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层级一 第二练 复数、平面向量 考情考向高考导航1高考对复数的考查重点是其代数形式的四则运算(特别是乘、除法)，也涉及复数的概念及几何意义等知识，难度较低，纯属送分题目2平面向量是高考必考内容，每年每卷有一个小题，难度中档，主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，数量积是考查的热点真题体验1(2019全国卷)设z32i，则在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：C32i，对应的点为(3，2)，在第三象限2(2019全国卷)已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为()A. B.C. D.解析：B(ab)b，(ab)b0.即ab|b|2；cosa，b.故a，b，故选B.3(2018北京卷)设a，b均为单位向量，则“|a3b|3ab|”是“ab”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：C本题考查平面向量及充分必要条件由题意得|a3b|，|3ab|.充分性：|a3b|3ab|a26ab9b29a26abb2又|a|1，|b|1，a2b21a29b29a2b26ab6ab即ab0，ab.充分性得证必要性：ab，ab0又|a|b|1，a26ab9b29a26abb2(a3b)2(3ab)2|a3b|3ab|必要性得证故选C.4(2018全国卷)已知向量a(1,2)，b(2，2)，c(1，)若c(2ab)，则_.解析：2ab2(1,2)(2，2)(4,2)，c(2ab)，1240，解得.答案：主干整合1复数运算中常用的结论(1)(1i)22i，i，i.(2)baii(abi)(a，bR)(3)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN*)(4)i4ni4n1i4n2i4n30(nN*)2“三点”共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是12(其中121)3三角形中线向量公式：若P为OAB的边AB的中点，则()4三角形重心坐标的求法：(1)G为ABC的重心0G.(2)O为ABC的垂心5平面向量数量积性质：abab0(a0，b0)热点一复数的概念与运算题组突破1(2019全国卷)设复数z满足|zi|1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A(x1)2y21B(x1)2y21Cx2(y1)21 Dx2(y1)21解析：C|zi|1表示复平面内的点(x，y)到点(0,1)的距离为1，故点E的轨迹方程为x2(y1)21.选C.2(2020苏州模拟)已知aR，i是虚数单位若zai，z4，则a()A1或1 B.或C D.解析：Az4，|z|24，即|z|2.zai，|z|，2，a1.故选A.3(2020湖北八校联考)已知复数z12ai(aR)，z212i，若为纯虚数，则|z1|()A. B.C2 D.解析：D由于为纯虚数，则a1，则|z1|，故选D.4设有下面四个命题p1：若复数z满足R，则zR；p2：若复数z满足z2R，则zR；p3：若复数z1，z2满足z1z2R，则z12；p4：若复数zR，则R.其中的真命题为()Ap1，p3 Bp1，p4Cp2，p3 Dp2，p4解析：B设zabi(a，bR)，z1a1b1i(a1，b1R)，z2a2b2i(a2，b2R)对于p1，若R，即R，则b0zabiaR，所以p1为真命题对于p2，若z2R，即(abi)2a22abib2R，则ab0.当a0，b0时，zabibiR，所以p2为假命题对于p3，若z1z2R，即(a1b1i)(a2b2i)(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)iR，则a1b2a2b10.而z12，即a1b1ia2b2ia1a2，b1b2.因为a1b2a2b10/ a1a2，b1b2，所以p3为假命题对于p4，若zR，即abiR，则b0abiaR，所以p4为真命题，故选B.解决复数问题的两种思想方法1复数的“实数化”：复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可2复数的“方程思想”：即把复数z当作未知数，从解方程的角度求解z.热点二平面向量的运算及应用平面向量的线性运算例1(1)(2018全国卷)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则()A.B.C. D.解析A如图，.(2)(2020无锡模拟)如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|1，|2，若(，R)，则的值为_解析解法一如图，|2，|4，所以42.所以6.解法二以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系(图略)，则A(1,0)，C(2cos 30，2sin 30)，B(cos 120，sin 120)即A(1,0)，C(3，)，B.由得，所以所以6.答案6平面向量的线性运算技巧(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系平面向量数量积的应用数学运算素养数学运算平面向量问题中的核心素养解决几何图形问题时，可以先建立适当的坐标系，将图形坐标化，再运用数学运算解决相关问题在平面向量中，向量的坐标运算就是这一思想的具体应用.例2(1)(2020石家庄模拟)若两个非零向量a，b满足|ab|ab|2|b|，则向量ab与a的夹角为()A. B.C. D.解析A|ab|ab|，|ab|2|ab|2，ab0.又|ab|2|b|，|ab|24|b|2，|a|23|b|2，|a|b|，cosab，a，故ab与a的夹角为.(2)(2018天津卷)如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1.若点E为边CD上的动点，则的最小值为()A. B.C. D3解析A建立如图所示的平面直角坐标系，则A，B，C，D，E点在CD上，则(01)，设E(x，y)，则：，即，据此可得：E，且：，由数量积的坐标运算法则可得：，整理可得：(4222)(01)，结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值.故选A.涉及数量积、模和最值的解题思路(1)涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路；直接利用数量积的定义计算，此时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算建立平面直角坐标系，通过坐标运算求解(2)求解向量数量积的最值(范围)问题，通常建立平面直角坐标系，由数量积的坐标运算得到含有参数的等式，或是转化为函数的最值，或是利用基本不等式求最值，或是利用几何意义求最值(范围)(1)在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，若a，b，则向量()A.ab BabCab D.ab解析：C()ab.