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第二章函数与导数第1课时函数及其表示(对应学生用书(文)、(理)911页) 本节是函数部分的起始部分，以考查函数概念、三要素及表示法为主，同时考查学生在实际问题中的建模能力. 本节内容曾以多种题型出现在高考试题中，要求相对较低，但很重要，特别是函数的解析式仍会是2019年高考的重要题型 理解函数的概念，了解构成函数的要素. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 了解简单的分段函数，并能简单应用1. (必修1P26练习3改编)下列对应关系中_是函数(填序号) AR，BR，对于任意的xA，xx的算术平方根； A1，2，3，4，5，B0，2，4，6，8，对于任意的xA，x2x； xx，xR； xy，其中y|x|，xR，yR； xy，其中y为不大于x的最大整数，xR，yZ.答案：解析：均符合函数的定义，对于集合A中的元素5，在集合B中找不到元素与之对应2. (必修1P26练习4改编)下列各组函数中，表示同一函数的是_(填序号) yx1和y； yx0和y1； f(x)x2和g(x)(x1)2； f(x)和g(x).答案： 解析：只有表示同一函数，与中定义域不同，是对应法则不同3. (必修1P31习题1改编)设函数f(x).若f(a)2，则实数a_答案：1解析：由题意可知，f(a)2，解得a1.4. (必修1P31习题8改编)已知函数f(x)由下表给出，则f(3)_x1234f(x)3241答案：4解析：由表中函数值得f(3)4.5. (必修1P36习题3改编)已知函数f(x)在1，2上的图象如图所示，则f(x)的解析式为_答案：f(x)解析：观察图象，知此函数是分段函数，并且在每段上均是一次函数，利用待定系数法求出解析式当1x0时，f(x)x1；当00，f：xy|x|； Ax|x2，xN*，By|y0，yN，f：xyx22x2； Ax|x0，By|yR，f：xy； A|是三角形的内角，By|yR，对应法则：ytan ； Am|mZ，By|y0或y1，对应法则：y答案：解析： 集合A中的零元素，在集合B中没有相应的对应元素 按照对应法则，满足题设条件 一对多，不满足映射的概念 A，但的正切值不存在， 此对应不是从集合A到集合B的映射 集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应， 此对应是从集合A到集合B的映射点评：判断对应是否为映射，即看A中元素是否满足“每元有象”和“且象唯一”；但要注意： A中不同元素可有相同的象，即允许多对一，但不允许一对多； B中元素可无原象，即B中元素可以有剩余已知映射f：AB，其中ABR，对应法则f：xyx22x，对于实数kB，在集合A中不存在元素与之对应，则k的取值范围是_答案：(1，)解析：由题意知，方程x22xk无实数根，即x22xk0无实数根 4(1k)1时满足题意,2函数的解析式),2)求下列各题中的函数f(x)的解析式(1) 已知f(2)x4，求f(x)；(2) 已知flg x，求f(x)；(3) 已知f(x)是二次函数，且满足f(0)1，f(x1)f(x)2x，求f(x)解：(1) (解法1)设t2(t2)，则t2，即x(t2)2， f(t)(t2)24(t2)t24， f(x)x24(x2)(解法2) f(2)(2)24， f(x)x24(x2)(2) 设t1，则x， f(t)lg ，即f(x)lg (x1)(3) f(x)是二次函数， 设f(x)ax2bxc(a0)由f(0)1，得c1.由f(x1)f(x)2x，得a(x1)2b(x1)1ax2bx12x，整理，得(2a2)xab0，由恒等式原理，知 f(x)x2x1.变式训练根据下列条件分别求出f(x)的解析式(1) f(1)x2；(2) 二次函数f(x)满足f(0)3，f(x2)f(x)4x2.解：(1) 令t1， t1，x(t1)2.则f(t)(t1)22(t1)t21，即f(x)x21，x1，)(2) 设f(x)ax2bxc(a0)， f(x2)a(x2)2b(x2)c，则f(x2)f(x)4ax4a2b4x2. 又f(0)3， c3， f(x)x2x3.,3分段函数),3)如图所示，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终点)移动设P点移动的路程为x，ABP的面积为yf(x)(1) 求ABP的面积与P移动的路程间的函数解析式；(2) 作出函数的图象，并根据图象求y的最大值解：(1) 这个函数的定义域为(0，12)，当0x4时，Sf(x)4x2x；当4x8时，Sf(x)8；当8x12时，Sf(x)4(12x)242x. 函数解析式为f(x)(2) 其图象如图所示，由图知fmax(x)8.