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3函数的单调性学 习 目 标核 心 素 养1.理解函数单调性的概念及其几何意义(难点)2掌握用定义证明函数单调性的步骤(重点)3会求函数的单调区间，理解函数单调性的简单应用(难点)1.通过学习函数单调性的概念及几何意义，提升数学抽象素养2通过函数单调性的证明，培养逻辑推理素养.1函数在区间上增加(减少)的定义阅读教材P36P37第二自然段结束，完成下列问题在函数f(x)定义域内的一个区间A上，如果对于任意两个数x1，x2A，当x1x2时都有f(x1)f(x2)f(x)在区间A上是减少的(递减的)思考1：对于函数f(x)x2，x1,1，由于f(1)f(0)，所以f(x)在区间1,1上是递减的，这个结论正确吗？提示不正确在函数递增的定义中，要求对于任意x1，x2A，当x1x2时，f(x1) BkCk DkC由y(2k1)xb是R上的减函数，所以2k10得k，故选C.2函数f(x)在2,2上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()Af(2)，0 B0,2Cf(2)，2 Df(2)，2C由最大(小)值的几何意义，可知f(x)maxf(1)2，f(x)minf(2)3函数f(x)x21，xR的最小值是_1f(x)x211，又f(0)1，所以f(x)的最小值是1.4已知函数f(x)在R中是增函数，则当x1x2时，f(x1)与f(x2)的大小关系是_f(x1)f(x2)根据增函数的定义知，f(x1)f(x2)用定义判断或证明函数的单调性【例1】证明函数f(x)x在(0,1)上为减函数思路探究在(0,1)上任取x1，x2且x1x2，通过作差比较法证明f(x1)f(x2)解任取x1，x2(0,1)，且x1x2，则f(x2)f(x1)，由0x1x20，x1x210，所以，f(x2)f(x1)0，于是f(x2)f(x1)根据减函数的定义知，f(x)在(0,1)上为减函数用定义判断或证明单调性的步骤(1)设元：在指定区间内任取x1，x2且x1x2.(2)作差变形：计算f(x1)f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子(几个因式的积或几个完全平方式的和).(3)定号：确定f(x1)f(x2)的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论.(4)判断：根据f(x1)f(x2)的符号及定义判断函数的单调性.1对于例1中的函数，证明其在区间(1，)内是增函数证明任取x1，x2(1，)，且x1x11，得x2x10，x1x210，x1x20，所以f(x2)f(x1)0，于是f(x2)f(x1)，根据增函数的定义知，f(x)在(1，)上是增函数已知函数的单调性求参数的取值范围【例2】已知函数f(x)x22(a1)x1在区间(，4上单调递减，求实数a的取值范围思路探究求出f(x)的单调递减区间，利用集合之间的关系求解解f(x)x(a1)2(a1)21.f(x)的单调递减区间是(，1a又f(x)在区间(，4上单调递减，则(，4(，1a，1a4，解得a3.1(变条件)设函数f(x)(12a)x1是R上的增函数，则有()AaCaA依题意，12a0，解得a0时具有相同的单调性；当af(x)在2,2上是减函数，且12，f(1)f(2)4求证：函数f(x)1在区间(，0)上是单调增函数证明设x1，x2是区间(，0)内的任意两个值，且x1x2，则x1x20，x1x20，因为f(x1)f(x2)，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)故f(x)1在区间(，0)上是单调增函数- 8 -
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