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第3讲圆锥曲线的综合应用 考情考向高考导航1圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一2以椭圆或拋物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查真题体验1(2019北京卷)已知椭圆C：1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1)(1)求椭圆C的方程；(2)设O为原点，直线l：ykxt(t1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|ON|2，求证：直线l经过定点解析：(1)因为椭圆的右焦点为(1,0)，c1；因为椭圆经过点A(0,1)，所以b1，所以a2b2c22，故椭圆的方程为y21.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)联立得(12k2)x24ktx2t220，0，x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)2t，y1y2k2x1x2kt(x1x2)t2.直线AP：y1x，令y0得x，即|OM|；同理可得|ON|.因为|OM|ON|2，所以2；1，解之得t0，所以直线方程为ykx，所以直线l恒过定点(0,0)答案：(1)y21(2)见解析2(2018全国卷)设抛物线C：y22x，点A(2,0)，B(2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：ABMABN.解：(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x2，可得M的坐标为(2,2)或(2，2)所以直线BM的方程为yx1或yx1.(2)当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以ABMABN.当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x2)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x10，x20.由得ky22y4k0，可知y1y2，y1y24.直线BM，BN的斜率之和为kBMkBN.将x12，x22及y1y2，y1y2的表达式代入式分子，可得x2y1x1y22(y1y2)0.所以kBMkBN0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以ABMABN.综上，ABMABN.主干整合1有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|x2x1|或|P1P2| |y2y1|(k0)，其中求|x2x1|与|y2y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：|x2x1|，|y2y1|.(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)2圆锥曲线中的最值(1)椭圆中的最值F1，F2为椭圆1(ab0)的左、右焦点，P为椭圆的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有：|OP|b，a；|PF1|ac，ac；|PF1|PF2|b2，a2；F1PF2F1BF2.(2)双曲线中的最值F1，F2为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，O为坐标原点，则有：|OP|a；|PF1|ca.(3)拋物线中的最值点P为拋物线y22px(p0)上的任一点，F为焦点，则有：|PF|；A(m，n)为一定点，则|PA|PF|有最小值3拋物线焦点弦的几个重要结论直线AB过拋物线y22px(p0)的焦点，交拋物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图(1)y1y2p2，x1x2.(2)|AB|x1x2p，x1x22p，即当x1x2时，弦长最短为2p.(3)为定值.(4)弦长|AB|(为AB的倾斜角)(5)以AB为直径的圆与准线相切热点一圆锥曲线中的范围、最值问题数学运算素养数学运算圆锥曲线问题的核心素养以圆锥曲线问题为载体，借助相关知识，通过式的变形考查运算求解能力，体现了数学运算的核心素养.构造函数求最值例11(2019全国卷)已知点A(2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.证明：PQG是直角三角形；求PQG面积的最大值审题指导(1)利用斜率公式及kAMkBM求动点M的轨迹方程(2)根据点P在第一象限的特征，画出满足题意的几何图形，初步判断出PQG中QPG是直角设出直线PQ的斜率和方程，再结合xExP及点P，Q关于原点对称，求出直线QG的斜率和方程，联立直线QG和曲线C的方程，求出点G的坐标，最后求出直线PG的斜率，即可证明kPQkPG1.根据PQG是直角三角形，建立SPQG关于直线PQ的斜率k的关系式求最值解析(1)由题设得，化简得1(|x|2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点(2)证明：设直线PQ的斜率为k，则其方程为ykx(k0)由得x.