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第2章 圆锥曲线与方程圆锥曲线定义的应用【例1】(1)已知F是双曲线1的左焦点，点A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为()A9B5 C8 D4(2)若点M(1,2)，点C是椭圆1的右焦点，点A是椭圆的动点，则|AM|AC|的最小值是_(1)A(2)82(1)设右焦点为F，则F(4,0)，依题意，有|PF|PF|4，|PF|PA|PF|PA|4|AF|4549.(2)设点B为椭圆的左焦点，则B(3，0)，点M(1,2)在椭圆内，那么|BM|AM|AC|AB|AC|2a，所以|AM|AC|2a|BM|，而a4，|BM|2，所以(|AM|AC|)min82.研究有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，再结合几何图形利用几何意义去解决有关的最值问题.提醒：应用定义解决问题时，需紧扣其内涵，注意限制条件是否成立，然后得到相应的结论.1以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2 B4C6 D8B设抛物线的方程为y22px(p0)，圆的方程为x2y2r2.|AB|4，|DE|2，抛物线的准线方程为x，不妨设A，D.点A，D在圆x2y2r2上，85，p4(负值舍去)C的焦点到准线的距离为4.圆锥曲线性质的应用【例2】(1)已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A B C D(2)已知双曲线1(a0，b0)的离心率e，点A(0,1)与双曲线上的点的最小距离是，求双曲线方程(1)A如图所示，由题意得A(a,0)，B(a,0)，F(c,0)由PFx轴得P.设E(0，m)，又PFOE，得，则|MF|.又由OEMF，得，则|MF|.由得ac(ac)，即a3c，e.故选A.(2)e，a24b2，设双曲线1上一点B(x，y)，则|AB|2x2(y1)24b24y2(y1)25y22y4b2154b2.当y时，|AB|取得最小值，为，即，b21，双曲线方程为y21.圆锥曲线的性质综合性强，需弄清每个性质的真正内涵，然后正确地应用到解题中去.2若椭圆1(ab0)上存在一点M，使得F1MF290(F1，F2为椭圆的两个焦点)，求椭圆的离心率e的取值范围解设点M的坐标是(x0，y0)，则消去y0，得x.因为0xa2，所以由，得c2b2，即c2a2c2，所以a22c2，所以e2.又0eb0)的右焦点F，F(1,0)，c1，又抛物线x24y的焦点为椭圆C的上顶点，b，b23.a2b2c24，椭圆C的方程为1.(2)直线l与y轴交于M，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(3m24)y26my90，144(m21)0，y1y2，y1y2，(*)，又由1，1(1x1，y1)，11，同理21，1222，12.直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及判定直线与圆锥曲线的交点个数、求弦长、最值等问题，它是圆锥曲线的定义、性质与直线的基础知识的综合应用，涉及数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想方法.直线与圆锥曲线的位置关系主要有：(1)有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题，应注意数形结合；(2)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系；(3)有关垂直问题，要注意运用斜率关系及根与系数的关系，设而不求，简化运算.3如图所示，在直角坐标系xOy中，点P到抛物线C：y22px(p0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB的中点Q(m，n)在直线OM上(1)求曲线C的方程及t的值；(2)记d，求d的最大值解(1)y22px(p0)的准线为x，1，p，抛物线C的方程为y2x.又点M(t,1)在曲线C上，t1.(2)由(1)知，点M(1,1)，从而nm，即点Q(m，m)，依题意，直线AB的斜率存在，且不为0，设直线AB的斜率为k(k0)，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(y1y2)(y1y2)x1x2，故k2m1，直线AB的方程为ym(xm)，即x2my2m2m0.由消去x，整理得y22my2m2m0，4m4m20，y1y22m，y1y22m2m.从而|AB|y1y2|2.d2m(1m)1，当且仅当m1m，即m时，上式等号成立，又m满足4m4m20.d的最大值为1. 数学思想在圆锥曲线中的应用【例4】已知定点F(0,1)和直线l1：y1，过定点F与直线l1相切的动圆的圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程；(2)过点F的直线l2交轨迹于两点P，Q，交直线l1于点R，求的最小值解(1)由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离，点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，动点C的轨迹方程为x24y.(2)由题意知，直线l2的方程可设为ykx1(k0)，与抛物线方程联立消去y，得x24kx40.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x24k，x1x24.又易得点R的坐标为，(kx12)(kx22)(1k2)x1x2(x1x2)44(1k2)4k448.k22，当且仅当k21时取等号，42816，即的最小值为16.函数与方程思想、分类讨论思想、等价转化思想及数形结合思想在圆锥曲线的综合问题中应用广泛，主要涉及最值、范围、探索问题及曲线方程的求法等问题.4设圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)求证|EA|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围解(1)证明：因为|AD|AC|，EBAC，所以EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圆A的标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4，所以|EA|EB|4.由题设得A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为1(y0)(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(4k23)x28k2x4k2120.则x1x2，x1x2.所以|MN|x1x2|.过点B(1,0)且与l垂直的直线m的方程为y(x1)，点A到直线m的距离为，所以|PQ|24，故四边形MPNQ的面积S|MN|PQ|12.可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)当l与x轴垂直时，其方程为x1，|MN|3，|PQ|8，四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为12,8)- 9 -
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