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第1讲函数的图象与性质考情考向高考导航1高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下2对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题3对函数性质的考查，主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大真题体验1(2018全国卷)下列函数中，其图象与函数yln x的图象关于直线x1对称的是()Ayln(1x)Byln(2x)Cyln(1x) Dyln(2x)解析：Byln x过点(1,0)，(1,0)关于x1的对称点是(1,0)，而只有B选项过此点，故选B.2(2019全国卷)设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)ex1，则当x1，排除选项C、D，故选B.4(2018全国卷)设函数f(x)则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是()A(，1 B(0，)C(1,0) D(，0)解析：D画出函数f(x)的图象如图，当2x0，x10时f(x1)f(2x)成立，1x0.当2x0，x10时，要使f(x1)f(2x)成立，只需x12x，x1.由知满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是(，0)主干整合1函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换2函数的性质(1)单调性对于函数yf(x)定义域内某一区间D上的任意x1，x2，(x1x2)f(x1)f(x2)0(0)yf(x)在D上是增(减)函数；对于函数yf(x)定义域内某一区间D上的任意x1，x2，0(0)yf(x)在D上是增(减)函数(2)奇偶性对于定义域(关于原点对称)内的任意x，f(x)f(x)0yf(x)是奇函数；对于定义域(关于原点对称)内的任意x，f(x)f(x)0yf(x)是偶函数(3)周期性若函数f(x)满足f(xa)f(xa)，则f(x)是周期函数，其中一个周期是T2a(a0)；若满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期函数，其中一个周期是T2a(a0)；若满足f(xa)，则f(x)是周期函数，其中一个周期是T2a(a0)；若函数满足f(xa)，则f(x)是周期函数，其中一个周期是T2a(a0)(4)对称性若函数yf(x)满足f(ax)f(ax)，即f(x)f(2ax)，则f(x)的图象关于直线xa对称提醒：函数yf(ax)与yf(ax)的图象对称轴为x0，并非直线xa.若f(x)满足f(ax)f(bx)，则函数f(x)的图象关于直线x对称若函数yf(x)满足f(x)2bf(2ax)，则该函数图象关于点(a，b)成中心对称热点一函数及其表示题组突破1(2020苏州模拟)函数f(x)的定义域是0,3，则函数y的定义域是_解析：因为函数f(x)的定义域是0,3，所以由得即x2且x1，即函数的定义域为.答案：2(2018江苏卷)函数f(x)满足f(x4)f(x)(xR)，且在区间(2,2上，f(x)则f(f(15)的值为_解析：因为f(x4)f(x)，函数的周期为4，所以ysin(2x4)，f(15)f(1)，f(1)，f(f(15)fcos.答案：3(2017课标全国)设函数f(x)则满足f(x)f1的x的取值范围是_解析：由题意：g(x)f(x)f，函数g(x)在区间(，0，三段区间内均单调递增，且：g1,2001，(1)2011，据此x的取值范围是：.答案：4(多选题)在下列四组函数中，f(x)与g(x)表示同一函数的是()Af(x)x1，g(x)Bf(x)|x1|，g(x)Cf(x)1，g(x)(x1)0Df(x)，g(x)解析：BD本题考查判断两个函数是否相同对于A，函数f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为x|x1，f(x)与g(x)的定义域不相同，则不是同一函数；对于B，函数f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为R，f(x)与g(x)的定义域相同，f(x)|x1|对应关系相同，则f(x)与g(x)是同一函数；对于C，函数f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为x|x1，f(x)与g(x)的定义域不相同，则不是同一函数；对于D，函数f(x)1(x0)，g(x)1(x0)的定义域与对应法则均相同，是同一函数故选BD.函数及其表示问题的注意点1求函数的定义域时，要全面地列出不等式组，不可遗漏，并且要注意所列不等式中是否包含等号2对于分段函数解方程或不等式的问题，要注意在所应用函数解析式对应的自变量的范围这个大前提，要在这个前提条件下解决问题热点二函数的图象及其应用例1(1)(2019全国卷)函数f(x)在，的图象大致为()解析Df(x)f(x)，f(x)为奇函数，排除A.当x时，f()0，排除B，C.故选D.