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第1讲直线与圆 考情考向高考导航对于直线的考查，主要是求直线的方程；两条直线平行与垂直的判定；两条直线的交点和距离等问题一般以选择题、填空题的形式考查对于圆的考查，主要是结合直线的方程，用几何法或待定系数法确定圆的标准方程；对于直线与圆、圆与圆的位置关系等问题，含参数问题为命题热点，一般以选择题、填空题的形式考查，难度不大，涉及圆的解答题有逐渐强化的趋势真题体验1(2018全国卷)直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2y22上，则ABP面积的取值范围是()A2,6B4,8C，3 D2，3解析：A由已知A(2,0)，B(0，2)圆心(2,0)到直线xy20的距离为d2，又圆的半径为.点P到直线xy20的距离的最小值为，最大值为3，又|AB|2.ABP面积的最小值为Smin22，最大值为Smax236.2(2018北京卷)在平面直角坐标系中，记d为点P(cos ，sin )到直线xmy20的距离当，m变化时，d的最大值为()A1 B2 C3 D4解析：C本题考查直线与圆的位置关系点P(cos ，sin )是单位圆x2y21上的点，直线xmy20过定点(2,0)，当直线与圆相离时，d可取到最大值，设圆心到直线的距离为d0，d0，dd011，可知，当m0时，dmax3，故选C.3(2018天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为_解析：设圆的方程为x2y2DxEyF0，圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，则：解得则圆的方程为x2y22x0.答案：x2y22x04(2018全国卷)直线yx1与圆x2y22y30交于A，B两点，则|AB|_.解析：圆方程可化为x2(y1)24，圆心为(0，1)，半径r2，圆心到直线xy10的距离d，|AB|222.答案：2主干整合1两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1l2k1k2，l1l2k1k21.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在2两个距离公式(1)两平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20间的距离d.(2)点(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.3圆的方程(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，圆心为(a，b)，半径为r.(2)圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)，圆心为，半径为r.4直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：dr相交；dr相切；dr相离(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式来讨论位置关系：0相交；0相切；0相离热点一直线的方程及其应用例1(1)(2020大连模拟)“a2”是“直线axy20与直线2x(a1)y40平行”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析A由axy20与直线2x(a1)y40平行，得a(a1)2，a1，a2.经检验当a1时，两直线重合(舍去)“a2”是“直线axy20与直线2x(a1)y40平行”的充要条件(2)(2020厦门模拟)过直线l1：x2y30与直线l2：2x3y80的交点，且到点P(0,4)的距离为2的直线方程为_解析由得所以l1与l2的交点为(1,2)，当所求直线的斜率不存在时，所求直线为x1，显然不符合题意故设所求直线的方程为y2k(x1)，即kxy2k0，因为P(0,4)到所求直线的距离为2，所以2，所以k0或k.所以所求直线的方程为y2或4x3y20.答案y2或4x3y20(3)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i1,2,3.记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_解析设，线段A1B1的中点为E1(x1，y1)，则Q12y1.