资源描述
第2讲圆锥曲线的方程性质及与弦有关的问题 考情考向高考导航圆锥曲线是高考的重点和热点，是高考中每年必考的内容主要考查圆锥曲线的标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等内容对圆锥曲线方程与性质的考查，以选择题、填空题为主，对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，常与其他知识交汇命题，多以解答题的形式出现真题体验1(2019全国卷)若拋物线y22px(p0)的焦点是椭圆1的一个焦点，则p()A2B3C4 D8解析：D由椭圆1，知半焦距c，p8.2(2019全国卷)设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为()A. B.C2 D.解析：A以OF为直径的圆为2y2，即x2y2cx0，与圆x2y2a2相减得直线PQ的方程为x，由勾股定理得：，|PQ|c，2abc2，平方得：4a2b2c4，4a2(c2a2)c4，化简得：e44e240，e22，即e.3(2018全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为()A. B.C. D.解析：D如图直线AP的方程为y(xa)，直线PF2的方程为y(xc)，与联立解得：x，y(ac)，P，|PF2| (ac)，又|PF2|F1F2|，(ac)2c，a4c，e.4(2018全国卷)已知点M(1,1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90，则k_.解析：设直线AB的方程为yk(x1)，由得k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1x2，x1x21.AMB90，kMAkMB1解1.化简得k24k40，解得k2.答案：2主干整合1圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(3)拋物线：|MF|d(d为M点到准线的距离)应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误2圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：1(ab0)(焦点在x轴上)或1(ab0)(焦点在y轴上)；(2)双曲线：1(a0，b0)(焦点在x轴上)或1(a0，b0)(焦点在y轴上)；(3)拋物线：y22px，y22px，x22py，x22py(p0)3圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系在椭圆中：a2b2c2；离心率为e .在双曲线中：c2a2b2；离心率为e .(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，焦点坐标F1(0，c)，F2(0，c)(3)拋物线的焦点坐标与准线方程拋物线y22px(p0)的焦点F，准线方程x.拋物线x22py(p0)的焦点F，准线方程y.4弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交的弦长设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入即当斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB| |x1x2| .(2)过拋物线焦点的弦长拋物线y22px(p0)过焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.热点一圆锥曲线的定义与标准方程例1(1)(2018天津卷)已知双曲线1，(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点设A、B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d26，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析C设双曲线的右焦点坐标为F(c,0)(c0)，则xAxBc，由1可得：y，不妨设：A，B，双曲线的一条渐近线方程为：bxay0，据此可得：d1，d2，则d1d22b6，则b3，b29，双曲线的离心率：e 2，据此可得：a23，则双曲线的方程为1.(2)(2020太原模拟)已知F1，F2分别是双曲线3x2y23a2(a0)的左、右焦点，P是拋物线y28ax与双曲线的一个交点，若|PF1|PF2|12，则拋物线的准线方程为_解析由题意得拋物线的焦点与双曲线的右焦点(2a,0)重合联立消去y得3x28ax3a20，解得xP3a(负舍)由点P在双曲线上得|PF1|PF2|2a，又因为|PF1|PF2|12，所以|PF2|6a，又因为点P在拋物线上，所以|PF2|3a2a5a6a，解得a1，所以拋物线的准线方程为x2a2.答案x2圆锥曲线定义及标准方程的关注点1圆锥曲线的定义是根本，“回归定义”是一种重要的解题策略对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|PF2|F1F2|，双曲线的定义中要求|PF1|PF2|F1F2|，拋物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化2当焦点位置无法确定时，拋物线常设为y22ax或x22ay(a0)，椭圆常设为mx2ny21(m0，n0，mn)，双曲线常设为mx2ny21(mn0)3注意数形结合，提倡画出合理草图(1)(2019全国卷)已知椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为()A.y21 B.1C.1 D.1解析：B由已知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a.又|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，|BF2|a，|AF2|AF1|a，|BF1|a.又|F1F2|2.解得a23，b22.椭圆C的方程为1.选B.(2)(2020龙岩质检)已知以圆C：(x1)2y24的圆心为焦点的拋物线C1与圆C在第一象限交于A点，B点是拋物线C2：x28y上任意一点，BM与直线y2垂直，垂足为M，则|BM|AB|的最大值为()A1 B2C1 D8解析：A因为圆C：(x1)2y24的圆心为C(1,0)，所以可得以C(1,0)为焦点的拋物线方程为y24x，由解得A(1,2)拋物线C2：x28y的焦点为F(0,2)，准线方程为y2，即有|BM|AB|BF|AB|AF|1，当且仅当A，B，F(A在B，F之间)三点共线时，可得最大值1.热点二圆锥曲线的几何性质数学运算素养数学运算圆锥曲线的性质与不等式综合中的核心素养以学习过的圆锥曲线和不等式相关知识为基础，通过将已知条件代数化，并进行一系列的数学运算，从而解决问题.