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第2讲函数的单调性 1. 导数是研究函数性质的重要工具,利用导数研究函数的单调性不仅能直接得出有关结论,同时还能根据性质描绘出函数图象的大致变化趋势,有助于解决问题2. 函数的单调性研究往往作为试题的一部分,可以研究其单调区间,也可以通过单调性来求参数的值或者范围1. (2017常州前黄中学月考)函数yx2sin x在(0,2)内的单调增区间为_答案:(,)解析:令y12cos x0,因为x(0,2),解得x(,)2. (2017苏州张家港暨阳中学月考)函数f(x)xln x的减区间是_答案:(0,解析:由题意得函数的定义域为(0,),f(x)1ln x,令f(x)1ln x0,得x,故函数f(x)的减区间为(0,3. 若函数f(x)kxln x在区间(1,)上单调递增,则k的取值范围是_答案:1,)解析:依题意得f(x)k0在(1,)上恒成立,即k在(1,)上恒成立 x1, 0,故函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为 .点评:利用导数求函数单调区间的步骤:(1) 确定函数f(x)的定义域;(2) 求导数f(x);(3) 由f(x)0(或0)解出相应的x的取值范围当f(x)0时,f(x)在相应的区间内是单调递增函数;当f(x)0时,f(x)在相应的区间内是单调递减函数. 一般需要通过列表,写出函数的单调区间已知函数f(x)ln x,其中aR,且曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线垂直于直线yx.(1) 求a的值;(2) 求函数f(x)的单调区间解:(1) 对f(x)求导,得f(x)(x0),由f(x)在点(1,f(1)处的切线垂直于直线yx,知f(1)a2,解得a.(2) 由(1)知f(x)ln x,则f(x),令f(x)0,解得x1或x5.因为x1不在f(x)的定义域(0,)内,故舍去当x(0,5)时,f(x)0,故f(x)在(5,)内为增函数,二) 讨论函数的单调性,2) 设函数f(x)x3x21.(1) 若a0,求函数f(x)的单调区间;(2) 设函数g(x)f(x)2x,且g(x)在区间(2,1)内存在单调递减区间,求实数a的取值范围解:(1) 由已知得f(x)x2axx(xa)(a0)当x(,0)时,f(x)0;当x(0,a)时,f(x)0.所以函数f(x)的单调增区间为(,0),(a,),单调减区间为(0,a)(2) g(x)x2ax2,依题意,存在x(2,1),使不等式g(x)x2ax20成立,即x(2,1)时,a0)当a0时,f(x)0时,由f(x)0得x,当x(0,)时,f(x)0,f(x)单调递增,三) 利用函数的单调性求参数,3) 已知函数f(x)x2(a3)xln x若函数f(x)是定义域上的单调函数,求实数a的最小值解:f(x)xa3(x0)若函数f(x)在(0,)上递增,则f(x)0对x0恒成立,即a(x)3对x0恒成立,而当x0时,(x)3231,所以a1.若函数f(x)在(0,)上递减,则f(x)0对x0恒成立,即a(x)3对x0恒成立,这是不可能的综上,a1.故a的最小值为1.点评:已知单调性求解参数范围的步骤:(1) 对含参数的函数f(x)求导,得到f(x);(2) 若函数f(x)在a,b上单调递增,则f(x)0恒成立;若函数f(x)在a,b上单调递减,则f(x)0恒成立,得到关于参数的不等式,解出参数范围;(3) 验证参数范围中取等号时,是否恒有f(x)0.若f(x)0恒成立,则函数f(x)在(a,b)上为常数函数,要舍去此参数值(2018武汉调研)已知函数f(x)xln x.(1) 若函数g(x)f(x)ax在区间e2,)上为增函数,求a的取值范围;(2) 若对任意x(0,),f(x)恒成立,求实数m的最大值解:(1) 由题意得g(x)f(x)aln xa1. 函数g(x)在区间e2,)上为增函数, 当xe2,)时,g(x)0,即ln xa10在e2,)上恒成立 a1ln x.令h(x)ln x1, ah(x)max,当xe2,)时,ln x2,), h(x)(,3, a3,即a的取值范围是3,)(2) 2f(x)x2mx3,即mx2xln xx23,又x0, m在x(0,)上恒成立记t(x)2ln xx. mt(x)min.t(x)1,令t(x)0,得x1或x3(舍去)当x(0,1)时,t(x)0,函数t(x)在(0,1)上单调递减;当x(1,)时,t(x)0,函数t(x)在(1,)上单调递增 t(x)mint(1)4. mt(x)min4,即m的最大值为4.,四) 利用单调性解综合问题,4) 已知函数f(x)ln xax2(1a)x,其中aR,f(x)是f(x)的导数(1) 讨论f(x)的单调性;(2) 在曲线yf(x)的图象上是否存在两点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)使得直线AB的斜率kf()?