因此，要比较Q1，Q2，Q3的大小，只需比较线段A1B1，A2B2，A3B3中点纵坐标的大小，作图(图略)比较知Q1最大又p1，其几何意义为线段A1B1的中点E1与坐标原点连线的斜率，因此，要比较p1，p2，p3的大小，只需比较线段A1B1，A2B2，A3B3中点与坐标原点连线的斜率，作图比较知p2最大答案Q1p2求解直线方程应注意的问题(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2A2B10建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的情况(2)要注意几种直线方程的局限性点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线(3)求直线方程要考虑直线的斜率是否存在(2020宁德模拟)过点M(0,1)作直线，使它被两条直线l1：x3y100，l2：2xy80所截得的线段恰好被M所平分，则此直线方程为_解析：过点M且与x轴垂直的直线是x0，它和直线l1，l2的交点分别为，(0,8)，显然不符合题意，故可设所求直线方程为ykx1，其图象与直线l1，l2分别交于A，B两点，则有由解得xA，由解得xB.因为点M平分线段AB，所以xAxB2xM，即0，解得k.故所求的直线方程为yx1，即x4y40.答案：x4y40热点二圆的方程及应用例2(1)(山东高考题)圆心在直线x2y0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为_解析设圆C的圆心为(a，b)(b0)，由题意得a2b0，且a2()2b2，解得a2，b1.所求圆的标准方程为(x2)2(y1)24.答案(x2)2(y1)24(2)(2019唐山三模)已知A(2,0)，B(0,2)，实数k是常数，M，N是圆x2y2kx0上两个不同点，P是圆x2y2kx0上的动点，如果M，N关于直线xy10对称，则PAB面积的最大值是_解析依题意得圆x2y2kx0的圆心位于直线xy10上，于是有10，即k2，因此圆心坐标是(1,0)，半径是1.由题意可得|AB|2，直线AB的方程是1，即xy20，圆心(1,0)到直线AB的距离等于，点P到直线AB的距离的最大值是1，PAB面积的最大值为23.答案3求圆的方程的两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系，求出圆的基本量：圆心坐标和半径如圆中弦所在的直线与圆心和弦中点的连线相互垂直，设圆的半径为r，弦长为|AB|，弦心距为d，则r2d22等(2)代数法：设出圆的方程，用待定系数法求解在求圆的方程时，要根据具体的条件选用合适的方法，但一般情况下，应用几何法运算较简捷(1)(2019临沂三模)已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x2的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为2，且与直线l2：2xy40相切，则圆M的标准方程为_解析：由已知，可设圆M的圆心坐标为(a,0)，a2，半径为r，得解得满足条件的一组解为所以圆M的方程为(x1)2y24.答案：(x1)2y24(2)(2020马鞍山模拟)圆心在曲线y(x0)上，且与直线2xy10相切的面积最小的圆的标准方程为_解析：由条件设圆心坐标为(a0)，又因为圆与直线2xy10相切，所以圆心到直线的距离dr，当且仅当2a，即a1时取等号，所以圆心坐标为(1,2)，圆的半径的最小值为，则所求圆的方程为(x1)2(y2)25.答案：(x1)2(y1)25热点三直线(圆)与圆的位置关系直观想象素养直观想象圆的方程应用中的核心素养以学过的圆的相关知识为基础，借助曲线的方程感知一类问题共同特征的“直观想象”，然后利用“直观想象”解决问题.例3(1)(2020湖北八校联考)过点(，0)作直线l与曲线y相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于_解析令P(，0)，如图，易知|OA|OB|1，所以SAOB|OA|OB|sinAOBsinAOB，当AOB90时，AOB的面积取得最大值，此时过点O作OHAB于点H，则|OH|，于是sinOPH，易知OPH为锐角，所以OPH30，则直线AB的倾斜角为150，故直线AB的斜率为tan 150.答案(2)如图所示，已知以点A(1,2)为圆心的圆与直线l1：x2y70相切过点B(2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.当|MN|2时，则直线l的方程为_若为定值，则这个定值为_解析设圆A的半径为R.圆A与直线l1：x2y70相切，R2.圆A的方程为(x1)2(y2)220.a当直线l与x轴垂直时，易知x2符合题意；b当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x2)，即kxy2k0.连接AQ，则AQMN.|MN|2，|AQ|1.由|AQ|1，得k，直线l的方程为3x4y60.所求直线l的方程为x2或3x4y60.AQBP，0.().当直线l与x轴垂直时，得P.则，又(1,2)，5.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x2)由解得P.5.综上所述：为定值，其定值为5.