例2(1)(2019长沙二模)设F1，F2分别是椭圆1(ab0)的左，右焦点，若在直线x上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是()A. B.C. D.解析D设P，线段F1P的中点Q的坐标为，y2，y20.但注意到b22c20，即2c2b20，即3c2a20，即e2，故e1.当不存在时，b22c20，y0，此时F2为中点，即c2c，得e，综上，得e1，即所求的椭圆离心率的取值范围是.故选D.(2)(2020石家庄模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)的焦距为2c，直线l过点且与双曲线C的一条渐近线垂直，以双曲线C的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l交于M，N两点，若|MN|c，则双曲线C的渐近线方程为()Ayx ByxCy2x Dy4x解析B由题意可设渐近线方程为yx，则直线l的斜率kl，直线方程为y，整理可得axbya20.焦点(c,0)到直线的距离d，则弦长为22 c，整理可得c49a2c212a3c4a40，即e49e212e40，分解因式得(e1)(e2)(e23e2)0.又双曲线的离心率e1，则e2，又，双曲线的渐近线方程为yx.故选B.(1)求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系，然后把b用a，c代换，求的值；在双曲线中由于e212，故双曲线的渐近线与离心率密切相关(2)圆锥曲线的几何性质常涉及一些不等关系，例如对椭圆1(ab0)，有axa，byb,0e1等，在求与圆锥曲线有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值或最小值时，经常用到这些不等关系(1)(2018全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A. B2C. D2解析：De.1.双曲线C的渐近线方程为xy0，点(4,0)到C的渐近线的距离d2.故答案选D.(2)(2018北京卷改编)已知椭圆M：1(ab0)，双曲线N：1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为_解析：设椭圆的右焦点为F(c，0)，双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A，由题意可知A，由点A在椭圆M上得，1，b2c23a2c24a2b2，b2a2c2，(a2c2)c23a2c24a2(a2c2)，则4a48a2c2c40，e48e240，e242(舍)，e242.由0e1，得e1.答案：1(3)(2019临沂三模)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与拋物线y22px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p_.解析：由e2，得c2a，ba，所以双曲线的渐近线为yx.又拋物线的准线方程为x，联立双曲线的渐近线和拋物线的准线方程得A，B，在AOB中，|AB|p，O到AB的距离为，因为SAOB，所以p，p2.答案：2热点三直线与圆锥曲线例3(2019江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2：(x1)2y24a2交于点A，与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1.已知DF1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求点E的坐标审题指导(1)直接根据条件运用椭圆的定义求解(2)思路1：结合(1)中结论求出点A的坐标，写出直线AF1的方程，并与圆的方程联立得点B的坐标，从而写出直线BF2的方程，将其与椭圆方程联立求得点E的坐标思路2：连接EF1，注意到ABBF1E，所以EF1F2A，可得EF1x轴，从而可得点E的横坐标为1，将x1与椭圆方程联立可得点E的坐标解(1)设椭圆C的焦距为2c.因为F1(1,0)，F2(1,0)，所以F1F22，c1.又因为DF1，AF2x轴，所以DF2 .因此2aDF1DF24，从而a2.由b2a2c2，得b23.因此椭圆C的标准方程为1.(2)方法1：由(1)知，椭圆C：1，a2.因为AF2x轴，所以点A的横坐标为1.将x1代入圆F2的方程(x1)2y216，解得y4.因为点A在x轴上方，所以A(1,4)又F1(1,0)，所以直线AF1：y2x2.由得5x26x110，解得x1或x.将x代入y2x2，解得y.因此B.又F2(1,0)，所以直线BF2：y(x1)由得7x26x130，解得x1或x.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以x1.将x1代入y(x1)，得y.因此E.方法2：由(1)知，椭圆C：1.如图，连接EF1.因为BF22a，EF1EF22a，所以EF1EB，从而BF1EB.因为F2AF2B，所以AB.所以ABF1E，从而EF1F2A.因为AF2x轴，所以EF1x轴因为F1(1,0)，由得y.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以y.因此E.1在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系与弦长公式|AB|x2x1|，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解，以简化运算2对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交(1)(2019日照三模)中心为原点，一个焦点为F(0,5)的椭圆，截直线y3x2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程为()A.1B.1C.1 D.1解析：C由已知知c5，设椭圆的方程为1，联立得消去y得(10a2450)x212(a250)x4(a250)a2(a250)0，设直线y3x2与椭圆的交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由根与系数关系得x1x2，由题意知x1x21，即1，解得a275，所以该椭圆方程为1，故选C.(2)(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则()A5 B6C7 D8解析：D如图焦点F(1,0)，直线的方程为y(x2)，将其代入y24x得：x25x40，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x25，x1x24，(x11，y1)(x21，y2)(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1(x12)(x22)x1x2(x1x2)458.