2018版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程疑难规律方法学案 新人教B版选修2-1

第二章 圆锥曲线与方程1利用椭圆的定义解题椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的几何性质有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明1求最值例1线段|AB|4，|PA|PB|6，M是AB的中点，当P点在同一平面内运动时，PM的长度的最小值是()A2 B. C. D5解析由于|PA|PB|64|AB|，故由椭圆定义知P点的轨迹是以M为原点，A、B为焦点的椭圆，且a3，c2，b.于是PM的长度的最小值是b.答案C2求动点坐标例2椭圆1上到两个焦点F1，F2的距离之积最大的点的坐标是_解析设椭圆上的动点为P，由椭圆的定义可知|PF1|PF2|2a10，所以|PF1|PF2|2225，当且仅当|PF1|PF2|时取等号由解得|PF1|PF2|5a，此时点P恰好是椭圆短轴的两端点，即所求点的坐标为(3，0)答案(3，0)点评由椭圆的定义可得“|PF1|PF2|10”，即两个正数|PF1|，|PF2|的和为定值，结合均值不等式可求|PF1|，|PF2|积的最大值，结合图形可得所求点P的坐标3求焦点三角形面积例3如图所示，已知椭圆的方程为1，若点P在第二象限，且PF1F2120，求PF1F2的面积解由已知，得a2，b，所以c1，|F1F2|2c2.在PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos 120，即|PF2|2|PF1|242|PF1|， 由椭圆定义，得|PF1|PF2|4，即|PF2|4|PF1|.将代入，得|PF1|.所以2，即PF1F2的面积是.点评在PF1F2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于|PF1|，|PF2|的方程组，消去|PF2|可求|PF1|.从以上问题，我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解.2如何求椭圆的离心率1由椭圆的定义求离心率例1以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于4个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为_解析如图所示，设椭圆的方程为1 (ab0)，半焦距为c，由题意知F1AF290，AF2F160.|AF2|c，|AF1|2csin 60c.|AF1|AF2|2a(1)c.e1.答案1点评本题利用了圆及正六边形的几何性质，并结合椭圆的定义，化难为易，使问题简单解决2解方程(组)求离心率例2椭圆1 (ab0)的左焦点为F1(c，0)，A(a，0)、B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为，则椭圆的离心率e_.解析如图所示，直线AB的方程为1，即bxayab0.点F1(c，0)到直线AB的距离为，|ac|，即7a214ac7c2a2b2.又b2a2c2，整理，得5a214ac8c20.两边同除以a2并由e知，8e214e50，解得e或e(舍去)答案3利用数形结合求离心率例3在平面直角坐标系中，已知椭圆1(ab0)，圆O的半径为a，过点P作圆O的两条切线，且这两条切线互相垂直，则离心率e_.解析如图所示，切线PA、PB互相垂直，PAPB.又OAPA，OBPB，OAOB，则四边形OAPB是正方形，故OPOA，即a，e.答案4综合类例4设M为椭圆1上一点，F1、F2为椭圆的左、右焦点，如果MF1F275，MF2F115，求椭圆的离心率解由正弦定理得，e.点评此题可推广为若MF1F2，MF2F1，则椭圆的离心率e.3活用双曲线定义妙解题在解双曲线中的有关求动点轨迹、离心率、最值等问题时，若能灵活应用双曲线的定义，能把大题化为小题，起到事半功倍的作用下面举例说明1求动点轨迹例1动圆C与两定圆C1：x2(y5)21和圆C2：x2(y5)216都外切，求动圆圆心C的轨迹方程解设动圆圆心为C(x，y)，半径为r，因为动圆C与两定圆相外切，所以即|CC2|CC1|3|C1C2|10，所以点C的轨迹是以C1(0，5)，C2(0，5)为焦点的双曲线的上支，且a，c5，所以b2.