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第3章 数系的扩充与复数的引入复数的概念及分类1.复数abi(a，bR)2复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程(或不等式)即可【例1】当实数a为何值时，za22a(a23a2)i：(1)为实数；(2)为纯虚数；(3)对应的点在第一象限内；(4)对应的点在直线xy0上思路探究解答本题可根据复数的分类标准，列出方程(不等式)求解解(1)由zR，得a23a20，解得a1或a2.(2)z为纯虚数，即故a0.(3)z对应的点在第一象限，则a2.a的取值范围是(，0)(2，)(4)依题得(a22a)(a23a2)0，a2.1当实数m为何值时，复数z(m22m)i为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数解(1)当即m2时，复数z是实数(2)当即m0且m2时，复数z是虚数(3)当即m3时，复数z是纯虚数复数的四则运算复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子、分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式【例2】计算：.思路探究先由ii，1i(2)，将原式化简，再利用i的特殊性进行求解解原式i121111678i.2计算：(1)；(2).解(1)原式(4)1i.(2)原式iii0.共轭复数与复数的模共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念，在解决有关复数问题时，除用共轭复数定义与模的计算公式解题外，也常用下列结论简化解题过程：(1)|z|1z.(2)zRz.(3)z0，z为纯虚数z.【例3】设zabi(a，bR)，若R，则a，b应满足什么条件？并说明理由思路探究解答本题可求出的代数形式，由其虚部为0可得a，b满足的条件；也可利用共轭复数的性质求解解法一：R，b(a2b21)0.b0或a2b21.法二：R，即z(12)(1z2)0，z|z|2|z|2z0，即(z)(1|z|2)0，z或1|z|20.由z，得b0.由1|z|20，得a2b21.b0或a2b21.3已知为纯虚数，且(z1)(1)|z|2，求复数z.解由(z1)(1)|z|2z1.由为纯虚数0z10.设zabi(a，bR)，则abi，代入，得a，a2b21.a，b.zi.复数的几何意义1.点Z(a，b)或向量称为复数zabi(a，bR)的几何表示，因此复平面的点与复平面的向量是复数的两个几何形象2复数形式的基本轨迹(1)当|zz1|r时，表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆；单位圆|z|1.(2)当|zz1|zz2|时，表示以复数z1，z2的对应点为端点的线段的垂直平分线(3)|z1z2|表示两点间的距离，即表示复数z1与z2对应点间的距离【例4】若zC，且|z22i|1，则|z22i|的最小值是()A2B3C4D5思路探究常规方法是运用复数的代数形式，把复数最值问题转化为一般函数最值问题再解决，而运用|zz0|的几何意义解决更为简便解析如图，|z22i|1表示以C(2,2)为圆心，1为半径的圆，则|z22i|的最小值是指点A(2,2)到圆的最短距离，显然|AB|AC|13，即为最小值，故选B.答案B4已知|z|2，则|z1i|的最大值和最小值分别为_解析设zxyi(x，yR)，则由|z|2知x2y24，故z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，又|z1i|表示点(x，y)到点(1，)的距离又因为点(1，)在圆x2y24上，所以圆上的点到点(1，)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，即|z1i|的最大值和最小值分别为4和0.答案4,01(1i)(2i)()A3iB3iC3i D3i解析(1i)(2i)2i2ii23i，故选D.答案D2设z2i，则|z|()A0 B.C1 D.解析z2i2i2ii.|z|1，故选C.答案C3若z43i，则()A1B1C.i D.i解析z43i，43i，|z|5，i.答案D4设(12i)(ai)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a()A3 B2C2 D3解析(12i)(ai)a2(12a)i，由题意知a212a，解得a3，故选A.答案A5设复数z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，则yx的概率为()A. B.C. D.解析|z|1，即(x1)2y21，表示的是圆及其内部，如图所示当|z|1时，yx表示的是图中阴影部分，其面积为S1211.又圆的面积为，根据几何概型公式得概率P.答案D6设复数z满足z234i(i是虚数单位)，则z的模为_解析z234i，|z2|z|2|34i|5，|z|.答案- 7 -
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