故选D.限时50分钟满分76分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1(2019天津卷)已知拋物线y24x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A. B.C2 D.解析：D双曲线1(a0，b0)的离心率e .l的方程为x1，双曲线的渐近线方程为yx，故得A，B，所以|AB|，4，b2a，所以e.故选D.2(2020贵阳监测)已知拋物线x22py(p0)的焦点F是椭圆1(ab0)的一个焦点，且该拋物线的准线与椭圆相交于A，B两点，若FAB是正三角形，则椭圆的离心率为()A. B.C. D.解析：C如图，由|AB|，FAB是正三角形，得2c，化简可得(2a23b2)(2a2b2)0，所以2a23b20，所以，所以椭圆的离心率e ，故选C.3(2020福州模拟)过椭圆C：1(ab0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是()A. B.C. D.解析：A由题设知，直线l：1，即bxcybc0，以AB为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将xc代入椭圆C的方程，得y，即圆的半径r.又圆与直线l有公共点，所以，化简得2cb，平方整理得a25c2，所以e.又0e1，所以0e.故选A.4(2019全国卷)双曲线C：1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|PF|，则PFO的面积为()A. B.C2 D3解析：A忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积由a2，b，c.|PO|PF|，xP，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在yx上，SPFO|OF|yP|，故选A.5(2019烟台三模)过拋物线E：x22py(p0)的焦点，且与其对称轴垂直的直线与E交于A，B两点，若E在A，B两点处的切线与E的对称轴交于点C，则ABC外接圆的半径是()A(1)p BpC.p D2p解析：B因为直线过拋物线E：x22py(p0)的焦点，且与其对称轴垂直，A，B，由y可知E在A，B两点处的切线斜率为k11，k21，k1k21，ACBC，即ABC为直角三角形，又|AB|2p，所以ABC外接圆的半径是p.6以拋物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2 B4C6 D8解析：B设出拋物线和圆的方程，将点的坐标代入，联立方程组求解设拋物线的方程为y22px(p0)，圆的方程为x2y2r2.|AB|4，|DE|2，拋物线的准线方程为x，不妨设A，D.点A，D在圆x2y2r2上，85，p4(负值舍去)C的焦点到准线的距离为4.二、填空题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)7(2020深圳模拟)已知圆C1：x2(y2)24，拋物线C2：y22px(p0)，C1与C2相交于A，B两点，|AB|，则拋物线C2的方程为_解析：由题意，知圆C1与拋物线C2的其中一个交点为原点，不妨记为B，设A(m，n)|AB|，即A.将A的坐标代入拋物线方程得22p，p，拋物线C2的方程为y2x.答案：y2x8(2019全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，0，则C的离心率为_解析：设直线方程为yk(xc)，由得A点坐标为A，由得B点坐标为B，A为F1B的中点，整理得b3ak.，0.2c220整理得c2k2(bak)2由得2C的离心率e2.答案：2三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)9(2019全国卷)已知拋物线C：y23x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|BF|4，求l的方程；(2)若3，求|.解：(1)设直线l的方程为yxb，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得x2(3b3)xb20.x1x2，又|AF|BF|x1x24.解得b，直线l的方程为yx.(2)设直线l的方程为y(xa)，则P(a,0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由消去x，得y22y3a0.3，y13y2.又，解得a1.y1y22，y1y23，|AB| .10(2019天津卷)设椭圆1(ab0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上若|ON|OF|(O为原点)，且OPMN，求直线PB的斜率解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b4，又a2b2c2，可得a，b2，c1.所以，椭圆的方程为1.(2)由题意，设P(xp，yp)(xp0)，M(xM,0)设直线PB的斜率为k(k0)，又B(0,2)，则直线PB的方程为ykx2，与椭圆方程联立得整理得(45k2)x220kx0，可得xp，代入ykx2得yp，进而直线OP的斜率.在ykx2中，令y0，得xM.由题意得N(0，1)，所以直线MN的斜率为.由OPMN，得1，化简得k2，从而k.所以，直线PB的斜率为或.11(2018北京卷)已知椭圆M：1(ab0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.(1)求椭圆M的方程；(2)若k1，求|AB|的最大值；(3)设P(2,0)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C、D和点Q共线，求k.解：(1)由题意得2c2，c又e，ab2a2c21，椭圆标准方程为y21(2)设直线AB的方程为：yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立，得：4x26mx3m230又36m244(3m23)4812m20，m24，|AB|x1x2|m20时，|AB|max(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)x3y3x3y3又P(2,0)，故设k1kPA，直线PA的方程为：yk1(x2)联立，消y得(13k1)x212kx12k30x1x3，x3x1又k1，代入式得x3，y3C，同理可得D易知：(x3，y3)，(x4，y4)Q，C，D三点共线，(x3)(y4)(x4)(y3)0代入C，D坐标化简得：1，k1- 20 -
展开阅读全文