答案x2或3x4y605直线(圆)与圆的位置关系的解题思路(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为两圆心之间的距离问题(1)(2020银川调研)已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是_解析：由题意知圆M的圆心为(0，a)，半径Ra，因为圆M截直线xy0所得线段的长度为2，所以圆心M到直线xy0的距离d(a0)，解得a2，又知圆N的圆心为(1,1)，半径r1，所以|MN|，则RrRr，所以两圆的位置关系为相交答案：相交(2)(2020江西七校联考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_解析：圆C：(x4)2y21，如图，直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需保证圆心C到ykx2的距离小于等于2即可，20k.kmax.答案：限时40分钟满分80分一、选择题(本大题共11小题，每小题5分，共55分)1(2020成都二诊)设a，b，c分别是ABC中角A，B，C所对的边，则直线sin Axayc0与bxsin Bysin C0的位置关系是()A平行 B重合C垂直 D相交但不垂直解析：C由题意可得直线sin Axayc0的斜率k1，bxsin Bysin C0的斜率k2，故k1k21，则直线sin Axayc0与直线bxsin Bysin C0垂直，故选C.2(2020杭州质检)一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为()A或 B或C或 D或解析：D点(2，3)关于y轴的对称点为(2，3)，故可设反射光线所在直线的方程为y3k(x2)，反射光线与圆(x3)2(y2)21相切，圆心(3,2)到直线的距离d1，化简得12k225k120，解得k或.3(2020广州模拟)若动点A，B分别在直线l1：xy70和l2：xy50上运动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A. B2C3 D4解析：C由题意知AB的中点M的集合为到直线l1：xy70和l2：xy50的距离都相等的直线，则点M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离设点M所在直线的方程为l：xym0，根据两平行线间的距离公式得，即|m7|m5|，所以m6，即l：xy60，根据点到直线的距离公式，得点M到原点的距离的最小值为3.4(2020河南六校联考)已知直线xya与圆x2y21交于A，B两点，O是坐标原点，向量，满足|，则实数a的值为()A1 B2C1 D2解析：C由，满足|，得，因为直线xya的斜率是1，所以A，B两点在坐标轴上并且在圆上；所以(0,1)和(0，1)两点都适合直线的方程，故a1.5(2020怀柔调研)过点P(1，2)作圆C：(x1)2y21的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为()Ay ByCy Dy解析：B圆(x1)2y21的圆心为C(1,0)，半径为1，以|PC|2为直径的圆的方程为(x1)2(y1)21，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y10，即y.故选B.6(2020温州模拟)已知圆C：(x2)2y22，直线l：ykx，其中k为，上的任意一个实数，则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为()A. B.C. D.解析：D当直线l与圆C相离时，圆心C到直线l的距离d，解得k1或k1，又k，所以k1或1k，故事件“直线l与圆C相离”发生的概率P，故选D.7(2019潍坊三模)已知O为坐标原点，A，B是圆C：x2y26y50上两个动点，且|AB|2，则|的取值范围是()A62，62 B3，3C3,9 D3,6解析：A圆C：x2(y3)24，取弦AB的中点M，连接CM，CA，在直角三角形CMA中，|CA|2，|MA|1，则|CM|，则点M的轨迹方程为x2(y3)23，则|2|62，628(多选题)直线xym0与圆x2y22x10有两个不同的交点的一个充分不必要条件是()A0m1 Bm1C2m1 D3m1解析：AC本题主要考查直线与圆的位置关系的判断圆x2y22x10的圆心为(1,0)，半径为.因为直线xym0与圆x2y22x10有两个不同的交点，所以直线与圆相交，因此圆心到直线的距离d，所以|1m|2，解得3m1，求其充分条件，即求其子集，故由选项易得AC符合故选AC.9(2020合肥质检)已知圆C1：(x2)2(y3)25与圆C2相交于A(0,2)，B(1,1)两点，且四边形C1AC2B为平行四边形，则圆C2的方程为()A(x1)2y25B(x1)2y2C.225D.22解析：A通解(常规求解法)设圆C2的圆心坐标为(a，b)，连接AB，C1C2.