(2)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)log2(x1)的解集是()Ax|1x0Bx|1x1Cx|1x1Dx|1x2解析C令g(x)ylog2(x1)，作出函数g(x)图象如图由得结合图象知不等式f(x)log2(x1)的解集为x|1x1识图、用图的方法技巧(1)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围，变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系如例1(1)(2)用图：在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究如例1(2)(1)(2019南昌三模)函数f(x)的部分图象大致是()解析：B因为函数f(x)的定义域为，f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数，所以f(x)的图象关于y轴对称，故排除A，令f(x)0，即0，解得x0，所以函数f(x)只有一个零点，故排除D，当x1时，f(1)0，故排除C，综上所述，只有B符合(2)(2019德州三模)用mina，b，c表示a，b，c中的最小值设f(x)min2x，x2,10x(x0)，则f(x)的最大值为_解析：f(x)min2x，x2,10x(x0)的图象如图中实线所示令x210x，得x4.故当x4时，f(x)取最大值，又f(4)6，所以f(x)的最大值为6.答案：6热点三函数的性质及其应用数学抽象素养数学抽象抽象函数与函数的“三性”函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性.确定函数的单调性、奇偶性、对称性等例2(1)(2019唐山调研)已知函数f(x)ln xln(2x)，则()Af(x)在(0,2)单调递增Bf(x)在(0,2)单调递减Cyf(x)的图象关于直线x1对称Dyf(x)的图象关于点(1,0)对称解析C由题意知，f(2x)ln(2x)ln xf(x)，所以f(x)的图象关于直线x1对称，C正确，D错误；又f(x)(0x2)，在(0,1)上单调递增，在1,2)上单调递减，A、B错误故选C.(2)(2019大同三模)设函数f(x)ln(1|x|)，则使得f(x)f(2x1)成立的x的取值范围是()A.B.(1，)C. D.解析Af(x)是偶函数，且在0，)上是增函数，所以f(x)f(2x1)f(|x|)f(|2x1|)|x|2x1|x1.函数性质的综合应用例3(1)(2018全国卷)已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x)若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)()A50B0C2 D50解析Cf(x)是奇函数，图象关于原点对称，又f(1x)f(1x)，f(x)关于x1对称，故知f(x)是周期函数，周期T4.又f(2)f(0)0，f(3)f(41)f(1)f(1)2，f(4)f(2)0，f(1)f(2)f(3)f(4)20(2)00，f(1)f(2)f(3)f(50)f(1)f(2)202.(2)(2019武汉三模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x1)f(x1)，且当x1,1时，f(x)x，则()Af(3)f(2)fBff(3)f(2)Cf(2)f(3)fDf(2)ff(3)解析D因为f(x1)f(x1)，所以f(x)f(x2)，即函数的周期是2，当x1,1时，f(x)xx，则f(x)xxxf(x)，则函数f(x)为偶函数，当0x1时，函数yx为增函数，y1也为增函数，则函数f(x)xx在0x1为增函数，则fff，f(3)f(32)f(1)f(1)，f(2)f(0)，则f(0)ff(1)，即f(2)ff(3)函数三个性质的应用(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)f(x)(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解(1)(2019贵阳调研)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2)若当x3,0时，f(x)6x，则f(919)_.解析：f(x4)f(x2)，f(x2)4)f(x2)2)，即f(x6)f(x)，f(x)是周期为6的周期函数，f(919)f(15361)f(1)又f(x)是定义在R上偶函数，f(1)f(1)6，即f(919)6.答案：6(2)(2019青岛三模)已知偶函数yf(x)(xR)在区间1,0上单调递增，且满足f(1x)f(1x)0，给出下列判断：f(5)0；f(x)在1,2上是减函数；函数yf(x)没有最小值；函数f(x)在x0处取得最大值；f(x)的图象关于直线x1对称其中正确的序号是_解析：因为f(1x)f(1x)0，所以函数yf(x)(xR)关于点(1,0)对称，且周期为4，画出满足条件的图象，结合图象可知正确答案：限时40分钟满分80分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1(2020湖北部分重点中学起点考试)已知函数f(x)(exex)ln1，若f(a)1，则f(a)()A1B1C3 D3解析：D解法一由题意，f(a)f(a)(eaea)ln1(eaea)ln1(eaea)22，所以f(a)2f(a)3，故选D.