变式训练已知函数f(x)则满足不等式f(1x2)f(2x)的x的取值范围是_答案：(1，1)解析：函数f(x)的图象如图所示：f(1x2)f(2x)解得1x1.对于实数a和b，定义运算“*”：a*b设函数f(x)(x2)*(3x)，xR.若方程f(x)c恰有两个不同的解，则实数c的取值范围是_答案：(，2)解析：令x2(3x)1，求得x1，则f(x)(x2)*(3x)画出函数f(x)的图象，如图，方程f(x)c恰有两个不同的解，即是函数f(x)的图象与直线yc有2个交点，数形结合可得c0)，g(x)1(x0)；中，f(x)x3(x3)因此填.2. 二次函数yf(x)ax2bxc(xR)的部分对应值如下表：x43210123y60466406则关于x的不等式f(x)0的解集为_答案：3，2解析：由表格数据作出二次函数的草图，结合数据与图象即可发现不等式f(x)0的解集为3，23. 为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文密文密文明文已知加密为yax2(x为明文、y为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是_答案：44. 有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x与容器中的水量y之间的关系如图所示再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x20)，y与x之间的函数关系是_答案：y3x95解析：设进水速度为a1 L/min，出水速度为a2 L/min，则由题意得解得则y353(x20)，得y3x95.当水放完，时间为x min，又知x20，故解析式为y3x95.5. 设函数f(x)若f(a)f(1)，则实数a的取值范围是_答案：(，1)(1，)解析：由f(1)2，则f(a)2.当a0时，有2a42，则a1；当a0时，a32，则a1.所以实数a的取值范围是(，1)(1，)6. 函数f(x)若关于x的方程f(x)kxk至少有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是_答案：(1，)解析：如图，作出函数图象，y2kxk过定点(1，0)，临界点和(1，0)连线的斜率为，又f(1)1，由图象知实数k的取值范围是(1，),3. 分段函数意义理解不清致误)典例已知实数a0，函数f(x)若f(1a)f(1a)，则a的值为_易错分析：(1) 误以为1a1，没有对a进行讨论直接代入求解；(2) 求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求致误解析：当a0时，1a1，由f(1a)f(1a)可得22aa1a2a，解得a，不合题意；当a1，1a1，由f(1a)f(1a)可得1a2a22aa，解得a.答案：特别提醒：(1) 注意分类讨论思想在求函数值中的应用，对于分段函数的求值问题，若自变量的取值范围不确定，应分情况求解；(2) 检验所求自变量的值或范围是否符合题意，求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求1. 已知集合Aa，b，c，B1，2，那么可建立从A到B的映射个数是_，从B到A的映射个数是_答案：89解析：依题意，建立从A到B的映射，即集合A中的每一个元素在集合B中找到对应元素，从而从A到B的映射个数为238，从B到A的映射个数是329.所以填写答案依次为：8；9.2. 已知一个函数的解析式为yx2，它的值域为1，4，这样的函数有_个答案：9解析：列举法：定义域可能是1，2、1，2、1，2、1，2、1，2，2、1，2，2、1，1，2、1，1，2、1，1，2，23. 若函数f(x)，f(2)1，又方程f(x)x有唯一解，则f(x)_答案：解析：由f(2)1得1，即2ab2；由f(x)x得x，变形得x0，解此方程得x0或x， 方程有唯一解， 0，解得b1，代入2ab2得a， f(x).4. 如图，动点P从单位正方形ABCD顶点A开始，顺次经B，C，D绕边界一周，当x表示点P的行程，y表示PA之长时，求y关于x的解析式，并求f的值解：当P在AB上运动时，yx(0x1)；当P在BC上运动时，y(1x2)；当P在CD上运动时，y(2x3)；当P在DA上运动时，y4x(3x4). y f.5. 已知函数f(x)则不等式f(x)1的解集是_答案：4，2解析：f(x)1，等价于或解之得4x0或01且x1，故函数的定义域为(1，1)(1，)3. 函数y的值域为_答案：解析： x222， 0. 00时，值域为，)；当a0且a1)的值域是(0，) ylogax(a0且a1)的值域是R ysin x，ycos x的值域是1，1 ytan x的值域是R3. 