2019届高考数学二轮复习 专题六 函数与导数、不等式 第3讲 不等式学案 理

第3讲不等式高考定位1.利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主；2.在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数问题时常利用不等式进行求解，难度较大.真 题 感 悟 1.(2017全国卷)设x，y满足约束条件则z2xy的最小值是()A.15 B.9 C.1 D.9解析可行域如图阴影部分所示，当直线y2xz经过点A(6，3)时，所求最小值为15.答案A2.(2018天津卷)已知a，bR，且a3b60，则2a的最小值为_.解析由题设知a3b6，又2a0，8b0，所以2a222，当且仅当2a，即a3，b1时取等号.故2a的最小值为.答案3.(2018全国卷)若x，y满足约束条件则z3x2y的最大值为_.解析作出可行域为如图所示的ABC所表示的阴影区域，作出直线3x2y0，并平移该直线，当直线过点A(2，0)时，目标函数z3x2y取得最大值，且zmax32206.答案64.(2017全国卷)设函数f(x)则满足f(x)f 1的x的取值范围是_.解析当x0时，f(x)f (x1)，原不等式化为2x1，解得x0，当01，该式恒成立，当x时，f(x)f 2x2x，又x时，2x2x22011恒成立，综上可知，不等式的解集为.答案考 点 整 合1.不等式的解法(1)一元二次不等式的解法.一元二次不等式ax2bxc0(或0)，如果a与ax2bxc同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2bxc异号，则其解集在两根之间.(2)简单分式不等式的解法.0(0(0，b0).(4)2(a2b2)(ab)2(a，bR，当ab时等号成立).3.利用基本不等式求最值(1)如果x0，y0，xyp(定值)，当xy时，xy有最小值2(简记为：积定，和有最小值).(2)如果x0，y0，xys(定值)，当xy时，xy有最大值s2(简记为：和定，积有最大值).4.简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再根据目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域上的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.热点一不等式的解法【例1】 (1)不等式x2的解集是()A.(，0(2，4 B.0，2)4，)C.2，4) D.(，2(4，)(2)设函数f(x)则使得f(x)1成立的x的取值范围是_.解析(1)当x20时，不等式化为(x2)24，x4.当x20时，原不等式化为(x2)24，0x2.综上可知，原不等式的解集为0，2)4，).(2)由得0x9；由得1x0(a0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集.2.(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化.(2)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论.【训练1】 (1)(2018衡阳一模)已知一元二次不等式f(x)0的解集为，则f(ex)0的解集为()A.x|xln 3B.x|ln 2xln 3C.x|xln 3D.x|ln 2x0的解集为()A.x|x2或x2 B.x|2x2C.x|x4 D.x|0x0的解集为，又因为f(ex)0，所以ex3，解得ln 2x0.f(2x)0即ax(x4)0，解得x4.答案(1)D(2)C热点二基本不等式及其应用【例2】 (1)若直线1(a0，b0)过点(1，2)，则2ab的最小值为_.(2)如图所示，一张正方形的黑色硬纸板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形的图形，设小矩形的长、宽分别为a，b(2a10)，剪去部分的面积为8，则的最大值为()A.1 B. C. D.2解析(1)直线1(a0，b0)过点(1，2)，1(a0，且b0)，则2ab(2ab)4428.当且仅当，即a2，b4时上式等号成立.因此2ab的最小值为8.(2)由题意知，2ab8，则b(2a10).所以111，当且仅当a，即a6时，取得最大值.答案(1)8(2)C探究提高1.利用基本不等式求最值，要注意“拆、拼、凑”等变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值，等号能够取得.2.特别注意：(1)应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，则应结合函数的单调性求解.(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则会出错.【训练2】 (1)若a，bR，ab0，则的最小值为_.(2)(2018北京海淀区调研)当0m0，4ab24，当且仅当即时取得等号.的最小值是4.(2)易得且0m.又m(12m)2m(12m).当且仅当2m12m，即m时取“”，8.要使原不等式恒成立，只需k22k8，2k4.答案(1)4(2)D热点三简单的线性规划问题考法1已知线性约束条件，求线性目标函数最值【例31】 (2017全国卷)若x，y满足约束条件 则z3x4y的最小值为_.解析画出可行域如图阴影部分所示.由z3x4y，得yx，作出直线yx，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(1，1)处取最小值，故zmin31411.答案1探究提高1.线性规划的实质是把代数问题几何化，需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错.2.一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的顶点或边界上取得.【训练3】 (2018全国卷)若x，y满足约束条件则zxy的最大值为_.解析画出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示.作出直线xy0，平移该直线，当直线过点B(5，4)时，z取得最大值，zmax549.答案9考法2求非线性目标函数的最值【例32】 (2018合肥质检)在平面直角坐标系xOy中，M(a，b)为不等式组所表示的区域上任意动点，则的最大值为_.