 a , b 都为瑕点都为瑕点, 则则, ),(bac则则xxfbad)()()(cFbF)()(aFcF可相消吗可相消吗?第11页/共20页112dxx211111x下述解法是否正确下述解法是否正确: , 积分收敛积分收敛. )0(d022axaxa解解: 显然瑕点为显然瑕点为 a , 所以所以原式原式0arcsinaax1arcsin2例例5. 讨论反常积分讨论反常积分112dxx的收敛性的收敛性 . 解解:112dxx012dxx102dxx101x011x所以反常积分所以反常积分112dxx发散发散 .第12页/共20页baqaxx)(d证证: 当当 q = 1 时时,当当 q 1 时收敛时收敛 ; q1 时发散时发散 .baaxxdbaax ln当当 q1 时时baqaxx)(dabqqax1)(11q,1)(1qabq1q,所以当所以当 q 1 时时, 该广义积分收敛该广义积分收敛 , 其值为其值为;1)(1qabq当当 q 1 时时, 该广义积分发散该广义积分发散 .第13页/共20页 1. 反常积分反常积分积分区间无限积分区间无限被积函数无界被积函数无界常义积分的极限常义积分的极限 2. 两个重要的反常积分两个重要的反常积分apxxdbaqaxx)(d1p1p)0( abaqxbx)(d1q,1)(1qabq1q,) 1(11pap第14页/共20页相转化相转化 .例如例如 ,1021dxx）令txsin(20dtxxxd11104210121d122txxx102112)()d(xxxx)1(xxt令022dtt(2) 当一题同时含两类反常积分时当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分分别讨论每一区间上的反常积分.第15页/共20页P260 1 (4) , (5) , (6) , (9) , (10) ; 2 ; 3提示提示: P260 题22)(lndkxxx2)(ln)d(lnkxx,1时当k12)2)(ln1(1)(lnd)(kkkxxxkI,)2)(ln1()(1kkkf令求其最大值 .第16页/共20页的值。的值。求常数求常数已知已知adxexaxaxaxxx,4)(lim22 练练 习习第17页/共20页xxxxxd11d04204, 并求其值 .解解:041dxx令xt1tttd1112014tttd1042xxxd1042xxxxxxxd11d211d0420404xxxd1121042xxxxd121021122第18页/共20页xxxxd121021122)1(d2)(121021xxxx012arctan221xx22第19页/共20页
展开阅读全文