函数的最值一般地，设yf(x)的定义域为A.(1) 如果存在x0A，使得对于任意的xA，都有f(x)f(x0)，那么称f(x0)为yf(x)的最大值，记为ymaxf(x0)(2) 如果存在x0A，使得对于任意的xA，都有f(x)f(x0)，那么称f(x0)为yf(x)的最小值，记为yminf(x0)4. 值域与最值的关系若函数yf(x)的最大值为b，最小值为a，那么yf(x)的值域必定是数集a，b的子集，若f(x)可以取到a，b中的一切值，那么其值域就是a，b5. 复合函数如果函数yf(u)(uA)，ug(x)(xB，uA)，则yf(g(x)叫做由函数yf(u)(uA)，ug(x)(xB，uA)合成的复合函数，u叫做中间变量yf(u)(uA)，叫做该复合函数的外层函数，而ug(x)(xB)叫做该复合函数的内层函数注意：由ug(x)(xB)求出的值域一定是A.即内层函数的值域是外层函数的定义域6. 函数解析式的表示离不开函数的定义域备课札记,1求函数的定义域),1)(1) 已知函数f(x)的定义域是0，2，则函数g(x)ff的定义域是_(2) 函数y的定义域为_答案：(1) (2) (1，1)解析：(1) 因为函数f(x)的定义域是0，2，所以函数g(x)ff中的自变量x需要满足：解得所以x，所以函数g(x)的定义域是.(2) 由得1x1.变式训练(1) 求函数y的定义域；(2) 函数f(x)的定义域是1，1，求f(log2x)的定义域解：(1) 由得 函数定义域是(，1)(1，0)(2) 函数f(x)的定义域是1，1， 1log2x1， x2.故f(log2x)的定义域为.求下列函数的定义域：(1) y(x1)0；(2) ylg sin x.解：(1) 由题意得，解得， 3x2且x1， 所求函数的定义域为x|3x2且x1(2) 由题意得解得 2x或0x或21)解：(1) (解法1：换元法)令t，则t0且x，于是f(t)t(t1)21.由于t0，所以f(t)，故函数的值域是.(解法2：单调性法)容易判断f(x)为增函数，而其定义域应满足12x0，即x，所以f(x)f，即函数的值域是.(2) y1.因为1x21，所以02.所以10)，所以yt2(t0)因为t22，当且仅当t，即x1时，等号成立，故所求函数的值域为22，)求下列函数的值域：(1) f(x)；(2) g(x)；(3) ylog3xlogx31.解：(1) 由解得3x1. f(x)的定义域是3，1令yf(x)，则y0， y242，即y242(3x1)令t(x)(x1)24(3x1) x3，1，由t(3)0，t(1)4，t(1)0，知0t(x)4，从而y24，8，即y2，2， 函数f(x)的值域是2，2(2) g(x)1(x3且x4) x3且x4， g(x)1且g(x)6. 函数g(x)的值域是(，6)(6，1)(1，)(3) 函数的定义域为x|x0且x1当x1时，log3x0，logx30，ylog3xlogx31211；当0x1时，log3x0，logx30恒成立，试求实数a的取值范围【思维导图】 函数恒成立不等式恒成立分类讨论新函数的最值a的取值范围【规范解答】 解：(1) 当a时，f(x)x2. f(x)在区间1，)上为增函数， f(x)在区间1，)上的最小值为f(1).(2) (解法1)在区间1，)上，f(x) 0恒成立， x22xa0恒成立设yx22xa，x1，) yx22xa(x1)2a1在1，)上单调递增， 当x1时，ymin3a，当且仅当ymin3a0时，函数f(x)0恒成立，故a3.(解法2)f(x)x2，x1，)当a0时，函数f(x)的值恒为正；当a0时，函数f(x)0恒成立，故a3.【精要点评】 解法1运用转化思想把f(x)0转化为关于x的二次不等式；解法2运用了分类讨论思想总结归纳(1) 求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域(2) 函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性等一些基本知识相结合的题目此类问题要求具备较高的数学思维能力、综合分析能力以及较强的运算能力(3) 运用函数的值域解决实际问题此类问题的关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题目要求具有较强的分析能力和数学建模能力题组练透1. 函数y的值域是_答案：解析： x2x12， y， 值域为.2. 函数yx的值域是_答案：(，1解析：令t(t0)，则x. yt (t1)211， 值域为(，13. 已知函数f(x)x24ax2a6.(1) 若f(x)的值域是0，)，求a的值；(2) 若函数f(x)0恒成立，求g(a)2a|a1|的值域解：(1) f(x)的值域是0，)，即f(x)min0， 0， a1或.