解析作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分).则M(a，b)在AEF内(含边界)，易知表示点M与点B(4，1)连线的斜率，当点M与点A重合时，kAB取最大值，又解得A(3，1)，的最大值为kAB2.答案2考法3线性规划中参数问题【例33】 已知x，y满足约束条件目标函数z2x3y的最大值是2，则实数a()A. B.1 C. D.4解析作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数z2x3y的最大值是2，由图象知z2x3y经过平面区域的A时目标函数取得最大值2.由解得A(4，2)，同时A(4，2)也在直线axy40上，4a2，则a.答案A探究提高1.非线性目标函数的最值主要涉及斜率、点与点(线)的距离，利用数形结合，抓住几何特征是求解的关键.2.对于线性规划中的参数问题，需注意：(1)当最值是已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化.(2)当目标函数与最值都是已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内.【训练4】 (1)(2018西安联考)已知x，y满足约束条件则目标函数z的最小值为()A. B. C.1 D.(2)(2018济南质检)若实数x，y满足且zmxy(m2)的最小值为，则m等于()A. B.C.1 D.解析(1)作出约束条件满足的平面区域如图，又z表示PAB区域内的点到原点O(0，0)的距离.zmin是点O(0，0)到直线AB的距离，易知O到xy10的距离d.zmin.(2)作不等式组表示的平面区域如图所示，zmxy(m0对一切aR恒成立，原不等式等价于(a1)(a2)0，解得a1.故所求a的取值范围是(，2)(1，).答案C3.(2018西安质检)若变量x，y满足则x2y2的最大值是()A.4 B.9 C.10 D.12解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.x2y2表示区域内点到原点距离的平方.由得A(3，1).由图形知，(x2y2)max|OA|232(1)210.答案C4.已知当x0时，2x2mx10恒成立，则m的取值范围为()A.2，) B.(，2C.(2，) D.(，2)解析由2x2mx10，得mx2x21，因为x0，所以m2x.又2x22.当且仅当2x，即x时取等号，所以m2.答案C5.(2018长沙雅礼中学联考)设x，y满足约束条件若zxy的最大值为6，则的最大值为()A. B.2 C.4 D.5解析作出不等式组表示的平面区域如图所示.易知当直线zxy过点A时，z取到最大值6.又A，zmaxa6，则a4.又表示P(x，y)与B(4，0)两点连线的斜率，当点P位于点C(3，4)处时，斜率k取到最大值.由kBC4，知4.答案C6.实数x，y满足使zaxy取得最大值的最优解有2个，则z1axy1的最小值为()A.0 B.2 C.1 D.1解析画出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示，因为zaxy取得最大值的最优解有2个，所以a1，a1，所以当x1，y0或x0，y1时，zaxyxy有最小值1，所以axy1的最小值是0.答案A二、填空题7.(2018全国卷)若变量x，y满足约束条件则zxy的最大值是_.解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线y3x，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过直线x2与直线x2y40的交点A(2，3)时，zxy取得最大值，故zmax233.答案38.(2018天津卷)已知aR，函数f(x)若对任意x3，)，f(x)|x|恒成立，则a的取值范围是_.解析当3x0时，f(x)|x|恒成立等价转化为x22xa2x恒成立，即ax23x2恒成立，所以a(x23x2)min2；当x0时，f(x)|x|恒成立等价转化为x22x2ax恒成立，即a恒成立，所以a.综上，a的取值范围是.答案9.(2018衡水中学检测)设满足的实数x，y所在的平面区域为，则的外接圆方程是_.解析作出不等式组表示的平面区域如图所示.则区域是四边形ABCO(含内部及边界).易知BCAB，则外接圆的圆心为AC的中点，又A(0，6)，C(2，0)，则该四边形外接圆圆心为(1，3)，半径r|AC|.故所求圆的方程为(x1)2(y3)210.答案(x1)2(y3)21010.(2018湖南长郡中学调研)已知实数x，y满足则zlog2的取值范围是_.解析作线性约束条件表示的可行域如图所示.令t表示可行域内的点P(x，y)与定点M(1，1)连线的斜率.易求点B(1，0)，kMB，且xy0的斜率为1.1t，从而2，故1z1.答案(1，1三、解答题11.已知函数f(x).(1)若f(x)k的解集为x|x3，或x2，求k的值；(2)对任意x0，f(x)t恒成立，求t的取值范围.解(1)f(x)kkx22x6k0.由已知x|x3，或x2是其解集，得kx22x6k0的两根是3，2.由根与系数的关系可知(2)(3)，即k.(2)因为x0，f(x)，当且仅当x时取等号.由已知f(x)t对任意x0恒成立，故t，即t的取值范围是.12.(2017天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解(1)由已知，x，y满足的数学关系式为即该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分的整数点：(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z60x25y.考虑z60x25y，将它变形为yx，这是斜率为，随z变化的一族平行直线，为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大.又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z60x25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大.解方程组得点M的坐标为(6，3).所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.14