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第70讲不等式的证明考纲要求考情分析命题趋势1.会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：2，并简单应用2了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题3了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2017全国卷，232017江苏卷，21(D)2016全国卷，242015全国卷，24不等式的证明是对必修5中“不等式”的补充和深化，其中以考查综合法、分析法、放缩法等为主另外应用基本不等式、柯西不等式求函数的最值也是高考考查的一个方向.分值：510分1比较法作差比较法与作商比较法的基本原理：(1)作差法：ab0_ab_.(2)作商法：_1_ab(a0，b0)2综合法与分析法(1)综合法：证明不等式时，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过_推理论证_而得出命题成立，综合法又叫顺推证法或由因导果法(2)分析法：证明命题时，从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的_充分条件_，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立这是一种_执果索因_的思考和证明方法3反证法先假设要证的命题_不成立_，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的_推理_，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)_矛盾_的结论，以说明假设_不正确_，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法4放缩法证明不等式时，通过把所证不等式的一边适当地_放大_或_缩小_以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法5数学归纳法数学归纳法证明不等式的一般步骤：(1)证明当_nn0_时命题成立；(2)假设当_nk_(kN*，且kn0)时命题成立，证明_nk1_时命题也成立综合(1)(2)可知，结论对于任意nn0，且n0，nN*都成立6柯西不等式(1)二维柯西不等式：设a，b，c，d均为实数，则(a2b2) (c2d2)(acbd)2，等号当且仅当adbc时成立(2)三维柯西不等式：设a1，a2，a3，b1，b2，b3均为实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2，当且仅当aikbi(i1,2,3)时，等号成立(3)n维柯西不等式：设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当bi0(i1,2，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1,2，n)时，等号成立7排序不等式设a1a2an，b1b2bn为两组实数，c1，c2，cn是b1，b2，bn的任一排列，那么a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn.当且仅当a1a2an或b1b2bn时，反序和等于顺序和1思维辨析(在括号内打“”或打“”)(1)用反证法证明命题“a，b，c全为0”时假设为“a，b，c全不为0”. ()(2)若实数x，y适合不等式xy1，xy2，则x0，y0.()2若a0，b0，a，b的等差中项是，且a，b，则的最小值为(D)A2B3C4D5解析 为a，b的等差中项，ab21.111，ab，当且仅当ab1时“”成立14，即的最小值为5，故选D3设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为(B)A8B4C1D解析 因为3a3b3，所以ab1，(ab)2224，当且仅当，即ab时“”成立，故选B4若直线3x4y2，则x2y2的最小值为_，最小值点为_.解析 设x2y2r2，则直线3x4y20与圆x2y2r2有交点，所以r，当r时，直线与圆相切，切点为直线3x4y2与4x3y0的交点因此，当x，y时，x2y2取得最小值，最小值点为.5定义在R上的函数f(x)对任意两个不等的实数x1，x2都有x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)，则称函数f(x)为“函数”，以下函数中为“函数”的序号为_.yx31；y3x2sin x2cos x；yy解析 由x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)，得(x1x2)(f(x1)f(x2)0，即或即f(x)是R上的增函数，易知是R上的减函数；是R上的偶函数；对于，y32sin0，即为增函数；对于，根据其图象都可以判定为增函数一比较法证明不等式比较法证明不等式的步骤 (1)作差(商)；(2)变形；(3)判断差的符号(商与1的大小关系)；(4)下结论，其中“变形”是关键作差比较法中，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负【例1】 已知a，b，x，y(0，)，且，xy.求证：.证明 方法一(作差比较法)，又且a，b(0，)，ba0.又xy0，bxay. 0，即.方法二(分析法)x，y，a，b(0，)，要证，只需证明x(yb)y(xa)，即证xbya.