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第68讲参数方程考纲要求考情分析命题趋势1.了解参数方程，了解参数的意义2能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.2017全国卷，222016全国卷，232016江苏卷，21(C)参数方程部分主要考查参数方程与普通方程的互化，并且多与极坐标方程结合考查.分值：510分1参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上_任意一点_的坐标x，y都是某个变数t的函数：并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称_参数_，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做_普通方程_2直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)(2)圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(为参数)(3)椭圆1(ab0)的参数方程为(为参数)椭圆1(ab0)的参数方程为(为参数)1思维辨析(在括号内打“”或打“”)(1)参数方程(t1)表示直线()(2)参数方程当m为参数时表示直线，当为参数时表示的曲线为圆()(3)直线 (t为参数)的倾斜角为30.()(4)参数方程表示的曲线为椭圆()解析 (1)t1，xt12，y2t1，故参数方程表示的曲线是直线的一部分(2)当m为参数时，xycos cos 表示直线，当为参数时，(xm)2(ym)21表示圆(3)方程可化为表示直线其倾斜角为30.(4)，x0，y0，方程不表示椭圆2参数方程(t为参数)化为普通方程为_3xy40(x0,2)_解析 x，y4343x，又x20,2)，x0,2)，所求的普通方程为3xy40(x0,2)3在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为和(t为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为_(2,1)_解析 由C1得x2y25，且由C2得x1y，由联立解得或(舍)4直线(t为参数)与圆(为参数)相切，则切线的倾斜角为_或_.解析 直线的普通方程为bxay4b0，圆的普通方程为(x2)2y23，因为直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为，从而有，即3a23b24b2，所以ba，而直线的倾斜角的正切值tan ，所以tan ，因此切线的倾斜角为或.5在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(为参数，a0)有一个公共点在x轴上，则a.解析 将曲线C1与C2的方程化为普通方程求解消去参数t得2xy30，又消去参数得1.根据题意可知C1与x轴交点在C2上，则在方程2xy30中，令y0得x.将代入1，得1，又a0，a.一参数方程与普通方程的互化将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2cos21等(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要出现增解【例1】 将下列参数方程化为普通方程(1)(t为参数)；(2)(为参数)解析 (1)221，x2y21.t210，t1或t1.又x，x0.当t1时，0x1，当t1时，1x0，所求普通方程为x2y21，其中或(2)y1cos 2112sin 22sin 2，sin 2x2，y2x4，2xy40.0sin 2 1，2x3，所求的普通方程为2xy40(2x3)二直线与圆的参数方程及应用直线与圆的参数方程中的参数是可以具有几何意义的，如果能正确应用它，可以使问题的解决事半功倍，也可以把直线和圆的方程都普通化，再行解决【例2】 已知曲线C1：(为参数)及曲线C2：(t为参数)(1)指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；(2)若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1，C2，写出C1，C2的参数方程C1与C2公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由解析 (1)C1是圆，C2是直线，C1的普通方程为x2y21，圆心C1(0,0)，半径r1.C2的普通方程为xy0.因为圆心到直线xy0的距离为1，所以C1与C2只有一个公共点(2)压缩后的参数方程分别为C1：(为参数)，C2：(t为参数)化为普通方程为C1：x24y21，C2：yx，联立消元得2x22x10，其(2)24210，故压缩后C1与C2仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点个数相同三参数方程与极坐标方程的综合问题涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程【例3】 在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线C：sin22acos (a0)，过点P(2，4)的直线l的参数方程为(t为参数)，l与C分别交于点M，N.(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程；(2)若，成等比数列，求a的值解析 (1)曲线C的直角坐标方程为y22ax(a0)；直线l的普通方程为xy20.(2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立并整理，得t22(4a)t8(4a)0，(*)8a(4a)0，设点M，N分别对应参数t1，t2，则t1，t2恰为上述方程的两根，则|PM|t1|，|PN|t2|，|MN|t1t2|.由题设得(t1t2)2|t1t2|，即(t1t2)24t1t2|t1t2|.由(*)得t1t22(4a)，t1t28(4a)0，则有(4a)25(4a)0，得a1或a4.因为a0，所以a1.1将下列参数方程化为普通方程(1)(k为参数)；(2)(为参数)解析 (1)两式相除，得k，将其代入x得x，化简得所求的普通方程是4x2y26y0(y6)(2)由(sin cos )21sin 22(1sin 2)得y22x.又x1sin 20,2，得所求的普通方程y22x，x0,22设直线l的参数方程为(t为参数，为倾斜角)，圆C的参数方程为(为参数)(1)若直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率；(2)若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围解析 (1)由已知得直线l经过的定点是P(3,4)，而圆C的圆心是C(1，1)，所以，当直线l经过圆C的圆心时，直线l的斜率为k.(2)由圆C的参数方程得圆C的圆心是C(1，1)，半径为2.