故动圆圆心C的轨迹方程为1(y)点评依据动圆与两定圆外切建立关系式，易得到|CC2|CC1|30，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，试求该双曲线离心率的取值范围解因为|PF1|4|PF2|，点P在双曲线的右支上，所以设|PF2|m，则|PF1|4m，由双曲线的定义，则|PF1|PF2|4mm2a，所以ma.又|PF1|PF2|F1F2|，即4mm2c，所以mc，即ac，所以e.又e1，所以双曲线离心率的取值范围为(1，点评本题利用双曲线的定义及三角形的两边之和与第三边之间的关系建立了关于双曲线基本量a，c的不等关系，使问题得以巧妙地转化、获解4抛物线的焦点弦例1如图所示，AB是抛物线y22px(p0)过焦点F的一条弦设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，过A、M、B分别向抛物线的准线l作垂线，垂足分别为A1、M1、B1，则有以下重要结论：(1)以AB为直径的圆必与准线相切；(2)|AB|2(x0)(焦点弦长与中点坐标的关系)；(3)|AB|x1x2p；(4)A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值，即x1x2，y1y2p2；(5)A1FB1F；(6)A、O、B1三点共线；(7).以下以第(7)条结论为例证明：证明当直线AB的斜率不存在，即与x轴垂直时，|FA|FB|p，.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为yk，并代入y22px，22px，即k2x2p(2k2)x0.设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xAxB，xAxB.|FA|xA，|FB|xB，|FA|FB|xAxBp，|FA|FB|xAxB(xAxB)(xAxBp)|FA|FB|FA|FB|，即.点评该结论是抛物线过焦点的弦所具有的一个重要性质，解题时，不可忽视ABx轴的情况例2设F为抛物线y24x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若0，则|_.解析设A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，又F(1，0)由0知(x11)(x21)(x31)0，即x1x2x33，|x1x2x3p6.答案65求曲线方程的常用方法曲线方程的求法是解析几何的重要内容和高考的常考点求曲线方程时，应根据曲线的不同背景，不同的结构特征，选用不同的思路和方法，才能简捷明快地解决问题下面对其求法进行探究1定义法求曲线方程时，如果动点轨迹满足已知曲线的定义，则可根据题设条件和图形的特点，恰当运用平面几何的知识去寻求其数量关系，再由曲线定义直接写出方程，这种方法叫做定义法例1如图，点A为圆形纸片内不同于圆心C的定点，动点M在圆周上，将纸片折起，使点M与点A重合，设折痕m交线段CM于点N.现将圆形纸片放在平面直角坐标系xOy中，设圆C：(x1)2y24a2 (a1)，A(1，0)，记点N的轨迹为曲线E.(1)证明曲线E是椭圆，并写出当a2时该椭圆的标准方程；(2)设直线l过点C和椭圆E的上顶点B，点A关于直线l的对称点为点Q，若椭圆E的离心率e，求点Q的纵坐标的取值范围解(1) 依题意，直线m为线段AM的垂直平分线，|NA|NM|.|NC|NA|NC|NM|CM|2a2|AC|，N的轨迹是以C、A为焦点，长轴长为2a，焦距为2的椭圆当a2时，长轴长为2a4，焦距为2c2，b2a2c23.椭圆的标准方程为1. (2)设椭圆的标准方程为1 (ab0)由(1)知a2b21.又C(1，0)，B(0，b)，直线l的方程为1，即bxyb0.设Q(x，y)，点Q与点A(1，0)关于直线l对称，消去x得y.离心率e，e2，即.a24.b214，即b，y2，当且仅当b1时取等号又当b时，y；当b时，y.y2.点Q的纵坐标的取值范围是，22直接法若题设条件有明显的等量关系，或者可运用平面几何的知识推导出等量关系，则可通过“建系、设点、列式、化简、检验”五个步骤直接求出动点的轨迹方程，这种“五步法”可称为直接法例2已知直线l1：2x3y20，l2：3x2y30.有一动圆M(圆心和半径都在变动)与l1，l2都相交，并且l1，l2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24.