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专题04 解三角形知识必备一、正弦定理1正弦定理在中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即.正弦定理对任意三角形都成立2常见变形（1） （2） （3） （4）正弦定理的推广：，其中为的外接圆的半径.3解决的问题（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角4在中，已知，和时，三角形解的情况二、余弦定理1余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论：.3解决的问题（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角4利用余弦定理解三角形的步骤三、三角形的面积1三角形的面积公式设的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S.（1） (h为BC边上的高)；（2）；（3）(为三角形的内切圆半径)2三角形的高的公式hA=bsinC=csinB，hB=csinA=asinC，hC=asinB=bsinA核心考点考点一 直接利用正、余弦定理解三角形【例1】（正弦定理）设的角所对的边分别是，若则A BC D【答案】B【解析】由正弦定理得.故选B【例2】（余弦定理）已知分别是的三个内角所对的边，且 则 A2B1CD【答案】B 【例3】（正、余弦定理的综合）在中，分别为内角，的对边，若，则ABCD【答案】D【解析】因为，所以由正弦定理得，又因为，所以，令，所以由余弦定理得，选D备考指南1利用正、余弦定理求边和角的方法：（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用2常见结论：（1）三角形的内角和定理：在中，其变式有：，等（2）三角形中的三角函数关系：；.考点二 三角形解的个数或形状的判断【例4】（三角形个数的判断）在中，分别是内角所对的边，若a=2，b=，A=45，则满足条件的三角形有A1个B2个C0个D无法确定【答案】B 【解析】，满足条件的三角形有2个，故选B备考指南判断三角形解的个数的两种方法1代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断2几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数.【例5】（三角形形状的判断）在中，分别是内角所对的边，若，则的形状为A等腰三角形B直角三角形C钝角三角形D锐角三角形【答案】B 备考指南利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路：1“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.2“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用这个结论提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.考点三 三角形的面积与周长问题【例6】（直接求面积）在中，则的面积等于ABCD3【答案】C 【解析】在中，所以的面积等于，故选C【例7】（三角形周长问题）在中，角，的对边分别为，已知，（1）求的值；（2）求的周长【解析】（1）因为在中，所以，又，所以由正弦定理可得得，所以，因为，所以（2）由余弦定理知，所以，即，解得或（舍去），所以的周长为备考指南1求三角形面积的方法若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键2三角形中，已知面积求边、角的方法三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解考点四 三角形中的范围或最值问题【例8】（范围问题）已知是的内角所对的边，则角的取值范围是 .【答案】（0，【例9】（最值问题）中，角所对的边分别为，（1）求的大小；（2）若的面积为，求的最小值【解析】（1），即，由正弦定理得，由余弦定理得，.（2）由（1）知，=，=2，=2，当且仅当时取等号，（舍）或，=.备考指南求最值或范围时,注意公式的选择.1求取值范围时,用正弦定理转化为解三角函数值域.2求最大或最小值时,用余弦定理和均值不等式.注意均值不等式只能求一端的最值,有时由两边之和大于第三边求另一个.能力突破1已知的三个内角所对的边分别是，若，则角的大小为A B C D【答案】D 【解析】由正弦定理得，化简得，故.【名师点睛】本题主要考查正弦定理的应用，考查利用正弦定理进行边角互化的方法.由于题目所给已知条件一边是角的形式，另一边是边的形式，由此我们考虑将两边同时化为边或者同时转化为角的形式，考虑到正弦定理，故将角转化为边，然后利用余弦定理将式子转化为余弦值，由此求得的大小.2已知中，角的对边分别为，若，则ABCD【答案】D【解析】由已知可得，由余弦定理可得.所以.3在中，角，的对边分别为，若，则的面积为ABCD【答案】A 4在中，角所对的边分别为.若.（1）求角的大小；（2）若的面积为，且，求的值.【解析】（1）由题意知，因为，所以，所以，则.因为，所以. （2）因为，所以.由余弦定理得，则，所以，解得. 5如图所示，在四边形中，且，（1）求的面积；（2）若，求的长【解析】（1）因为，所以，又，所以，所以（2）由余弦定理可得，因为，所以，解得高考通关1（2017山东理）在中，角A，B，C的对边分别为，若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是A B C D【答案】A【解析】由题意知，所以，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A，B，C的式子，再用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.2（2018新课标理）在中，则ABC D【答案】A【解析】因为所以，选A.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.3（2018新课标理）的内角的对边分别为，若的面积为，则ABCD【答案】C【解析】由题可知，所以，由余弦定理，得，因为，所以，故选C.4（2017新课标理）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为. （1）求sin Bsin C;（2）若6cos Bcos C=1，a=3，求的周长.【解析】（1）由题设得，即.由正弦定理得.故.（2）由题设及（1）得，即.所以，故.由题设得，即.由余弦定理得，即，得.故的周长为.【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.5（2017新课标理）的内角的对边分别为，已知（1）求；（2）若，的面积为，求【解析】（1）由题设及，可得，故上式两边平方，整理得，解得(舍去)，【名师点睛】解三角形问题是高考的高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理，三角形的面积公式等知识进行求解解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意三者之间的关系，这样的题目小而活，备受命题者的青睐你都掌握了吗？ 有哪些问题？整理一下！ 13
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