(2) 若函数f(x)0恒成立，则(4a)24(2a6)0，即2a2a30， 1a， g(a)2a|a1|当1a1时，g(a)a2a2， g(a)；当10且a1)的值域是4，)，则实数a的取值范围是_答案：(1，2解析：当x2时，x64，要使得函数f(x)的值域为4，)，只需当x2时，f(x)3logax的值域在区间4，)内即可，故a1，所以3loga24，解得1a2，所以实数a的取值范围是(1，25. 已知函数f(x)axb(a0且a1)的定义域和值域都是1，0，则ab_答案：解析：当a1时，该方程组无解；当0a1时，解得则ab2.6. (2018南阳一中二模)设g(x).(1) 若g(x)的定义域为R，求m的取值范围；(2) 若g(x)的值域为0，)，求m的取值范围解：令f(x)mx2x1.(1) 由题意知f(x)0在R上恒成立 当m0时， f(x)x10在R上不恒成立； 当m0时，要满足题意必有 m.综上所述，m的取值范围是.(2) 由题意知，f(x)mx2x1能取到一切大于或等于0的实数 当m0时，f(x)x1可以取到一切大于或等于0的实数； 当m0时，要满足题意必有 0m.综上所述，m的取值范围是.点睛：本题主要考查函数的定义域与值域、分类讨论思想，属于中档题分类讨论思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数的问题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并能应用于解题当中1. 函数f(x)的定义域为_答案：3，)解析：由题意知解得x3.2. (2018溧阳中学周练)函数f(x)ln()的定义域为_答案：4，0)(0，1)解析：函数的定义域必须满足条件：解得x4，0)(0，1)3. 当x_时，函数f(x)(xa1)2(xa2)2(xan)2取得最小值答案：解析：f(x)nx22(a1a2an)x(aaa)，当x时，f(x)取得最小值4. 设函数f(x)若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是_答案：(，12，)解析：f(x)的值域为R，则22a2a2，实数a的取值范围是(，12，). 5. 已知函数f(x)1的定义域是a，b(a，bZ)，值域是0，1，则满足条件的整数数对(a，b)共有_个答案：5解析：由011，即12，解得0|x|2，满足条件的整数数对有(2，0)，(2，1)，(2，2)，(0，2)，(1，2)共5个6. 求函数y的值域解：函数yf(x)的几何意义：平面内一点P(x，0)到两点A(3，4)和B(5，2)的距离之和就是y的值由平面几何知识，找出点B关于x轴的对称点B(5，2)连结AB，交x轴于一点P，点P即为所求的最小值点，yminAB10.所以函数的值域为10，)1. 函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础，因此，我们一定要树立函数定义域优先的意识2. 函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用3. 求函数值域的常用方法：图象法、配方法、换元法、基本不等式法、单调性法、分离常数法、导数法等理论上一切函数求值域或最值均可考虑“导数法”，但在具体的解题中要与初等方法密切配合备课札记第1课时 函数的单调性(对应学生用书(文)、(理)1517页) 函数单调性的概念是函数性质中最重要的概念，仍将会是2019年高考的重点，特别要注意函数单调性的应用. 常见题型：a.求函数的单调区间；b.用定义判断函数在所给区间上的单调性；c.强化应用单调性解题的意识，如比较式子的大小，求函数最值，已知函数的单调性求参数的取值范围等 理解函数单调性的定义，并利用函数单调性的定义判断或证明函数在给定区间上的单调性. 理解函数的单调性、最大(小)值的几何意义，会用单调性方法求函数的最大(小)值. 能利用函数的单调性解决其他一些综合性问题1. 下列函数中，在(，0)上为减函数的是_(填序号) y； yx3； yx0 ； yx2.答案：解析： 函数yx2的图象是开口向上的抛物线，对称轴为y轴， 函数yx2在(，0)上为减函数2. (必修1P44习题2改编)(1) 函数f(x)2x1的单调增区间是_；函数g(x)3x2在区间(，)上为_函数(2) 函数f(x)x22x1的单调增区间为_，单调减区间为_(3) 函数f(x)1在区间(，0)上是单调_函数(4) 函数y在区间1，3上是单调_函数答案：(1) (，)单调减(2) 1，)(，1(3) 增(4) 减3. (必修1P54本章测试6改编)若函数y5x2mx4在区间(，1上是减函数，在区间1，)上是增函数，则m_答案：10解析：函数y5x2mx4的图象为开口向上，对称轴是x的抛物线，要使函数y5x2mx4在区间(，1上是减函数，在区间1，)上是增函数，则1， m10.4. 