而由0，ba0.又xy0，知xbya显然成立故原不等式成立二分析法和综合法证明不等式分析法和综合法证明不等式的技巧证明不等式，主要从目标式的结构特征，综合已知条件，借助相关定理公式探索思路，如果这种特征不足以明确解题方法时，就应从目标式开始通过“倒推”分析法，寻找目标式成立的充分条件直至与已知条件吻合，然后从已知条件出发综合写出证明过程【例2】 设a，b，c0，且abbcca1.求证：abc.证明 要证abc，由于a，b，c0，因此只需证明(abc)23.即证a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需证明a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即证a2b2c2abbcca.而这可以由abbccaa2b2c2 (当且仅当abc时等号成立)证得原不等式成立另：按照分析法的思路，由下至上写出证明的过程，便是书写更简单的综合法了三柯西不等式的应用柯西不等式的应用类型及解题策略(1)求表达式的最值依据已知条件，利用柯西不等式求最值，注意等号成立的条件(2)求解析式的值，利用柯西不等式的条件，注意等号成立的条件，进而求得各个量的值，从而求出解析式的值(3)证明不等式注意所证不等式的结构特征，寻找柯西不等式的条件，然后证明【例3】 已知实数a，b，c，d满足abcd3，a22b23c26d25，求证：1a2.证明 由柯西不等式得(2b23c26d2)(bcd)2，即2b23c26d2(bcd)2，由已知可得2b23c26d25a2，bcd3a，5a2(3a)2，即1a2.当且仅当，即2b3c6d时等号成立1设abc0，则2a210ac25c2的最小值是(D)A1B2C3D4解析 2a210ac25c2(a5c)2a2abab(a5c)2aba(ab)0224.当且仅当a5c0，ab1，a(ab)1时等号成立，如取a，b，c满足条件，故选D2若P(x0，y0，z0)，则P与3的大小关系为_P0,1y0,1z0，3，即P3.3已知a，b，c(0，)，且abc1，求证：8.证明 a，b，c(0，)，ab2，bc2，ca2，8.4设a0，b0，且ab.证明：(1)ab2；(2)a2a2与b2b2不可能同时成立证明 由ab，a0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2.(2)假设a2a2与b2b2同时成立，则由a2a2及a0得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾故a2a2与b2b2不可能同时成立易错点混淆恒成立问题、无解问题和有解问题错因分析：转化为最值问题时，弄错大小或忽略等号导致错误【例1】 已知关于x的不等式a，恒成立；无解；有解；分别求a的取值范围解析 设g(x)，则g(x)则2g(x)2，所以a(2，)；a(，2；a(2，)【跟踪训练1】 (2018湖北七市州联考)已知函数f(x)|2xa|2x3|，g(x)|2x3|2.(1)解不等式g(x)5；(2)若对任意x1R，都存在x2R，使得f(x1)g(x2)成立，求实数a的取值范围解析 (1)g(x)5|2x3|332x330xa2bab2.证明 (a3b3)(a2bab2)(ab)(ab)2.因为a，b都是正数，所以ab0.又因为ab，所以(ab)20.于是(ab)(ab)20，即(a3b3)(a2bab2)0，所以a3b3a2bab2.2已知a，b，c都是正数，求证：abc.证明 因为b2c22bc，a20，所以a2(b2c2)2a2bc，同理，b2(a2c2)2ab2c，c2(a2b2)2abc2，相加得2(a2b2b2c2c2a2)2a2bc2ab2c2abc2，从而a2b2b2c2c2a2abc(abc)由a，b，c都是正数，得abc0，因此abc.3(2017安徽联考)已知函数f(x)|x|2x1|，记f(x)1的解集为M.(1)求M；(2)已知aM，比较a2a1与的大小解析 (1)f(x)|x|2x1|由f(x)1，得或或解得0x2，故Mx|0x2(2)由(1)知0a2，因为a2a1，当0a1时，0，所以a2a1，当a1时，0，所以a2a1，当1a0，所以a2a1，综上所述当0a1时，a2a1，当a1时，a2a1，当1a.4(2016全国卷)已知函数f(x)，M为不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)证明：当a，bM时，.解析 (1)f(x)当x时，由f(x)2得2x1，即1x；当x时，f(x)2，即x；当x时，由f(x)2得2x2，解得x1，即x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1(2)证明：由(1)知，当a，bM时，1a1，1b1，从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0.因此|ab|0，b0，a3b32.证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明 (1)(ab)(a5b5) a6ab5b6a5b(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.6(2018东北三校二模)已知a，b，c0，abc1.求证：(1)；(2).证明 (1)由柯西不等式得()2(111)2(121212)()2()2()23，当且仅当，即abc时等号成立，.(2)由柯西不等式得(3a1)(3b1)(3c1)29，又abc1，69，.9
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