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6.1 连续型随机变量 6.2正态分布学 习 目 标核 心 素 养1.了解连续型随机变量的概念以及连续型随机变量的分布密度函数(难点)2认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义(重点)通过对正态分布的学习，培养“逻辑推理”、“数学抽象”、“数学运算”的数学素养.1正态分布(1)在频率分布直方图中，为了了解得更多，图中的区间会分得更细，如果将区间无限细分，最终得到一条曲线，这条曲线称为随机变量X的分布密度曲线，这条曲线对应的函数称为X的分布密度函数(2)若随机变量X的分布密度函数为f(x)e，其中与分别是随机变量X的均值与标准差，则称X服从参数和2的正态分布，记作XN(，2)2正态曲线的性质(1)函数图像关于直线x对称；(2)(0)的大小决定函数图像的胖、瘦；(3)P(X)68.3%；P(2X2)95.4%；P(3X3)99.7%.1若XN，Y6X，则EY等于()A1 BC6D36答案C2设随机变量XN(，2), 且P(Xc)P(Xc), 则c等于()A0B CD答案D3已知随机变量X服从正态分布N(2，2)，则P(X2)()A B C DD由题意知X的均值为2，因此P(X2).4正态曲线关于y轴对称，则它所对应的正态总体均值为()A1B1C0D不确定C由正态曲线性质知均值为0.5正态分布的概率密度函数P(x)e在(3,7内取值的概率为_. 0.683由题意可知XN(5,4)，且5，2，所以P(3X7)P(X)0.683.正态曲线及其性质【例1】某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是()A甲科总体的标准差最小B丙科总体的平均数最小C乙科总体的标准差及平均数都居中D甲、乙、丙的总体的平均数不相同A由题中图像可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态密度曲线的性质，可知越大，正态曲线越扁平；越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙故选A.用正态曲线的性质可以求参数，(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x对称，由此性质结合图像求.(2)正态曲线在x处达到峰值，由此性质结合图像可求.(3)由的大小区分曲线的胖瘦.1(1)如图是一个正态曲线，总体随机变量的均值_，方差2_.(2)某正态分布密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，则总体落入区间(0,2)内的概率为_(1)202(2)0.477(1)从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x20对称，最大值是，所以20，解得，因此总体随机变量的均值20，方差2()22.(2)正态分布密度函数是f(x)e，x(，)，若它是偶函数，则0，f(x)的最大值为f()，1，P(0X2)P(2X2)P(2X2)0.9540.477.正态分布下的概率计算【例2】(1)已知随机变量服从正态分布N(2，2)，且P(4)0.8，则P(02)()A0.6 B0.4C0.3D0.2(2)在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(1,1)内取值的概率C(1)随机变量X服从正态分布N(2，2)，2，对称轴是x2.P(4)0.8，P(4)P(0)0.2，P(04)0.6，P(02)0.3.故选C.(2)由题意得1，2，所以P(1X3)P(12X12)0.683 0.又因为正态曲线关于x1对称，所以P(1X1)P(1X3)P(1X3)0.341 5.1求解本类问题的解题思路是充分利用正态曲线的对称性，把待求区间的概率转化到已知区间的概率2常用结论有：(1)对任意的a，有P(Xa)P(Xa)；(2)P(Xx0)1P(Xx0)；(3)P(aXb)P(Xb)P(Xa)2设XN(1,22)，试求：(1)P(1X3)；(2)P(3X5)解因为XN(1,22)，所以1，2.(1)P(1X3)P(12X12)P(X)0.683.(2)因为P(3X5)P(3X1)，所以P(3X5)P (3X5)P (1X3)P (14X14)P (12X12)P (2X2)P (X)(0.9540.683)0.135 5.正态分布的实际应用探究问题1若某工厂生产的圆柱形零件的外直径N(4,0.25)，那么该圆柱形零件外直径的均值，标准差分别是什么？提示零件外直径的均值为4，标准差0.5.2某工厂生产的圆柱形零件的外直径N(4,0.25)，若零件的外直径在(3.5,4.5内的为一等品试问1 000件这种零件中约有多少件一等品？提示P(3.54.5)P()0.683 0，所以1 000件产品中大约有1 0000.683 0683(件)一等品【例3】在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即XN(90,100)(1)试求考试成绩X位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)之间的考生大约有多少人思路探究：解XN(90,100)，90，10.(1)P(70X110)P(90210X90210)0.954，即成绩X位于区间(70,110)内的概率为0.954.(2)P(80X100)P(9010X9010)0.683，2 0000.6831 366(人)即考试成绩在(80,100)之间的考生大约有1 366人正态曲线的应用及求解策略,解决此类题目的关键在于将待求的问题向(，)， (2，2)， (3，3)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想.3某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4,0.052)，质量检查人员从该厂生产的1 000个零件中随机抽查一个，测得它的外直径为3.7 cm，该厂生产的这批零件是否合格？解由于X服从正态分布N(4,0.052)，由正态分布的性质，可知正态分布N(4,0.052)在(430.05,430.05)之外的取值的概率只有0.0027,3.7(3.85,4.15)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为该批零件是不合格的1正态分布中的参数和完全确定了正态分布，参数就是随机变量X的均值，它可以用样本的均值去估计；参数就是随机变量X的标准差，它可以用样本的标准差去估计2因为P(3X1230B01212130D01213D当0，1时，正态曲线f(x)e.在x0时，取最大值，故21.由正态曲线的性质，当一定时，曲线的形状由确定越小，曲线越“瘦高”；越大，曲线越“矮胖”，于是有01213.3若随机变量XN(，2)，则P(X)_.由于随机变量XN(，2)，其正态密度曲线关于直线X对称，故P(X).4已知随机变量X服从正态分布N(2，2)，且P(X4)0.84，则P(X0)_.0.16由XN(2，2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为x2，则P(X0)P(X4)1P(X4)10.840.16.5一批灯泡的使用时间X(单位：小时)服从正态分布N(10 000,4002)，求这批灯泡中“使用时间超过10 800小时”的概率解依题意得104，400.P(104800X104800)P(2X2)0.954.由正态分布性质知P(X104800)故2P(X10 800)P(104800X10 800)0.023，故使用时间超过10 800小时的概率为0.023.- 7 -
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