2019-2020学年高中数学 第3章 推理与证明 2 数学证明学案 北师大版选修1-2

2数学证明学 习 目 标核 心 素 养1.理解演绎推理的概念(重点)2掌握演绎推理的基本模式，并能用它们进行一些简单的推理(重点)3能用“三段论”证明简单的数学问题(难点)通过对演绎推理的理解及应用，提升学生的数学抽象和逻辑推理的核心素养.1证明(1)证明命题的依据：命题的条件和已知的定义、公理、定理(2)证明的方法：演绎推理2演绎推理的主要形式演绎推理的一种形式：三段论，其推理形式如下：(1)大前提：提供了一个一般性道理(2)小前提：研究对象的特殊情况(3)结论：根据大前提和小前提作出的判断特别提醒运用三段论推理时，常可省略大前提或小前提，对于复杂的证明，也常把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提1下面几种推理中是演绎推理的为()A由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B猜想数列，的通项公式为an(nN)C半径为r的圆的面积Sr2，则单位圆的面积SD由平面直角坐标系中圆的方程为(xa)2(yb)2r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(xa)2(yb)2(zc)2r2CA，B为归纳推理，D为类比推理，C为演绎推理2下面几种推理过程是演绎推理的是()A两条直线平行，同旁内角互补，如果A与B是两条平行直线的同旁内角，则AB180B某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得出高三所有班级中的人数都超过50人C由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D在数列an中，a11，an(n2)，通过计算a2，a3，a4猜想出an的通项公式AA是演绎推理，B，D是归纳推理，C是类比推理3函数y2x5的图像是一条直线，用三段论表示为：大前提：_；小前提：_；结论：_.答案一次函数的图像是一条直线函数y2x5是一次函数函数y2x5的图像是一条直线把演绎推理写成三段论的形式【例1】将下列演绎推理写成三段论的形式(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数；(2)三角形的内角和为180，RtABC的内角和为180；(3)通项公式为an3n2(n2)的数列an为等差数列思路点拨：三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果bc，ab，则ac.”其中，bc为大前提，提供了已知的一般性原理；ab为小前提，提供了一个特殊情况；ac为大前提和小前提联合产生的逻辑结果解(1)一切奇数都不能被2整除(大前提)75不能被2整除(小前提)75是奇数(结论)(2)三角形的内角和为180.(大前提)RtABC是三角形(小前提)RtABC的内角和为180.(结论)(3)数列an中，如果当n2时，anan1为同一常数，则an为等差数列(大前提)通项公式an3n2，n2时，anan13n23(n1)23(常数)(小前提)通项公式为an3n2(n2)的数列an为等差数列(结论)把演绎推理写成“三段论”的一般方法1用“三段论”写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般性原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般性原理与特殊情况的内在联系2在寻找大前提时，要保证推理的正确性，可以寻找一个使结论成立的充分条件作为大前提1将下列演绎推理写成三段论的形式(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，A，B是等腰三角形的两底角，则AB.解(1)平行四边形的对角线互相平分，(大前提)菱形是平行四边形，(小前提)菱形的对角线互相平分(结论)(2)等腰三角形的两底角相等，(大前提)A，B是等腰三角形的两底角，(小前提)AB.(结论)演绎推理在几何中的应用【例2】如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB边上的点，BFDA，DEBA，求证：DEAF.写出“三段论”形式的演绎推理思路点拨：用三段论的模式依次证明：(1)DFAE，(2)四边形AEDF为平行四边形，(3)DEAF.解(1)同位角相等，两直线平行，(大前提)BFD和A是同位角，且BFDA，(小前提)所以DFAE.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DEBA且DFEA，(小前提)所以四边形AEDF为平行四边形(结论)(3)平行四边形的对边相等，(大前提)DE和AF为平行四边形AEDF的对边，(小前提)所以DEAF.(结论)“三段论”证题的步骤及一般原理1用“三段论”证明命题的步骤(1)理清楚证明命题的一般思路；(2)找出每一个结论得出的原因；(3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来2几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论2证明：如果梯形的两腰和一底相等，那么它的对角线必平分另一底上的两个角解已知在梯形ABCD中(如图所示)，ABDCAD，AC和BD是它的对角线，求证：CA平分BCD，BD平分CBA.证明：等腰三角形的两底角相等，(大前提)DAC是等腰三角形，DCDA，(小前提)12.(结论)两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，(大前提)1和3是平行线AD，BC被AC 所截的内错角，(小前提)13.(结论)等于同一个量的两个量相等，(大前提)2，3都等于1，(小前提)2和3相等(结论)即CA平分BCD.同理BD平分CBA.演绎推理在代数中的应用探究问题1演绎推理的结论一定正确吗？提示演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论一定正确2因为对数函数ylogax(a0，a1)是增函数，而ylogx是对数函数，所以ylogx是增函数上面的推理形式和结论正确吗？提示推理形式正确，结论不正确因为大前提是错误的【例3】已知a，b，m均为正实数，ba，用三段论形式证明：.思路点拨：利用不等式的性质证明解因为不等式两边同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)b0，(小前提)所以mbma.(结论)因为不等式两边同加上一个数，不等号方向不变，(大前提)mbma，(小前提)所以mbabmaab，即b(am)a(bm)(结论)因为不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变，(大前提)b(am)0，(小前提)所以，即0”，你认为这个推理()A大前提错误B小前提错误C推理形式错误 D是正确的A这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a是实数”，结论是“a20”显然结论错误，原因是大前提错误3如图所示，因为四边形ABCD是平行四边形，所以ABCD，BCAD.又因为ABC和CDA的三边对应相等，所以ABCCDA.上述推理的两个步骤中分别省略了 _、_.答案大前提大前提4用三段论的形式写出下列演绎推理(1)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；(2)0.是有理数解(1)因为矩形的对角线相等，(大前提)而正方形是矩形，(小前提)所以正方形的对角线相等(结论)(2)所有的循环小数都是有理数，(大前提)0.是循环小数，(小前提)所以，0.是有理数(结论)- 7 -