(2)(2019江苏卷)如图，在ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE2EA，AD与CE交于点O.若6，则的值是_解析：本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养采取几何法，利用数形结合和方程思想解题如图，过点D作DFCE，交AB于点F，由BE2EA，D为BC中点，知BFFEEA，AOOD.63()()()()22，得22，即|，故.答案：(3)(双空填空题)已知向量a，b，其中|a|，|b|2，且(ab)a，则向量a和b的夹角是_，a(ab)_.解析：本题考查向量数量积的垂直性质由题意，设向量a，b的夹角为.因为|a|，|b|2，且(ab)a，所以(ab)a|a|2ab|a|2|a|b|cos 32cos 0，解得cos .又因为0，所以.则a(ab)|a|2|a|b|cos 326.答案：6限时40分钟满分80分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1(2020昆明模拟)已知复数z则()Az的模为2 Bz的实部为1Cz的虚部为1 Dz的共轭复数为1i解析：C根据题意可知，1i，所以z的虚部为1，实部为1，模为，z的共轭复数为1i，故选C.2已知i为虚数单位，aR，若为纯虚数，则复数z2ai的模等于()A. B.C. D.解析：C由题意可设ti，t0，2ittai，解得z2ai1i，|z|，故选C.3(2019全国卷)已知(2,3)，(3，t)，|1，则()A3 B2C2 D3解析：C(3，t)(2,3)(1，t3)，| 1，t3，(1,0)，(2,3)(1,0)2.4(2019北京卷)设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：C本题考查充要条件的概念与判断、平面向量的模、夹角与数量积，同时考查了转化与化归数学思想A、B、C三点不共线，|2|20与 的夹角为锐角故“与的夹角为锐角”是“|”的充分必要条件，故选C.5(2020南昌模拟)欧拉公式eixcos xisin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，ei表示的复数在复平面中位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：A根据欧拉公式得eicosisini，它在复平面中对应的点为，位于复平面中的第一象限6(2019吉林三模)已知z是纯虚数，是实数，那么z等于()A2i BiCi D2i解析：D设zai(a0，aR)，则，因为是实数，所以2a0a2，故z2i.7(2020兰州诊断考试)在ABC中，M是BC的中点，AM1，点P在AM上且满足2，则()等于()A BC. D.解析：A如图，2，()2，AM1且2，|，().8(多选题)下列命题正确的是()A若复数z1，z2的模相等，则z1，z2的共轭复数Bz1，z2都是复数，若z1z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数C复数z是实数的充要条件是z(是z的共轭复数)D已知复数z112i，z21i，z332i(i是虚数单位)，它们对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若xy(x，yR)，则xy1解析：BC本题考查复数的基本概念和向量的坐标运算对于A，z1和z2可能是相等的复数，故A错误；对于B，若z1和z2是共轭复数，则相加为实数，不会为虚数，故B正确；对于C，由abiabi得b0，故C正确；对于D，由题可知，A(1,2)，B(1，1)，C(3，2)，建立等式(3，2)(xy,2xy)，即解得故D错误故选BC.9(2019张家界三模)边长为2的等边ABC所在平面内一点M满足，则()A B.C. D.解析：A22cos2，()()2222.10.在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记，分别为a，b，则()A.ab B.abCab Dab解析：B如图，过点F作BC的平行线交DE于G，则G是DE的中点，且，易知AHDFHG，从而，ba，ab，故选B.11(2018浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b24eb30，则|ab|的最小值是()A.1 B.1C2 D2解析：A设e(1,0)，b(x，y)，则b24eb30x2y24x30(x2)2y21如图所示，a，b，(其中A为射线OA上动点，B为圆C上动点，AOx.)|ab|min|CD|11.(其中CDOA.)12(2020贵阳模拟)在等腰直角ABC中，ABC90，ABBC2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足|，则的取值范围为()A. B.C. D.解析：C不妨设点M靠近点A，点N靠近点C，以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)，线段AC的方程为xy20(0x2)设M(a,2a)，N(a1,1a)(由题意可知0a1)，(a,2a)，(a1,1a)，a(a1)(2a)(1a)2a22a222，0a1，由二次函数的知识可得.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13(2020潍坊模拟)复数z1(10a2)i，z2(2a5)i，若1z2是实数，则实数a的值为_解析：1z2(a210)i(2a5)i(a210)(2a5)i(a22a15)i.1z2是实数，a22a150，解得a5或a3.a50，a5，故a3.答案：314(2019全国卷)已知a，b为单位向量，且ab0，若c2ab，则cosa，c_.解析：本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角渗透了数学运算、直观想象素养使用转化思想得出答案因为c2ab，ab0，所以ac2a2ab2，|c|24|a|24ab5|b|29，所以|c|3，所以cosa，c.答案：15(双空填空题)设复数z2 0182 019，其中i为虚数单位，则的虚部是_，|z|_.解析：本题考查复数代数形式的乘除运算、乘方运算及复数的基本概念i，i，z2 0182 019(i)2 018i2 019i2i31i，1i，则的虚部为1，|z|.答案：116(2019天津卷)在四边形ABCD中，ADBC，AB2，AD5，A30，点E在线段CB的延长线上，且AEBE，则_.解析：如图，过点B作AE的平行线交AD于F，因为AEBE，故四边形AEBF为菱形因为BAD30，AB2，所以AF2，即.因为，所以()222512101.答案：1- 14 -
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