已知函数f(x)在区间(2，)上为增函数，则实数a的取值范围是_答案：解析：f(x)a，由复合函数的增减性可知，g(x)在(2，)上为增函数， 12a.5. 设函数f(x)满足：对任意的x1，x2R都有(x1x2)f(x1)f(x2)0，则f(3)与f()的大小关系是_答案：f(3)f()解析：由(x1x2)f(x1)f(x2)0，可知函数f(x)为增函数，又3， f(3)f()1. 增函数和减函数一般地，设函数yf(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说yf(x)在区间D上是单调增函数(如图所示)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说yf(x)在区间D上是单调减函数(如图所示) 2. 单调性与单调区间如果一个函数在某个区间D上是单调增函数或是单调减函数，那么就说这个函数在这个区间D上具有单调性(区间D称为单调区间)3. 判断函数单调性的方法(1) 定义法利用定义严格判断(2) 利用函数的运算性质如果f(x)，g(x)为增函数，则 f(x)g(x)为增函数； 为减函数(f(x)0)； 为增函数(f(x)0)； f(x)g(x)为增函数(f(x)0，g(x)0)； f(x)为减函数(3) 利用复合函数关系判断单调性法则是“同增异减”，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数(4) 图象法奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性4. 函数的单调性的证明方法已知函数解析式，证明其在某区间上的单调性一般只能严格用定义(或导数)来证明主要步骤：(1) 设元；(2) 作差(商)；(3) 变形(变形要彻底，一般通过因式分解、配方等方法，直到符号的判定非常明显)；(4) 判断符号；(5) 结论备课札记,1函数单调性的判断),1)判断函数f(x)(a0)在区间(1，1)上的单调性分析：此函数既不是常见函数，也不是由常见函数经过简单的复合而成，因此要判断其在区间(1，1)上的单调性，只能用函数单调性的定义解：任取x1，x2(1，1)，且x1x2，则f(x1)f(x2).由1x1x20， 当a0时，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)， f(x)在(1，1)上单调递减；同理，当a0时，f(x)在(1，1)上单调递增证明函数f(x)在区间1，)上是减函数证明：设任取x1，x21，)，且x1x2.f(x1)f(x2). x1，x21，)，且x1x2， x1x20，1x1x20， f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2) f(x)在1，)上为减函数点评：亦可证明函数f(x)在区间1，1上是增函数由于函数f(x)是定义在R上的奇函数，故利用单调性与奇偶性可作出函数f(x)的图象同时也可得到函数f(x)在1，1上的值域为.,2求函数的单调区间),2)求下列函数的单调区间：(1) yx23|x|；(2) y；(3) ylog2(6x2x2)解：(1) yx23|x| 由图象可知，y在，上为减函数，在，上为增函数(2) 易得定义域为R，令ux22x(x1)21，则u在(，1上为减函数，在1，)上为增函数又y在(，)上为减函数， y的单调增区间为(，1，单调减区间为1，)(3) 由题意得6x2x20，化简得2x2x60，即(2x3)(x2)0，解得x2，即定义域为.设u6x2x22，易知其在上为增函数，在上为减函数，又ylog2u在定义域上为增函数， ylog2(6x2x2)的单调增区间为，单调减区间为.点评：已知函数的解析式，讨论或求函数的单调区间，应首先确定函数的定义域，然后再根据复合函数单调性的判断规则在函数的定义域内求内层函数相应的单调区间变式训练函数y(x3)|x|的单调递增区间是_答案：解析：y画图象如图所示，可知单调递增区间为.作出函数f(x)|x21|x的图象，并根据函数图象写出函数的单调区间解：当x1或x1时， yx2x12；当1x1时， yx2x12.函数图象如图，由函数图象可知函数单调减区间为(，1，；单调增区间为，1，),3函数的单调性与最值)典型示例,3)求f(x)x22ax1在区间0，2上的最大值和最小值【思维导图】 判断对称轴与区间的不同位置关系分别画出图象判断f(x)在区间的单调性求出最值【规范解答】 解：f(x)(xa)21a2，对称轴为xa.(1) 当a0时，由图可知，f(x)minf(0)1，f(x)maxf(2)34a.