若存在,求出x1与x2的关系;若不存在,请说明理由解:(1) 由已知得f(x)ax(1a)(x0)当a0时,因为x0,所以f(x)0,f(x)在定义域(0,)上是增函数;当a0时,f(x),所以当x(0,)时,f(x)0,f(x)在(0,)上单调递增,当x(,)时,f(x)x2,则t1,记g(t)ln tln t2(t1),g(t)0,所以g(t)在(1,)上是增函数,g(t)g(1)0,则方程g(t)0无实数解,故满足条件的两点A,B不存在(2018苏锡常镇调研(一)已知函数f(x)x3ax2bxc,g(x)ln x若b3,且函数yf(x)在区间(1,1)上是单调递减函数(1) 求实数a的值;(2) 当c2时,求函数h(x)的值域解:(1) 因为f(x)x3ax23xc在区间(1,1)上单调递减,所以f(x)3x22ax30对x(1,1)恒成立因为二次函数y3x22ax3的图象是开口向上的抛物线,所以等价于解得a0.(2) 由(1)得f(x)x33x2,f(x)3x23.易得f(x)在(0,1上单调递减,在1,)上单调递增,且f(x)minf(1)0.当0x0,g(x)ln xg(x)所以在0x1上,h(x)f(x)的值域为(0,2)当x1时,f(x)和g(x)的值域均为0,),所以h(x)的值域也是0,)因为(0,2)0,)0,),所以函数h(x)的值域是0,)1. 函数f(x)x2cos x,x(0,)的单调减区间是 _答案:解析: 函数f(x)x2cos x,由f(x)12sin x. x(0,), x, 函数f(x)x2cos x的单调减区间是.2. 若函数f(x)xsin 2xasin x在(,)上单调递增,则a的取值范围是_答案:,解析:对函数f(x)求导得f(x)1cos 2xacos xcos2xacos x.因为函数f(x)在R上单调递增,所以f(x)0,即cos2xacos x0恒成立设tcos x1,1,则g(t)4t23at50在1,1上恒成立,所以有解得a.3. 设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数,f(1)0,当x0时,xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是_答案:(,1)(0,1)解析:设函数g(x),则g(x).因为当x0时,xf(x)f(x)0时,g(x)0,所以g(x)在(0,)上单调递减因为函数f(x)(xR)是奇函数,所以函数g(x)是偶函数,所以g(x)在(,0)上单调递增,且g(1)g(1)0.故当0x0,则f(x)0;当x1时,g(x)0.综上所述,使得f(x)0成立的x的取值范围是(,1)(0,1)4. (2017江苏卷)已知函数f(x)x32xex,其中e是自然对数的底数若f(a1)f(2a2)0,则实数a的取值范围是_答案:1,解析:因为f(x)x32xexexf(x),f(0)0,所以f(x)是奇函数,则f(a1)f(2a2)0可化为f(2a2)f(1a)又f(x)3x22exex3x2223x20,所以f(x)在R上单调递增,则2a21a,即1a.5. (2018全国卷)已知函数f(x)aexln x1.(1) 设x2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间;(2) 求证:当a,f(x)0.(1) 解:f(x)aex.x2是f(x)的极值点,令f(2)0可得a, f(x).令h(x),则h(x)0恒成立, f(x)为单调递增函数,且f(2)0.当0x2时,f(x)0,当x2时,f(x)0;由此可得f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,)上单调递增;(2) 证明:欲证当a时,aexln x10,先证明exex.设g(x)exex, g(x)exe. 当x1时,g(x)单调递增,当0x1时,g(x)单调递减, g(x)g(1)ee0,exex0,不等式得证当a时,aexln x1exln x1exln x1xln x1,故要证明aexln x10,只需要证明xln x10.令H(x)xln x1,H(x)1,可得H(x)在(0,1)上递减,在(1,)上递增,可得H(x)H(1)0,即得xln x10.(本题模拟高考评分标准,满分14分)已知函数f(x)x3axb(xR),若函数f(x)的图象在x1处的切线方程为y3x.(1) 求实数a,b的值;(2) 求函数f(x)的单调区间解:(1) 因为f(x)x2a,(2分)由题意,得(6分)解得(8分)(2) 由(1)知,f(x)x24(x2)(x2)令f(x)0,得x2,所以函数f(x)的单调增区间为(,2)和(2,);(12分)令f(x)0,得2x0时,f(x)的单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,);当a0时,f(x)的单调增区间为(1,),单调减区间为(0,1);当a0时,f(x)不是单调函数(2) 由(1)及题意得f(2)1,即a2, f(x)2ln x2x3,f(x), g(x)x3(2)x22x, g(x)3x2(m4)x2. g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数,即g(x)0在区间(t,3)上有变号零点由于g(0)2, g(t)0,即3t2(m4)t20对任意t1,2恒成立,由于g(0)0,故只要g(1)0且g(2)0,即m5且m0,即m,所以m9,即实数m的取值范围是(,9)8
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