解法二令g(x)f(x)1(exex)ln，则g(x)(exex)ln(exex)lng(x)，所以g(x)为奇函数，所以f(a)g(a)1g(a)1f(a)23，故选D.2(2020唐山摸底)设函数f(x)x(exex)，则f(x)()A是奇函数，且在(0，)上是增函数B是偶函数，且在(0，)上是增函数C是奇函数，且在(0，)上是减函数D是偶函数，且在(0，)上是减函数解析：A通解由已知可知，f(x)(x)(exex)x(exex)f(x)，故f(x)为奇函数f(x)exexx(exex)，当x0时，exex，所以x(exex)0，又exex0，所以f(x)0，所以f(x)在(0，)上是增函数，故选A.优解根据题意知f(x)f(x)，所以函数f(x)为奇函数又f(1)f(2)，所以f(x)在(0，)上是增函数，故选A.3(2019合肥调研)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)则g(f(7)()A3 B3C2 D2解析：D函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)设x0，则x0，则f(x)log2(x1)，因为f(x)f(x)，所以f(x)f(x)log2(x1)，所以g(x)log2(x1)(x0)，所以f(7)g(7)log2(71)3，所以g(3)log2(31)2.4(2020大连模拟)若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：(1)xR，都有f(x)f(x)0；(2)x1，x2R，且x1x2，都有0.f(x)sin x；f(x)2x3；f(x)1x；f(x)ln(x)以上四个函数中，“优美函数”的个数是()A0 B1C2 D3解析：B由条件(1)，得f(x)是奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的减函数对于，f(x)sin x在R上不单调，故不是“优美函数”；对于，f(x)2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；对于，f(x)1x不是奇函数，故不是“优美函数”；对于，易知f(x)在R上单调递增，故不是“优美函数”故选B.5(2020辽宁五校协作体联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x0时，f(x)(xa1)log2(x2)xm，其中a，m是常数，且a0.若f(0)f(a)1，则f(m3)()A1 B1C6 D6解析：C由题意知f(0)a1m0，所以am1，又f(a)log2(a2)am，f(0)f(a)1，所以log2(a2)2，解得a2，所以m3.于是，当x0时，f(x)(3x)log2(x2)x3.故f(m3)f(6)f(6)(3log283)6.故选C.6(组合型选择题)函数yf(x)和yg(x)在2,2上的图象分别如图(1)(2)所示：给出下列四个命题：方程f(g(x)0有且仅有6个根；方程g(f(x)0有且仅有3个根；方程f(f(x)0有且仅有5个根；方程g(f(g)0有且仅有4个根；其中正确命题的个数是()A4 B3C2 D1解析：B由图象可得2g(x)2，2f(x)2.对于，观察f(x)的图象，可知满足方程f(g(x)0的g(x)有三个不同的值，一个值在2或1之间，一个值为0，一个值在1与2之间再观察g(x)的图象，由图象知，g(x)的值在2与1之间时对应了2个x值，g(x)0时对应了2个x值，g(x)的值在1与2之间时对应了2个x值，故方程f(g(x)0有且仅有6个根，故正确对于，观察g(x)的图象，可知满足g(f(x)0的f(x)有两个不同的值，一个值处于2与1之间，另一个值处于0与1之间观察f(x)的图象，知f(x)的值在2与1之间时对应了1个x值，f(x)的值在0与1之间时对应了3个x值，所以方程g(f(x)0有且仅有4个根，故不正确对于，观察f(x)的图象，可知满足方程f(f(x)0的f(x)有3个不同的值，一个值在2与1之间，一个值为0，一个值在1与2之间再观察f(x)的图象，由图象知f(x)的值在2与1之间时对应了1个x值，f(x)0时对应了3个x值，f(x)的值在1与2之间时对应了1个x值，故方程f(f(x)0有且仅有5个根，故正确对于，观察g(x)的图象，可知满足方程g(g(x)0的g(x)有2个不同的值，一个值在2与1之间，一个值在0与1之间再观察g(x)的图象，由图象可知g(x)的值在2与1之间时对应了2个x值，g(x)的值在0与1之间时对应了2个x值，故方程g(g(x)0有且仅有4个根，故正确综上所述，正确命题的个数是3.