求圆心M的轨迹方程解如图，设M(x，y)，圆半径为r，M到l1，l2的距离分别是d1，d2，则d132r2，d122r2，dd25，即2225，化简得圆心M的轨迹方程是(x1)2y265.点评若动点运动的规律是一些几何量的等量关系，则常用直接法求解，即将这些关系直接转化成含有动点坐标x，y的方程即可3待定系数法若已知曲线(轨迹)的形状，求曲线(轨迹)的方程时，可由待定系数法求解例3已知椭圆的对称轴为坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cosOFA，求椭圆的方程解椭圆的长轴长为6，cosOFA，所以点A不是长轴的顶点，是短轴的顶点，所以|OF|c，|AF|a3，所以c2，b232225，故椭圆的方程为1或1.4相关点法(或代入法)如果点P的运动轨迹或所在的曲线已知，又点P与点Q的坐标之间可以建立某种关系，借助于点P的运动轨迹便可得到点Q的运动轨迹例4如图所示，从双曲线x2y21上一点Q引直线l：xy2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程分析设P(x，y)，因为P是QN的中点，为此需用P点的坐标表示Q点的坐标，然后代入双曲线方程即可解设P点坐标为(x，y)，双曲线上点Q的坐标为(x0，y0)，点P是线段QN的中点，N点的坐标为(2xx0，2yy0)又点N在直线xy2上，2xx02yy02，即x0y02x2y2.又QNl，kQN1，即x0y0xy.由，得x0(3xy2)，y0(x3y2)又点Q在双曲线上，(3xy2)2(x3y2)21.化简，得22.线段QN的中点P的轨迹方程为22.点评本题中动点P与点Q相关，而Q点的轨迹确定，所以解决这类问题的关键是找出P、Q两点坐标间的关系，用相关点法求解5参数法有时求动点满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现(或经分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约，即动点的坐标(x，y)中的x，y分别随另一个变量的变化而变化，我们可以设这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法例5已知点P在直线x2上移动，直线l通过原点且与OP垂直，通过点A(1，0)及点P的直线m和直线l交于点Q，求点Q的轨迹方程解如图，设OP的斜率为k，则P(2，2k)当k0时，直线l的方程：yx；直线m的方程：y2k(x1)联立消去k得2x2y22x0 (x1)当k0时，点Q的坐标(0，0)也满足上式，故点Q的轨迹方程为2x2y22x0(x1)6解析几何中的定值与最值问题1定点、定值问题对于解析几何中的定点、定值问题，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口例1已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A，B两点，与a(3，1)共线设M为椭圆上任意一点，且 (，R)，求证：22为定值证明M是椭圆上任意一点，若M与A重合，则，此时1，0，221，现在需要证明22为定值1.设椭圆方程为1 (ab0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为N(x0，y0)，得0，即，又kAB1，y0x0.直线ON的方向向量为，a，.a23b2，椭圆方程为x23y23b2，又直线方程为yxc.联立得4x26cx3c23b20.x1x2c，x1x2c2.又设M(x，y)，则由，得代入椭圆方程整理得2(x3y)2(x3y)2(x1x23y1y2)3b2.又x3y3b2，x3y3b2，x1x23y1y24x1x23c(x1x2)3c2c2c23c20，221，故22为定值例2已知椭圆1(a0，b0)过点(0，1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列直线l与x轴正半轴和y轴分别交于Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足1，2.(1)求椭圆的标准方程；(2)若123，试证明：直线l过定点并求此定点解(1)设椭圆的焦距为2c，由题意知b1，且(2a)2(2b)22(2c)2，又a2b2c2，所以a23.所以椭圆的方程为y21.(2)由题意设P(0，m)，Q(x0，0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，设l方程为xt(ym)，由1知(x1，y1m)1(x0x1，y1)，y1my11，由题意y10，11.