设u，则P(u，uk)，Q(u，uk)，E(u,0)于是直线QG的斜率为，方程为y(xu)由得(2k2)x22uk2xk2u280.设G(xG，yG)，则u和xG是方程的解，故xG，由此得yG，从而直线PG的斜率为.所以PQPG，即PQG是直角三角形由得|PQ|2u，|PG|，所以PQG的面积S|PQ|PG|.设tk，则由k0得t2，当且仅当k1时取等号因为S在2，)单调递减，所以当t2，即k1，S取得最大值，最大值为.因此，PQG面积的最大值为.最值问题的2种基本解法几何法根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识加以解决的(如拋物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等在选择题、填空题中经常考查)代数法建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值解决的(普通方法、基本不等式方法、导数方法)(如本例)等寻找不等关系解范围问题例12(2018全国卷，节选)已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m0)证明：k0，2221.当m时，取得最小值1，此时G(2,0)5(2019北京卷)已知拋物线C：x22py经过点(2，1)(1)求拋物线C的方程及其准线方程；(2)设O为原点，过拋物线C的焦点作斜率不为0的直线l交拋物线C于两点M，N，直线y1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点解析：本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力(1)将点(2，1)代入抛物线方程：222p(1)可得：p2，故抛物线方程为：x24y，其准线方程为：y1.(2)很明显直线l的斜率存在，焦点坐标为(0，1)，设直线方程为ykx1，与抛物线方程x24y联立可得：x24kx40.故：x1x24k，x1x24.设M，N，则kOM，kON，直线OM的方程为yx，与y1联立可得：A，同理可得B，易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，且：2k，22，则圆的方程为：(x2k)2(y1)24(k21)，令x0整理可得：y22y30，解得：y13，y21，即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0，3)，(0,1)高考解答题审题与规范(五)解析几何类考题重在“巧设”思维流程1.解析几何部分知识点多，运算量大，能力要求高，在高考试题中大都是在压轴题的位置出现，是考生“未考先怕”的题型之一，不是怕解题无思路，而是怕解题过程中繁杂的运算2.在遵循“设列解”程序化运算的基础上，应突出解析几何“设”的重要性，以克服平时重思路方法、轻运算技巧的顽疾，突破如何避繁就简这一瓶颈.真题案例审题指导审题方法(12分)(2019全国卷)已知曲线C：y，D为直线y上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆的圆与直线AB相切，切点为线段AB的中点，求四边形ABCD的面积.(1)设点D的坐标为，根据导数的几何意义确定切线DA，DB的斜率，利用方程的同解性得出直线AB的方程，进而证明直线过定点(2)联立直线AB与拋物线的方程，求出AB的弦长及点D，E到直线AB的距离，建立四边形ADBE的面积表达式，再利用直线与圆相切的条件求出参数的值，进而可求四边形ADBE的面积.审方法数学思想是问题的主线，方法是解题的手段审视方法，选择适当的解题方法，往往使问题的解决事半功倍审题的过程还是一个解题方法的抉择过程，开拓的解题思路能使我们心涌如潮，适宜的解题方法则帮助我们事半功倍.规范解答解析(1)设D，A(x1，y1)，则x2y1.1分由yx，所以切线DA的斜率为x1，故x1.整理得2tx12y110.2分设B(x2，y2)，同理可得2tx22y210.3分故直线AB的方程为2tx2y10.4分所以直线AB过定点5分(2)由(1)得直线AB的方程为ytx.由可得x22tx10.6分于是x1x22t，x1x21，y1y2t(x1x2)12t21，|AB|x1x2|2(t21).7分设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1，d2.因此，四边形ADBE的面积S|AB|(d1d2)(t23).9分设M为线段AB的中点，则M.由于，而(t，t22)，与向量(1，t)平行，所以t(t22)t0.解得t0或t1.11分当t0时，S3；当t1时，S4.因此，四边形ADBE的面积为3或4.12分评分细则第(1)问踩点得分设出D点、A点坐标得1分求出A点处的切线方程得1分同理写出B点处的切线方程得1分求出AB的方程得1分求出定点得1分第(2)问踩点得分联立方程组得x的一元二次方程得1分用t表示出|AB|的长得1分分别求出点D、E到AB的距离得1分；表示出四边形的面积得1分求出M点及的坐标得1分；求出AB的方向向量，利用求出t的值得1分求出四边形的面积得1分.- 17 -
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