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第1讲选修44 坐标系与参数方程 考情考向高考导航高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识真题体验1(2018全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为yk|x|2.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为22cos 30.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程解：(1)由xcos ，ysin 得C2的直角坐标方程为(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圆心为A(1,0)，半径为2的圆由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以2，故k或k0.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以2，故k0或k.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l2与C2没有公共点综上，所求C1的方程为y|x|2.2(2019全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，(t为参数)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值解：(1)曲线C参数方程为由22得x221，又11，曲线C的直角坐标方程为x21(x1)由，得直线l的直角坐标方程为2xy110.(2)C上的点(cos ，2sin )到直线l的距离d当sin1时，dmin.即C上的点到l距离的最小值为.主干整合1直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则2直线的极坐标方程若直线过点M(0，0)，且极轴到此直线的角为，则它的方程为sin()0sin(0)几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：；(2)直线过点M(a,0)(a0)且垂直于极轴；cos a；(3)直线过M且平行于极轴：sin b.3圆的极坐标方程几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r：r；(2)当圆心位于M(r,0)，半径为r：2rcos ；(3)当圆心位于M，半径为r：2rsin .4直线的参数方程经过点P0(x0，y0)，倾斜角为的直线的参数方程为(t为参数)设P是直线上的任一点，则t表示有向线段的数量5圆、椭圆的参数方程(1)圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(为参数，02)(2)椭圆1的参数方程为(为参数)热点一极坐标方程及其应用数学运算素养数学运算极坐标应用问题中的核心素养数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程，在极坐标应用中加强运算求解能力和转化与化归思想.例1(2019全国卷)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，)，弧，所在圆的圆心分别是(1,0)，(1，)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|，求P的极坐标审题指导(1)依据条件直接写出圆的极坐标方程，因为是圆弧，所以要对极角进行范围限制(2)根据点P在三段圆弧上的不同情况分类讨论，由|OP|分别求出极角，从而确定点P的极坐标解(1)由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为2cos ，2sin ，2cos .所以M1的极坐标方程为2cos ，M2的极坐标方程为2sin ，M3的极坐标方程为2cos .(2)设P(，)，由题设及(1)知若0，则2cos ，解得；若，则2sin ，解得或；若，则2cos ，解得.综上，P的极坐标为或或或.极坐标方程问题的求解方法有关曲线的极坐标方程的问题中，常见的有直线与圆的交点问题，圆心到直线的距离问题等一般情况下，解决的方案是：化极坐标方程为平面直角坐标方程，然后用平面解析几何的方法解决问题，必要时，还要把结果返回到极坐标系中(2018江苏卷)在极坐标系中，直线l的方程为sin()2，曲线C的方程为4cos ，求直线l被曲线C截得的弦长解：因为曲线C的极坐标方程为4cos ，所以曲线C是圆心为(2,0)，直径为4的圆因为直线l的极坐标方程为sin()2，则直线l过A(4,0)，倾斜角为，所以A为直线l与圆C的一个交点设另一个交点为B，则OAB.连结OB.因为OA为直径，从而OBA，所以ABOAcosOAB4cos2.因此，直线l被曲线C截得的弦长为2.热点二参数方程及其应用例2(2018全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率审题指导(1)直接消去参数可得曲线的直角坐标方程，注意对相关系数的分类讨论；(2)利用直线参数方程中参数的几何意义求解解析(1)曲线C的参数方程为(为参数)，1.直线l的参数方程为(t为参数)tan (90)，即tan xy2tan 0，当90时，x1.综上，l：(2)当90，点(1,2)不为中点，不成立当a90，把l代入曲线C中得：4x2tan (x1)2216，化简得：(4tan2)x2(4tan 2tan2)xtan24tan 120，点(1,2)为弦的中点，x1x22，即2，tan 2，直线l的斜率k2.参数方程与普通方程的互化及应用技巧(1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件但在消参时要注意参数范围等价变形(2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解(2018全国卷)在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为，(为参数)，过点(0，)且倾斜角为的直线l与O交于A，B两点(1)求的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程解析：(1)O的普通方程为x2y21.当时，l与O交于两点当时，记tan k，则l的方程为ykx.l与O交于两点且当且仅当1，解得k1或k1，即或.综上，的取值范围是.(2)l的参数方程为(t为参数，)设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP，且tA，tB满足t22tsin 10.于是tAtB2sin ，tPsin .