同理由2知21.123，y1y2m(y1y2)0，联立得(t23)y22mt2yt2m230，由题意知4m2t44(t23)(t2m23)0，且有y1y2，y1y2，代入得t2m232m2t20，(mt)21，由题意mt0，mt1，满足，得l方程为xty1，过定点(1，0)，即Q为定点2最值问题解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及均值不等式法等，求解最大或最小值例3已知F是双曲线1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为_解析设右焦点为F，由题意可知F坐标为(4，0)，根据双曲线的定义，|PF|PF|4，|PF|PA|4|PF|PA|，要使|PF|PA|最小，只需|PF|PA|最小即可，|PF|PA|最小需P、F、A三点共线，最小值即4|FA|4459.答案9点评“化曲为直”求与距离有关的最值是平面几何中一种巧妙的方法，特别是涉及圆锥曲线上动点与定点和焦点距离之和的最值问题常用此法例4已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求的最小值解(1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有|x|1.化简得y22x2|x|.当x0时，y24x；当x0时，y0.所以动点P的轨迹C的方程为y24x (x0)和y0 (x0)，则圆的方程可设为(xp)2(yp)28，由于O(0，0)在圆上，p2p28，解得p2，圆C的方程为(x2)2(y2)28.(2)椭圆1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，由椭圆的定义知2a10，a5，椭圆右焦点为F(4，0)假设存在异于原点的点Q(m，n)使|QF|OF|，则有且m2n20，解得故圆C上存在满足条件的点Q.3直线存在型问题例3试问是否能找到一条斜率为k (k0)的直线l与椭圆y21交于两个不同的点M，N，且使M，N到点A(0，1)的距离相等，若存在，试求出k的取值范围；若不存在，请说明理由分析假设满足条件的直线l存在，由平面解析几何的相关知识求解解设直线l：ykxm为满足条件的直线，再设P为MN的中点，欲满足条件，只要APMN即可由得(13k2)x26mkx3m230.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则xP，yPkxPm，kAP.APMN， (k0)，故m.由36m2k24(13k2)(3m23)9(13k2)(1k2)0，得1k|F1F2|，亦即2a2c.而本题中|MF1|MF2|F1F2|，所以点M的轨迹不是椭圆，而是线段F1F2.正解因为点M到两定点F1，F2的距离之和为|F1F2|，所以点M的轨迹是线段F1F2.答案D3忽视标准方程的特征而致误例3设抛物线ymx2 (m0)的准线与直线y1的距离为3，求抛物线的标准方程错解抛物线ymx2 (m0)的准线方程为y.又与直线y1的距离为3的直线为y2或y4.故2或4.m8或m16.所以抛物线的标准方程为y8x2或y16x2.错因分析错解忽视了抛物线标准方程中的系数，应位于一次项前这个特征，故本题应先化为x2y的形式，再求解.正解由于ymx2 (m0)可化为x2y，其准线方程为y.由题意知2或4，解得m或m.则所求抛物线的标准方程为x28y或x216y.4涉及弦长问题时，忽视判别式0这一隐含条件而致误例4正方形ABCD的A，B两点在抛物线yx2上，另两点C，D在直线yx4上，求正方形的边长错解AB与直线yx4平行，设AB的直线方程为yxb，A(x1，x)，B(x2，x)，则由x2xb0，|AB|2(1k2)(x1x2)24x1x22(14b)AB与直线yx4间的距离为d，2(14b)，即b28b120，解得b2或b6，|AB|3或|AB|5.错因分析在考虑直线AB与抛物线相交时，必须有方程x2xb0的判别式0，以此来限制b的取舍.正解AB与直线yx4平行，设AB的直线方程为yxb，A(x1，x)，B(x2，x)，则由x2xb0，|AB|2(1k2)(x1x2)24x1x22(14b)AB与直线yx4间的距离为d，2(14b)，即b28b120，解得b2或b6，14b0，b.b2或b6都满足0，b2或b6.