因为C1(2,3)，A(0,2)，B(1,1)，所以|AC1|BC1|，所以平行四边形C1AC2B为菱形，所以C1C2AB且|AC2|.可得解得或则圆心C2的坐标为(1,0)或(2,3)(舍去)因为圆C2的半径为，所以圆C2的方程为(x1)2y25.故选A.优解(特值验证法)由题意可知，平行四边形C1AC2B为菱形，则|C2A|C1A|，即圆C2的半径为，排除B，D；将点A(0,2)代入选项A，C，显然选项A符合故选A.10(2020惠州二测)已知圆C：x2y22ax2bya2b210(a0)的圆心在直线xy0上，且圆C上的点到直线xy0的距离的最大值为1，则a2b2的值为()A1 B2C3 D4解析：C化圆C：x2y22ax2bya2b210(a0)为标准方程得C：(xa)2(yb)21，其圆心为(a，b)，故ab0，即ba，(a，b)到直线xy0的距离d，因为圆C上的点到直线xy0的距离的最大值为1，故d1|2a1|11，得到|2a1|2，解得a或a(舍去)，故b，故a2b2223.选C.11(2019烟台三模)已知圆C：(x1)2(y4)210和点M(5，t)，若圆C上存在两点A，B使得MAMB，则实数t的取值范围是()A2,6 B3,5C2,6 D3,5解析：C当MA，MB是圆C的切线时，AMB取得最大值，若圆C上存在两点A，B使得MAMB，则MA，MB是圆C的切线时，AMB90，AMC45，且AMC90，如图，所以|MC|，所以16(t4)220，所以2t6，故选C.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)12(双空填空题)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C过点A(0，8)，且与圆x2y26x6y0相切于原点，则圆C的方程为_，圆C被x轴截得的弦长为_解析：本题考查圆与圆的位置关系将已知圆化为标准式得(x3)2(y3)218，圆心为(3,3)，半径为3.由于两个圆相切于原点，连心线过切点，故圆C的圆心在直线yx上由于圆C过点(0,0)，(0，8)，所以圆心又在直线y4上联立yx和y4，得圆心C的坐标(4，4)又因为点(4，4)到原点的距离为4，所以圆C的方程为(x4)2(y4)232，即x2y28x8y0.圆心C到x轴距离为4，则圆C被x轴截得的弦长为28.答案：x2y28x8y0813(2019哈尔滨二模)设圆x2y22x2y20的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|2，则直线l的方程为_解析：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x0，联立方程得得 或|AB|2，符合题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx3，圆x2y22x2y20，即(x1)2(y1)24，其圆心为C(1,1)，圆的半径r2，圆心C(1,1)到直线ykx3的距离d，d22r2，34，解得k，直线l的方程为yx3，即3x4y120.综上，直线l的方程为3x4y120或x0.答案：x0或3x4y12014若圆x2y24与圆x2y2ax2ay90(a0)相交，公共弦的长为2，则a_.解析：联立两圆方程可得公共弦所在直线方程为ax2ay50，故圆心(0,0)到直线ax2ay50的距离为(a0)故2 2，解得a2，因为a0，所以a.答案：15(2018江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若0，则点A的横坐标为_解析：AB为直径ADBDBD即B到直线l的距离|BD|2.|CD|AC|BC|r，又CDAB.|AB|2|BC|2设A(a,2a)|AB|2a1或3(1舍去)答案：316(2020厦门模拟)为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为A，B，C三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理A，B，C三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站M只能建在与A村相距5 km，且与C村相距 km的地方已知B村在A村的正东方向，相距3 km，C村在B村的正北方向，相距3 km，则垃圾处理站M与B村相距_km.解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0,0)，B(3,0)，C(3,3)由题意得垃圾处理站M在以A(0,0)为圆心，5为半径的圆A上，同时又在以C(3,3)为圆心，为半径的圆C上，两圆的方程分别为x2y225和(x3)2(y3)231.由解得或垃圾处理站M的坐标为(5,0)或，|MB|2或|MB| 7，即垃圾处理站M与B村相距2 km或7 km.答案：2或7- 14 -
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