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第1讲等差数列、等比数列 考情考向高考导航1等差数列、等比数列的判定及基本运算是每年高考的热点，在考查基本运算的同时，也注重考查对函数与方程、等价转化等数学思想的应用2对等差数列、等比数列性质的考查主要是求解数列的等差中项、等比中项、通项公式和前n项和真题体验1(2019全国卷)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15，且a53a34a1，则a3()A16 B8C4 D2解析：C应用等比数列前n项和公式解题时，要注意公比是否等于1，防止出错设正数的等比数列an的公比为q，则解得a3a1q24，故选C.2(2016天津卷)设an是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q0”是“对任意的正整数n，a2n1a2n0”的()A充要条件 B充分而不必要条件C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件解析：C设数列的首项为a1，则a2n1a2na1q2n2a1q2n1a1q2n2(1q)，当q0，因为1q的符号不确定，所以无法判断a2n1a2n的符号；反之，若a2n1an0，即a1q2n2(1q)0，即q10，故“q0”是“对任意的正整数n，a2n1a2n1，a7a81，0.则下列结论正确的是()A0q1CSn的最大值为S9 DTn的最大值为T7解析：AD本题考查等比数列的性质及前n项积的最值a11，a7a81，1，a81，0q1，故A正确；a7a9a1,0q1，a81，T7是数列Tn中的最大项，故D正确故选AD.3(2020银川模拟)我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩未一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上述的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为()A6斤 B9斤C9.5斤 D12斤解析：A依题意，金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列，设首项a14，则a52，由等差数列的性质得a2a4a1a56，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤，故选A.4(2020荆州质检)已知数列an满足5an1255an，且a2a4a69，则log(a5a7a9)等于()A3 B3C D.解析：A5an1255an52an，an1an2，数列an是等差数列，且公差为2.a2a4a69，3a49，a43.log(a5a7a9)log3a7log3(a46)log273.5(2020豫西五校联考)在等差数列an中，其前n项和是Sn，若S150，S160，则在，中最大的是()A. B.C. D.解析：B由于S1515a80，S168(a8a9)0，可得a80，a90. 这样0，0，0，0，0，0，而0S1S2S8，a1a2a80，所以在，中最大的是.故选B.6(2020洛阳联考)数列an是以a为首项，b为公比的等比数列，数列bn满足bn1a1a2an(n1,2，)，数列cn满足cn2b1b2bn(n1,2，)，若cn为等比数列，则ab等于()A. B3C. D6解析：B由题意知，当b1时，cn不是等比数列，所以b1.由anabn1，得bn11，则cn2n2n，要使cn为等比数列，必有得ab3.7(2020重庆二调)已知a1，a2，a3，a4依次成等比数列，且公比q不为1，将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则正数q的值是()A. B.C. D.解析：B因为公比q不为1，所以删去的数不是a1，a4.若删去a2，则由2a3a1a4得2a1q2a1a1q3，又a10，所以2q21q3，整理得q2(q1)(q1)(q1)又q1，所以q2q1，又q0，得q；若删去a3，则由2a2a1a4得2a1qa1a1q3，又a10，所以2q1q3，整理得q(q1)(q1)q1.又q1，则可得q(q1)1，又q0，得q.综上所述，q，故选B.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)8(2020资阳诊断)设数列an是以2为首项，1为公差的等差数列，数列bn是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1ab2ab10值为_解析：依题意得an2(n1)1n1，bn12n12n1，abnbn12n11，因此ab1ab2ab10(201)(211)(291)1021091 033.答案：1 0339(2019北京卷)设等差数列an的前n项和为Sn.若a23，S510，则a5_，Sn的最小值为_解析：本题考查等差数列的通项公式、求和公式、等差数列的性质，难度不大，注重重要知识、基础知识、基本运算能力的考查等差数列an中，S55a310，得a32，a23，公差da3a21，a5a32d0，由等差数列an的性质得n5时，an0，n6时，an大于0，所以Sn的最小值为S4或S5，即为10.答案：(1)0(2)1010(2019益阳三模)设等差数列an的各项均为整数，其公差d0，a56，若a3，a5，am(m5)是公比为q(q0)的等比数列，则m的值为_解析：由a3ama，(62d)6(m5)d36，得2d(m5)d3m210d0，(m5)d3m210，d3由m5，m，dZ知m5为6的正约数m5可取1,2,3,6当m51，m6时，d3，q，当m52，m7时，d0，不合题意，当m53，m8时，d1，q当m56，m11时，d2，q3，故m的值为6,8或11.答案：6,8或11三、解答题(本大题共2小题，每小题12分，共24分)11(2018北京卷)设an是等差数列，且a1ln 2，a2a35ln 2.(1)求an的通项公式；(2)求ea1ea2ean.解：(1)设等差数列an的公差为d，a2a35ln 2，a1da12d5ln 2，a1ln 2，dln 2，等差数列an中ana1(n1)dnln 2，annln 2，nN*.(2)由(1)知annln 2，eanenln 2eln2n2n，ean是以2为首项，2为公比的等比数列ea1ea2eaneln 2eln 22eln 2n2222n2n12所求为ea1ea2ean2n12，nN*.12(2019潍坊三模)设数列an的各项为正实数，bnlog2an，若数列bn满足b20，bn1bnlog2p，其中p为正常数，且p1.(1)求数列an的通项公式；(2)若p2，设数列cn对任意的nN*，都有c1bnc2bn1c3bn2cnb12n成立，问数列cn是不是等比数列？若是，请求出其通项公式；若不是，请说明理由解析：(1)因为bn1bnlog2p，所以bn1bnlog2p，所以数列bn是以log2p为公差的等差数列，又b20，所以bnb2(n2)(log2p)log2pn2，故由bnlog2an，得an2bn2log2pn2pn2.(2)因为p2，由(1)得bnn2，所以c1(n2)c2(n3)c3(n4)cn(1)2n，则c1(n1)c2(n2)c3(n3)cn1(1)2(n1)，由，得c1c2c3cncn12，所以c1c2c3cncn1cn22，再由，得2cn1cn2，即2(nN*)，所以当n2时，数列cn成等比数列，又由式，可得c12，c24，则2，所以数列cn一定是等比数列，且cn2n.- 12 -
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