(2) 当0a1时，由图可知，f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(2)34a.(3) 当12时，由图可知，f(x)minf(2)34a，f(x)maxf(0)1.综上，当a0时，f(x)min1，f(x)max34a；当0a1时，f(x)min1a2，f(x)max34a；当12时，f(x)min34a，f(x)max1.【精要点评】 (1) 二次函数的单调区间是由图象的对称轴确定的故需要确定对称轴与区间的关系由于对称轴是xa，而a的取值不定，从而导致了分类讨论(2) 不是应该分a2三种情况讨论吗？为什么成了四种情况？这是由于抛物线的对称轴在区间0，2所对应的区域时，最小值是在顶点处取得，但最大值却有可能是f(0)，也有可能是f(2)总结归纳(1) 要注意函数思想在求函数值域中的运用，求函数最值常借助函数单调性含有参数的最值问题，需要分类讨论参数在不同范围内时函数单调性的变化，进而判断最值的位置(2) 不等式恒成立问题也可以转化为求函数的最值问题题组练透1. 函数y2x的值域是_答案：2，)解析：x1，y是x的增函数，当x1时，ymin2， 函数的值域为2，)2. 已知x0，1，则函数y的值域是_答案：1，解析：该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小；自变量最大时，函数值最大3. 函数f(x)(x3，6)的值域为_答案：1，4解析：区间3，6是函数f(x)的单调减区间，把x3，x6分别代入f(x)中可得最大值、最小值4. 已知aR且a1，求函数f(x)在1，4上的最值解：由f(x)a.当1a0，即a1时，f(x)在1，4上为减函数， fmax(x)f(1)，fmin(x)f(4)；当1a1时，f(x)在1，4上为增函数， fmax(x)f(4)，fmin(x)f(1).5. 已知二次函数f(x)ax2bx1，若f(1)0，且函数f(x)的值域为0，)(1) 求a，b的值；(2) 若h(x)2f(x1)x|xm|2m，求h(x)的最小值解：(1) 显然a0， f(1)0， ab10.又f(x)的值域为0，)， b24a0.由解得(2) 由(1)知f(x)x22x1，h(x)2x2x|xm|2m，即h(x) 若m0，则hmin(x)min，即hmin(x)min.又2m22m0， 当m0时，hmin(x)2m； 若m0，则hmin(x)h2m.综上所述，hmin(x),4函数的单调性的综合应用),4)已知函数f(x)2x，x(0，1(1) 当a1时，求函数yf(x)的值域；(2) 若函数yf(x)在(0，1上是减函数，求实数a的取值范围解：(1) 当a1时，f(x)2x，因为0x1，所以f(x)2x22，当且仅当x时，等号成立，所以函数yf(x)的值域是2，)(2) (解法1)设0x10恒成立，所以2x1x2a0，即a2x1x2在(0，1上恒成立，所以a2，即实数a的取值范围是(，2)(解法2)由f(x)2x，知f(x)2，因为函数yf(x)在(0，1上是减函数，所以f(x)20在(0，1上恒成立，即a2x2在(0，1上恒成立，所以a2，即实数a的取值范围是(，2)变式训练若函数f(x)是(，)上的减函数，则实数a的取值范围是_答案：2，0)解析：由x1时，f(x)x22ax2a是减函数，得a1.由x1时，函数f(x)ax1是减函数，得a0，分界点处的值应满足122a12a1a1，解得a2，所以2a0.点睛：本题考查分段函数的单调性，解决本题的关键是熟悉二次函数、一次函数的单调性，除了确定两段函数在区间上单调以外，还需考虑分界点两侧的单调性，需要列出分界点处的不等关系已知函数f(x)的定义域为(0，)，其在定义域上为增函数，且对任意实数x，y(0，)都满足f(xy)f(x)f(y)，f(2)1，试解不等式f(x)f(x2)3.分析：此题的关键是将不等式转化为两个函数值的大小关系，然后借助于函数的单调性再将函数值的大小关系转化为自变量取值的大小关系解：由题意得3111f(2)f(2)f(2)f(4)f(2)f(8)，即f(8)3， f(x)f(x2)3f(x)f(x2)f(8)而f(x)f(x2)f(x22x)，且f(x)在其定义域内为增函数， f(x)f(x2)f(8)解得2x4， 所求不等式的解集为x|2x4点评：(1) 解含有抽象符号“f”的不等式时，关键是符号“f”的“穿”与“脱”在这里，首先要穿上符号“f”，然后再利用函数的单调性脱去“f”，使之成为能够求解的普通不等式(2) 单调性的定义实质上给出了自变量与函数值大小关系的转化如果f(x)在D上为增函数，则x1，x2D，x1
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