当90时，设ktan ，则直线l的普通方程为y4k(x3)，即kxy43k0.当直线l与圆C交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，即2，解得k，即直线l的斜率的取值范围为.3(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)若a1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.解析 (1)曲线C的普通方程为y21.当a1时，直线l的普通方程为x4y30，由解得或从而C与l的交点坐标为(3,0)，.(2)直线l的普通方程为x4ya40，故C上的点(3cos ，sin )到l的距离为d.当a4时，dmax，所以a8；当a4时，dmax，所以a16.综上，a8或a16.4已知P(x，y)是圆x2y22y0上的动点(1)求2xy的取值范围；(2)若xyc0恒成立，求实数c的取值范围解析 方程x2y22y0变形为x2(y1)21.其参数方程为(为参数)(1)2xy2cos sin 1sin ()1，其中由sin ，cos 确定，12xy1.(2)若xyc0恒成立，即c(cos sin 1)对一切R恒成立(cos sin 1)的最大值是1，当且仅当c1时，xyc0恒成立易错点不清楚直线的参数方程中参数的几何意义错因分析：只有直线的参数方程中的参数具有几何意义，否则会导致解题错误因此，需要牢记直线的点斜式参数方程【例1】 已知直线l过点P(2,0)，斜率为，直线l和抛物线y22x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：(1)点P，M两点间的距离；(2)点M的坐标；(3)线段AB的长解析 (1)直线l过点P(2,0)，斜率为，设直线的倾斜角为，tan ，sin ，cos ，直线l的参数方程为(t为参数)(*)直线l与抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y22x中，整理得8t215t500，且15248500，设这个一元二次方程的两个根为t1，t2，由根与系数的关系，得t1t2，t1t2，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得.(2)将t中代入(*)式，得M点的坐标为.(3).【跟踪训练1】 (2018河北衡水中学质检)在平面直角坐标系xOy中，斜率为1的直线l过定点P(2，4)，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知曲线C的极坐标方程为sin24cos 0.(1)求曲线C的直角坐标方程以及直线l的参数方程；(2)两曲线相交于M，N两点，求|PM|PN|的值解析 (1)由sin 24cos 0得2sin 24cos 0，曲线C的直角坐标方程为y24x，直线l的参数方程为(t为参数)(2)将直线l的参数方程代入y24x，得t212t480，设M，N对应的参数分别为t1，t2，则t1t212，t1t248，|PM|PN|t1|t2|t1t212.课时达标第68讲解密考纲高考中，主要涉及曲线的极坐标方程、曲线的参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化，两种不同方式的方程的互化是考查的热点，常以解答题的形式出现1已知曲线C1：(t为参数)，C2：(为参数)(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：(t为参数)距离的最小值解析 (1)C1：(x4)2(y3)21，C2：1.C1是圆心为(4,3)，半径为1的圆C2是中心为坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆(2)当t时，P(4,4)，Q(8cos ，3sin )，故M.C3为直线x2y70，M到C3的距离d|4cos 3sin 13|5cos()13|.从而当cos ，sin 时，d取得最小值.2已知直线l：(t为参数)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程2cos .(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|MB|的值解析 (1)2cos 等价于22cos ，将2x2y2，cos x代入，得曲线C的直角坐标方程为x2y22x0.(2)将代入，得t25t180，设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知|MA|MB|t1t2|18.3在极坐标系中，圆C的圆心为C，半径为2.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)(1)求圆C的极坐标方程；(2)设l与圆的交点为A，B，l与x轴的交点为P，求|PA|PB|.解析 (1)在直角坐标系中，圆心为C(1，)，所以圆C的方程为(x1)2(y)24，即x2y22x2y0，化为极坐标方程得22cos 2sin 0，即4sin .(2)把代入x2y22x2y0，得t24，所以点A，B对应的参数分别为t12，t22.令t0得点P对应的参数为t02.所以|PA|PB|t1t0|t2t0|22|22|22(22)4.4已知曲线C的参数方程是(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)求曲线C与直线l的普通方程；(2)若直线l与曲线C相交于P，Q两点，且|PQ|，求实数m的值解析 (1)由得22得曲线C的普通方程为x2(ym)21.由x1t，得tx1，代入y4t，得y42(x1)，所以直线l的普通方程为y2x2.(2)圆心(0，m)到直线l的距离为d，所以221，解得m3或m1.5(2016全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求的最小值及此时P的直角坐标解析 (1)C1的普通方程为y21，C2的直角坐标方程为xy40.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos ，sin )因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值，d().当且仅当2k(kZ)时，d()取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.6(2017江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数)设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值解析 直线l的普通方程为x2y80.因为点P在曲线C上，设P(2s2,2s)，从而点P到直线l的距离d.当s时，dmin.因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上点P到直线l的距离取得最小值.10
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