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第一节坐标系考纲传真(教师用书独具)1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程(对应学生用书第198页)基础知识填充1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换2极坐标与极坐标系的概念图1在平面内取一个定点O，叫作极点，从O点引一条射线Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系对于平面内任意一点M，用表示线段OM的长，表示以Ox为始边、OM为终边的角度，叫作点M的极径，叫作点M的极角，有序实数对(，)叫作点M的极坐标，记作M(，)当点M在极点时，它的极径0，极角可以取任意值3极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标(x，y)极坐标(，)互化公式2x2y2 tan (x0)4.圆的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r(02)圆心为(r,0)，半径为r的圆2rcos 圆心为，半径为r的圆2rsin (0)5.直线的极坐标方程(1)直线l过极点，且极轴到此直线的角为，则直线l的极坐标方程是(R)(2)直线l过点M(a,0)且垂直于极轴，则直线l的极坐标方程为cos a.(3)直线过M且平行于极轴，则直线l的极坐标方程为sin b(0)基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系()(2)若点P的直角坐标为(1，)，则点P的一个极坐标是.()(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的()(4)极坐标方程(0)表示的曲线是一条直线()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y1x(0x1)的极坐标方程为()A，0B，0Ccos sin ，0Dcos sin ，0Ay1x(0x1)，sin 1cos (0cos 1)，.3(2017北京高考)在极坐标系中，点A在圆22cos 4sin 40上，点P的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为_1由22cos 4sin 40，得x2y22x4y40，即(x1)2(y2)21，圆心坐标为C(1,2)，半径长为1.点P的坐标为(1,0)，点P在圆C外又点A在圆C上，|AP|min|PC|1211.4已知直线l的极坐标方程为2sin，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为_由2sin，得2，yx1.由A，得点A的直角坐标为(2，2)点A到直线l的距离d.5已知圆C的极坐标方程为22sin40，求圆C的半径解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程可化为2240，化简，得22sin 2cos 40.则圆C的直角坐标方程为x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圆C的半径为.(对应学生用书第199页)平面直角坐标系中的伸缩变换在平面直角坐标系中，已知伸缩变换：(1)求点A经过变换所得点A的坐标；(2)求直线l：y6x经过变换后所得直线l的方程解(1)设点A(x，y)，由伸缩变换：得x31，y1.点A的坐标为(1，1)(2)设P(x，y)是直线l上任意一点由伸缩变换：得代入y6x，得2y62x，yx即为所求直线l的方程规律方法伸缩变换后方程的求法,平面上的曲线yf(x)在变换：的作用下的变换方程的求法是将代入yf(x)，得f，整理之后得到yh(x)，即为所求变换之后的方程.易错警示：应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x，y)与变换后的点的坐标(x，y).跟踪训练求椭圆y21，经过伸缩变换后的曲线方程. 【导学号：79140385】解由得将代入y21，得y21，即x2y21.因此椭圆y21经过伸缩变换后得到的曲线方程是x2y21.极坐标与直角坐标的互化(2016全国卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x6)2y225.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|，求l的斜率解(1)由xcos ，ysin 可得圆C的极坐标方程为212cos 110.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(R)设A，B所对应的极径分别为1，2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得212cos 110，于是1212cos ，1211.|AB|12|.由|AB|得cos2，tan .所以l的斜率为或.规律方法1.极坐标与直角坐标互化公式的三个前提条件(1)取直角坐标系的原点为极点(2)以x轴的非负半轴为极轴(3)两种坐标系规定相同的长度单位2极坐标与直角坐标互化的策略(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式xcos 及ysin 直接代入并化简即可；(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如cos ，sin ，2的形式，进行整体代换跟踪训练(2018合肥二检)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4cos .(1)求出圆C的直角坐标方程；(2)已知圆C与x轴相交于A，B两点，直线l：y2x关于点M(0，m)(m0)对称的直线为l.若直线l上存在点P使得APB90，求实数m的最大值解(1)由4cos 得24cos ，即x2y24x0，即圆C的标准方程为(x2)2y24.(2)直线l：y2x关于点M(0，m)的对称直线l的方程为y2x2m，而AB为圆C的直径，故直线l上存在点P使得APB90的充要条件是直线l与圆C有公共点，故2，解得2m2，所以实数m的最大值为2.极坐标方程的应用(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos 4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|OP|16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值解(1)设P的极坐标为(，)(0)，M的极坐标为(1，)(10)由题设知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16得C2的极坐标方程为4cos (0)因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点B的极坐标为(B，)(B0)由题设知|OA|2，B4cos ，于是OAB的面积S|OA|BsinAOB4cos 22.当时，S取得最大值2.所以OAB面积的最大值为2.规律方法在用方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，将极坐标方程化为直角坐标方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用.跟踪训练(2017太原市质检)已知曲线C1：xy和C2：(为参数)以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离. 【导学号：79140386】解(1)曲线C1化为cos sin .sin.曲线C2化为1.(*)将xcos ，ysin 代入(*)式得cos2sin21，即2(cos23sin2)6.曲线C2的极坐标方程为2.(2)M(，0)，N(0,1)，P，OP的极坐标方程为，把代入sin得11，P.把代入2得22，Q.|PQ|21|1，即P，Q两点间的距离为1.7
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