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21函数概念学 习 目 标核 心 素 养1.通过实例，了解生活中的变量关系(易混点)2理解函数的概念及函数的三要素(重点)3会求一些简单函数的定义域和值域(重点、难点)4能够正确使用区间表示某些函数的定义域和值域(重点、难点)1.通过学习函数的概念，提升数学抽象素养2通过求一些简单函数的定义域和值域，培养数学运算素养.1生活中的变量关系阅读教材P23P25内容，完成下列问题并非有依赖关系的两个变量都有函数关系只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应时，才称它们之间具有函数关系2函数的概念阅读教材P26P27“值域是s|s0”之间的部分，完成下列问题(1)定义给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数(2)记法f：AB，或yf(x)，xA.(3)名称x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域集合y|yf(x)，xA叫作函数的值域，称y是x的函数思考：函数yx21(xR)与函数yt21(tR)是同一函数吗？提示是同一函数，这两个函数定义域相同，对应关系也相同因此，这两个函数是同一函数3区间的概念阅读教材P27从“研究函数常常用到区间的概念”“例1”以上内容，完成下列问题(1)区间的定义条件：aax|xax|xa符号a，)(a，)(，a(，a)几何表示1下列等式中，y不是x的函数关系的是()Ay2x ByCyx25 Dy2x25D选项A、B、C符合函数定义对于选项D，当x0时，y.故y不是x的函数2函数y的定义域为()Ax|x1 Bx|x0Cx|x1，或x0 Dx|0x1D依题意，得解得0x1.3集合x|x0，且x1用区间表示为_答案 0,1)(1，)4若函数f(x)2x23x5，则f(2)_.9f(2)2223259.生活中的变量关系及判断【例1】下列两个变量之间是否存在依赖关系，其中哪些是函数关系？(1)圆的面积与其半径之间的关系；(2)家庭收入与消费支出之间的关系；(3)人的身高与视力之间的关系；(4)价格不变的情况下，商品销售额和销售量之间的关系思路探究当一个变量随着另一个变量的变化而变化时，这两个变量之间存在依赖关系；存在依赖关系的两个变量，对于一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应时，这两个变量具有函数关系解(1)圆的面积随圆的半径的变化而变化，所以圆的面积与其半径之间存在依赖关系，又因为对每一个半径的值，都有唯一的圆的面积与之对应，故圆的面积是半径的函数(2)消费支出随家庭收入的变化而变化，消费支出与家庭收入之间存在依赖关系，但消费支出还要受到其他因素的影响，二者之间不是函数关系(3)人的身高与视力之间不存在依赖关系(4)价格不变的情况下，商品销售额随销售量的变化而变化，二者存在依赖关系，且商品销售额是销售量的函数综上可知，(1)(4)中的变量存在依赖关系，且是函数关系；(2)中的变量存在依赖关系，不是函数关系；(3)中的变量不存在依赖关系1判断两个变量之间是否存在依赖关系，只需看一个变量发生变化时，另一个变量是否会随之变化2判断两个具有依赖关系的变量是否是函数关系，关键是看二者之间的关系是否具有确定性，即验证对于一个变量的每一个值，另一个变量是否都有唯一确定的值与之对应1下列变量之间是否具有依赖关系？其中哪些是函数关系？正方形的面积和它的边长之间的关系；姚明罚球次数与进球次数之间的关系；施肥量与作物产量之间的关系；汽车从A地到B地所用时间与汽车速度之间的关系解中两个变量都存在依赖关系，其中是函数关系，不是函数关系函数的概念【例2】(1)设Mx|0x2，Ny|0y2，给出下列四个图形：能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是()A0 B1C2 D3(2)下图中能表示函数关系的是_(1)B(2)(1)中，因为在集合M中，当1x2时，在N中无元素与之对应，所以不是；中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以是；中，x2对应元素y3N，所以不是；中，当x1时，在N中有两个元素与之对应，所以不是因此只有是故选B.(2)由于中的2与1和3同时对应，故不是函数(1)判断所给对应是否为函数的方法先观察两个数集A，B是否非空.验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性.(2)根据图形判断对应是否为函数的步骤任取一条垂直于x轴的直线l.在定义域内平行移动直线l.