又点P的坐标(x，y)满足所以点P的轨迹的参数方程是(为参数，)热点三极坐标与参数方程的综合应用例3(2020广东七校联考)已知椭圆C：(为参数)，A，B是椭圆C上的动点，且满足OAOB(O为坐标原点)以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点D的极坐标为.(1)求线段AD的中点M的轨迹E的普通方程(2)利用椭圆C的极坐标方程证明为定值，并求AOB面积的最大值审题指导(1)利用参数法求出轨迹E的参数方程，再化为普通方程即可；(2)求出椭圆C的极坐标方程，由题设条件设出A，B两点的极坐标，代入椭圆C的极坐标方程即可证明为定值，利用极坐标建立关于AOB面积的函数解析式，从而求出AOB面积的函数解析式，从而法度出AOB面积的最大值解析(1)点D的直角坐标为(2,2)由题意可设点A的坐标为(2cos ，sin )，则AD的中点M的坐标为，所以点M的轨迹E的参数方程为(为参数)，消去可得E的普通方程为(x1)24(y)21.(2)椭圆C的普通方程为y21.化为极坐标方程得232sin24，变形得.由OAOB，不妨设A(1，)，B，所以(定值)所以AOB的面积S12易知当sin 20时，AOB的面积取得最大值1.1涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程2数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用和的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的(2020惠州质检)已知曲线C的极坐标方程是4cos .以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t是参数)，(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|，求直线l的倾斜角的值解析：(1)由4cos 得其直角坐标方程为(x2)2y24.(2)将代入圆C的方程得(tcos 1)2(tsin )24，化简得t22tcos 30.设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则|AB|t1t2|，4cos22，故cos ，即或.限时45分钟满分50分解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分)1(2020惠州模拟)已知曲线C的极坐标方程为2cos 2sin ，直线l1：(R)，直线l2：(R)以极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系(1)求直线l1，l2的直角坐标方程以及曲线C的参数方程；(2)若直线l1与曲线C交于O，A两点，直线l2与曲线C交于O，B两点，求AOB的面积解析：(1)依题意，直线l1的直角坐标方程为yx，直线l2的直角坐标方程为yx.由2cos 2sin 得22cos 2sin ，因为2x2y2，cos x，sin y，所以(x)2(y1)24，所以曲线C的参数方程为(为参数)(2)联立得所以|OA|4，同理，|OB|2.又AOB，所以SAOB|OA|OB|sinAOB422，即AOB的面积为2.2(2019全国卷)在极坐标系中，O为极点，点M(0，0)(00)在曲线C：4sin 上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当0时，求0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程解：(1)因为M(0，0)在C上，当0时，04sin 2.由已知得|OP|OA|cos 2.设Q(，)为l上除P的任意一点，在RtOPQ中，cos |OP|2.经检验，点P在曲线cos 2上所以，l的极坐标方程为cos 2.(2)设P(，)，在RtOAP中，|OP|OA|cos 4cos ，则4cos ，因为P在线段OM上，且APOM，故的取值范围是.所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos ，.3(2020成都摸底)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为2(12cos2)3.(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)设点M(1,1)，若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求|AM|BM|的值解析：(1)由直线l的参数方程消去参数t，得x1(y1)，化简，得直线l的普通方程为xy10.曲线C的极坐标方程可化为222cos23，(x2y2)2x23，曲线C的直角坐标方程为x21.(2)由题易知，点M在直线l上将直线l的参数方程代入x21，得221，化简，得t22t0，此时0，此方程的两根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2.由根与系数的关系，得t1t2，t1t2，|AM|BM|t1|t2|t1t22.4(2020南昌模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中为参数)，曲线C2：(x1)2y21，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程(2)若射线(0)与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|.解析：(1)因为曲线C1的参数方程为(其中为参数)，所以曲线C1的普通方程为x2(y2)24.因为曲线C2：(x1)2y21，所以把xcos ，ysin 代入(x1)2y21，得到曲线C2的极坐标方程(cos 1)2(sin )21，化简得2cos .(2)依题意设A，B，因为曲线C1的极坐标方程为24sin 30，将(0)代入曲线C1的极坐标方程，得2230，解得13，同理，将(0)代入曲线C2的极坐标方程，得2，所以|AB|12|3.5(2020长春模拟)已知曲线C1的参数方程为(为参数)，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin24cos .(1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)若过点F(1,0)的直线l与C1交于A，B两点，与C2交于M，N两点，求的取值范围解析：(1)曲线C1的普通方程为y21，曲线C2的直角坐标方程为y24x.(2)设直线l的参数方程为(t为参数)，因为直线l与曲线C2：y24x有两个交点，因此sin 0.联立直线l与曲线C1：y21，可得(1sin2)t22tcos 10，则|FA|FB|t1t2|，联立直线l与曲线C2：y24x，可得t2sin24tcos 40，则|FM|FN|t3t4|，所以.- 11 -
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