资源描述
3.3 幂函数(教师独具内容)课程标准：1.通过具体实例了解幂函数的概念.2.会画幂函数yx，yx2，yx3，y，yx的图象，并能通过图象了解幂函数的图象与性质.3.能正确应用幂函数的知识解决相关问题教学重点：1.幂函数的概念.2.幂函数的图象与性质教学难点：应用幂函数的知识解决相关问题【知识导学】知识点一幂函数的概念一般地，函数yx叫做幂函数(power function)，其中x是自变量，是常数知识点二一些常用幂函数的图象同一坐标系中，幂函数yx，yx2，yx3，yx1，yx的图象(如图)知识点三一些常用幂函数的性质【新知拓展】1幂函数的特征(1)x的系数是1；(2)x的底数x是自变量；(3)x的指数为常数只有满足这三个条件，才是幂函数对于形如y(2x)，y2x5，yx6等的函数都不是幂函数2幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；(2)如果0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间0，)上单调递增；(3)如果0，那么幂函数的图象在区间(0，)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于时，图象在x轴上方无限接近x轴；(4)在(1，)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yx32是幂函数()(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点()(3)幂函数yx的定义域为R，与指数无关()(4)当x1时，函数yx2的图象总在函数yx3的图象的下方()答案(1)(2)(3)(4)2做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若ymx(2n4)是幂函数，则mn_.(2)已知幂函数f(x)x的图象经过点(2,8)，则f(2)_.(3)若yax是幂函数，则该函数的值域是_答案(1)3(2)8(3)0，) 题型一 幂函数的定义例1已知幂函数y(m2m1)xm22m3，求此幂函数的解析式，并指出其定义域解y(m2m1)xm22m3为幂函数，m2m11，解得m2或m1.当m2时，m22m33，则yx3，且有x0；当m1时，m22m30，则yx0，且有x0.故所求幂函数的解析式为yx3或yx0，它们的定义域都是x|x0金版点睛判断函数是幂函数的依据判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为yx(为常数)的形式，即满足：指数为常数；底数x为自变量；系数为1.(1)在函数y，y2x2，yx2x，y1中，幂函数的个数为()A0 B1 C2 D3(2)已知y(m24m4)x2n3是幂函数，求m，n的值答案(1)B(2)见解析解析(1)yx2，所以是幂函数；y2x2由于系数是2，因此不是幂函数；yx2x是两项和的形式，不是幂函数；y1x0(x0)，可以看出，常函数y1的图象比幂函数yx0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y1不是幂函数(2)由题意得解得所以m3，n.题型二 幂函数的图象及应用例2幂函数yx2，yx1，yx，yx在第一象限内的图象依次是图中的曲线()AC2，C1，C3，C4BC4，C1，C3，C2CC3，C2，C1，C4DC1，C4，C2，C3解析由于在第一象限内直线x1的右侧，幂函数yx的图象从上到下相应的指数由大变小，即幂函数图象在第一象限内直线x1右侧的“高低”关系是“指大图高”，故幂函数yx2在第一象限内的图象为C1，yx1在第一象限内的图象为C4，yx在第一象限内的图象为C2，yx在第一象限内的图象为C3.答案D金版点睛解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在1，)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)(2)依据图象确定幂指数与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于yx1或yx或yx3)来判断(1)如图是幂函数yxm与yxn在第一象限内的图象，则()A1n0m1Bn1,0m1C1n1Dn1(2)已知函数y.求定义域；判断奇偶性；已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间答案(1)B(2)见解析解析(1)在(0,1)内取x0，作直线xx0，与各图象有交点，则“点低指数大”如图，0m1，n1.(2)y，定义域为实数集R.设yf(x)，因为f(x)f(x)，且定义域关于坐标原点对称，所以函数y是偶函数因为函数为偶函数，则作出它在第一象限的图象关于y轴的对称图象，即得函数y的图象，如图所示根据图象易知，函数y在区间0，)上单调递增，在区间(，0上单调递减.题型三 幂函数的性质及应用例3比较下列各题中两个值的大小：(1)2.3，2.4；(2)() ，()；(3)(0.31)2,0.352.解(1)yx在0，)上单调递增，且2.32.4，2.32.4.(2)yx在(0，)上单调递减，且().(3)yx2为R上的偶函数，(0.31)20.312.又函数yx2在0，)上单调递增，且0.310.35，0.3120.352，即(0.31)2(m1) ，求实数m的取值范围解因为yx在定义域0，)上单调递增，所以解得1m，.yx3是R上的增函数，且3.14，3.1433.(2)y(m2m5)xm22m3是幂函数，m2m51，即(m2)(m3)0，m2或m3.当m2时，m22m33，yx3是幂函数，且满足当x(0，)时，y随x的增大而减小；当m3时，m22m312，yx12是幂函数，但不满足当x(0，)时，y随x的增大而减小，故舍去yx3(x0)1下列函数是幂函数的是()Ay5x Byx5Cy5x Dy(x1)3答案B解析由幂函数的定义知函数y5x不是幂函数；函数y5x是正比例函数，不是幂函数；函数y(x1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数yx5是幂函数2函数yx3的图象大致是图中的()答案B解析函数yx3是奇函数，且31，则其为增函数，且y随x的增大急剧增大，函数图象为B.3设a26，b34，c72，则a，b，c的大小关系为()Abac BacbCabc Dcba答案A解析a2682，b3492，c72，由幂函数yx2在(0，)上单调递减，可知bac.4已知幂函数f(x)的图象过点(4,2)，则f_.答案解析设幂函数为yx(为常数)函数f(x)的图象过点(4,2)，24，f(x)x，f.5已知幂函数yx3m9(mN*)的图象关于y轴对称，且在区间(0，)上单调递减，求f(x)的解析式解幂函数yx3m9在区间(0，)上单调递减，3m90，即m3.又mN*，m1,2.又yx3m9的图象关于y轴对称，即该函数是偶函数，3m9是偶数m1.f(x)x6.- 10 -
展开阅读全文