|AB|3或|AB|5.5求解抛物线标准方程时，忽略对焦点位置讨论致误例5抛物线的焦点F在x轴上，点A(m，3)在抛物线上，且|AF|5，求抛物线的标准方程错解一因为抛物线的焦点F在x轴上，且点A(m，3)在抛物线上，所以抛物线方程可设为y22px(p0)设点A到准线的距离为d，则d|AF|m，所以解得或所以抛物线方程为y22x或y218x.错解二因为抛物线的焦点F在x轴上，且点A(m，3)在抛物线上，所以当m0时，点A在第四象限，抛物线方程可设为y22px(p0)设点A到准线的距离为d，则d|AF|m，所以解得或所以抛物线方程为y22x或y218x.当m0)，设点A到准线的距离为d，则d|AF|m，所以解得或(舍去)所以抛物线方程为y22(5)x.综上所述，抛物线方程为y22(5)x或y22x或y218x.错因分析当抛物线的焦点位置无法确定时，需分类讨论.正解因为抛物线的焦点F在x轴上，且点A(m，3)在抛物线上，所以当m0时，点A在第四象限，抛物线方程可设为y22px(p0)，设点A到准线的距离为d，则d|AF|m，所以解得或所以抛物线方程为y22x或y218x.当m0)，设A到准线的距离为d，则d|AF|m，所以解得或所以抛物线方程为y22x或y218x.综上所述，抛物线方程为y22x或y218x或y22x或y218x.9圆锥曲线中的数学思想方法1方程思想方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或解方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决本章中，方程思想的应用最为广泛例1已知直线yx2和椭圆1 (ab0)相交于A，B两点，且a2b，若|AB|2，求椭圆的方程解由消去y并整理得x24x82b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由根与系数的关系得x1x24，x1x282b2.|AB|2， 2，即2，解得b24，故a24b216.所求椭圆的方程为1.2函数思想很多与圆锥曲线有关的问题中的各个数量在运动变化时，都是相互联系、相互制约的，它们之间构成函数关系这类问题若用函数思想来分析、寻找解题思路，会有很好的效果一些最值问题常用函数思想，运用根与系数的关系求弦的中点和弦长问题，是经常使用的方法例2若点(x，y)在1 (b0)上运动，求x22y的最大值解1 (b0)，x240，即byb.x22y42y2y424.当b，即0b，即b4时，若yb，则x22y取得最大值，其最大值为2b.综上所述，x22y的最大值为3转化和化归思想在解决圆锥曲线的综合问题时，经常利用转化和化归思想转化题中的已知条件和所求，真正化归为直线和圆锥曲线的基本问题这里的转化和化归非常关键，没有转化和化归，就很难找到解决问题的途径和方法例3如图所示，已知椭圆1，直线l：x12，P是l上任意一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在线段OP上，且满足|OQ|OP|OR|2，当点P在l上运动时，求点Q的轨迹方程解设P(12，yP)，R(xR，yR)，Q(x，y)，POx.|OR|2|OQ|OP|，2.由题意知xR0，x0，xx12.又O，Q，R三点共线，kOQkOR，即.由得y.点R(xR，yR)在椭圆1上，1.由得2(x1)23y22 (x0)，点Q的轨迹方程是2(x1)23y22 (x0)4分类讨论思想本章中，涉及的字母参数较多，同时圆锥曲线的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以必须要注意分类讨论例4求与双曲线y21有共同的渐近线且焦距为10的双曲线的方程分析由题意可设所求双曲线的方程为y2 (0)，将分为0，0时，c24525，即5，所求双曲线的方程为1.当0时，c2(4)()525，即5，所求双曲线的方程为1.综上所述，所求双曲线的方程为1或1.5数形结合思想利用数形结合思想，可以解决某些最值、轨迹、参数范围等问题例5在ABC中，BC边固定，顶点A在移动，设|BC|m，当三个角满足条件|sin Csin B|sin A|时，求顶点A的轨迹方程解以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系，如图所示则B，C.设点A坐标(x，y)，由题设，得|sin Csin B|sin A|.根据正弦定理，得|AB|AC|mm|BC|.可知点A在以B、C为焦点的双曲线上2am，a.又cm，b2c2a2m2.故所求点A的轨迹方程为1(y0).23