若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.2下列各式是否表示y是x的函数关系？如果是，写出这个函数的解析式；若不是，请说明原因(1)5x2y1(xR)；(2)xy3(x0)；(3)x2y21(x(1,0)；(4)x3y31(xR)解(1)5x2y1(xR)是函数关系，解析式为yx；(2)xy3(x0)是函数关系，解析式为y(x0)；(3)x2y21(x(1,0)不是函数关系，因对于x(1,0)的任意一个值，对应的y值有两个；(4)x3y31(xR)是函数关系，解析式为y.求函数的定义域【例3】求下列函数的定义域：(1)y；(2)y.思路探究求函数的定义域就是求使函数表达式有意义的自变量的取值范围，可通过列不等式或不等式组求解解(1)依题意解得1x1.所以，函数y的定义域为1,1(2)依题意，解得x1，且x0，且x1.所以，函数y的定义域为(，1)(1,0)(0,11当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值范围(1)偶次根号下的式子大于或等于零；(2)分式中分母不能为0；(3)零次幂的底数不为0；(4)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况2注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示3函数y的定义域是()Ax|x1 Bx|x0Cx|x0，或x1 Dx|0x1A依题意1x0，解得x1.所以，函数y的定义域为x|x1求函数值与值域探究问题1已知f(x)，如何求f？提示：f.2已知f(x)，若f(x)2，如何求x?提示：由f(x)2，得2，解得x2.3已知f(x)，如何求ff(x)?提示：ff(x).已知f(x)(xR，x2)，g(x)x4(xR)(1)求f(1)，g(1)的值；(2)求fg(x)的值思路探究(1)将x1分别代入f(x)与g(x)的函数表达式中求出函数值(2)将xx4代入f(x)的解析式中，求出fg(x)解(1)f(1)1，g(1)145.(2)fg(x)f(x4)(xR，且x2)1(变结论)在本例条件下，求gf(1)的值及f(2x1)的表达式解gf(1)g(1)145.f(2x1).2(变条件、变结论)若将本例g(x)的定义域改为0,1,2,3，求g(x)的值域解因为g(x)x4，x0,1,2,3，所以g(0)4，g(1)5，g(2)6，g(3)7.所以g(x)的值域为4,5,6,7(1)求函数值的方法先要确定出函数的对应关系f的具体含义，然后将变量取值代入解析式计算，对于fg(x)型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意fg(x)与gf(x)的区别.(2)求函数值域的常用方法观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；配方法：此法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.1对函数相等的概念的理解(1)函数有三个要素：定义域、值域、对应关系函数的定义域和对应关系共同确定函数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数(2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数，因为函数对应关系不一定相同如yx与y3x的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数2区间实质上是数轴上某一线段或射线上的所有点所对应的实数的取值集合，即用端点所对应的数、“”(正无穷大)、“”(负无穷大)、方括号(包含端点)、小圆括号(不包含端点)等来表示的部分实数组成的集合如x|axb(a，b，x|xb(，b是数集描述法的变式.1思考辨析(1)数学成绩与物理成绩的关系是函数关系()(2)根据函数的定义，定义域中的多个x可以对应同一个y值()(3)在函数f：AB中，值域即集合B.()答案(1)(2)(3)2已知f(x)x21，则ff(1)_.5f(1)(1)212，ff(1)f(2)2215.3函数y的定义域是_x|x1由x210，得x1.所以函数y的定义域为x|x14已知函数f(x).(1)求f(2)和ff(2)；(2)若f(x)，求x；(3)求函数f(x)的值域解(1)f(2)，ff(2)f.(2)由f(x)，得，x23，x.(3)f(x)1.x211，20，111.函数f(x)的值域为1,1)- 8 -
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