故选B.7(2019广州二模)已知定义在R上的函数f(x)，对任意xR，都有f(x4)f(x)f(2)成立，若函数yf(x1)的图象关于直线x1对称，则f(2 022)的值为()A2 018 B2 018C0 D4解析：C依题意得，函数yf(x)的图象关于直线x0对称，因此函数yf(x)是偶函数，且f(24)f(2)f(2)，即f(2)f(2)f(2)，所以f(2)0，所以f(x4)f(x)，即函数yf(x)是以4为周期的函数，f(2 022)f(45052)f(2)0.8(2019苏州调研)函数y的部分图象大致为()解析：C令f(x)，f(1)0，f()0，排除选项A，D.由1cos x0得x2k(kZ)，故函数f(x)的定义域关于原点对称又f(x)f(x)，f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项B.故选C.9已知函数f(x)x4，x(0,4)当xa时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)|xb|的图象为()解析：B因为x(0,4)，所以x11，所以f(x)x4x152 51，当且仅当x2时取等号，且f(x)的最小值为1，所以a2，b1，所以g(x)|x1|，其图象关于直线x1对称，又g(x)|x1|01，所以B.10(2020河北衡水中学模拟)已知函数f(x)sin x，其中f(x)为函数f(x)的导数，则f(2 018)f(2 018)f(2 019)f(2 019)等于()A2 B2 019C2 018 D0解析：A由题意得f(x)f(x)2，f(2 018)f(2 018)2，由f(x)f(x)2可得f(x)1f(x)10，yf(x)1为奇函数，yf(x)1的导函数为偶函数，即yf(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，f(2 019)f(2 019)0，f(2 018)f(2 018)f(2 019)f(2 019)2.故选A.11(2019定州二模)已知a0，设函数f(x)(xa，a)的最大值为M，最小值为N，那么MN()A2 017 B2 019C4 040 D4 036解析：D由题意得f(x)2 019.因为y2 019x1在a，a上是单调递增的，所以f(x)2 019在a，a上是单调递增的，所以Mf(a)，Nf(a)，所以MNf(a)f(a)4 0384 036.12(2019贵阳监测)已知函数f(x)，则下列结论正确的是()A函数f(x)的图象关于点(1,2)中心对称B函数f(x)在(，1)上是增函数C函数f(x)的图象上存在不同的两点A、B，使得直线ABx轴D函数f(x)的图象关于直线x1对称解析：A因为f(x)2，所以该函数图象可以由y的图象向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度得到，所以函数f(x)的图象关于点(1,2)中心对称，A正确，D错误；易知函数f(x)在(，1)上单调递减，故B错误；易知函数f(x)的图象是由y的图象平移得到的，所以不存在不同的两点A、B，使得直线ABx轴，C错误故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13(2020安徽江淮十校联考)函数f(x)log(x22)，若f(2x1)f(x)，则实数x的取值范围是_解析：易知f(x)为偶函数，且在0，)上单调递减，|2x1|x|，解得1x，x.答案：14(2019北京卷)设函数f(x)exaex(a为常数)若f(x)为奇函数，则a_；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是_解析：若函数f(x)exaex为奇函数，则f(x)f(x)，exaex(exaex)恒成立，即(a1)(exex)0恒成立，欲(a1)(exex)0对任意的x恒成立需a10，即a1时，所以a1.若函数f(x)exaex是R上的增函数，则f(x)exaex0恒成立，ae2x，a0.即实数a的取值范围是(，0答案：1(，015(2020湖北省八校联考)已知函数f(x)若f(e2)f(1)，f(e)f(0)，则函数f(x)的值域为_解析：由题意可得解得当x0时，f(x)(ln x)22ln x3(ln x1)222；当x0时，exe0，则函数f(x)的值域为2，)答案：2，)16(2020辽宁五校联考)如果定义在R上的函数f(x)满足：对任意的x1x2，都有x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)，则称f(x)为“H函数”，给出下列函数：yx3x1；y3x2(sin xcos x)y1ex；f(x)；y.其中是“H函数”的是_(写出所有满足条件的函数的序号)解析：因为x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)，所以f(x1)(x1x2)f(x2)(x1x2)0，即f(x1)f(x2)(x1x2)0，分析可得，若函数f(x)为“H函数”，则函数f(x)为增函数或常函数对于，yx3x1，则y3x21，所以yx3x1既不是R上的增函数也不是常函数，故其不是“H函数”；对于，y3x2(sin xcos x)，则y32(cos xsin x)32sin0，所以y3x2(sin xcos x)是R上的增函数，故其是“H函数”；对于，y1ex是R上的减函数，故其不是“H函数”；对于，f(x)当x1时，是常函数，当x1时，是增函数，且当x1时，ln x0，故其是“H函数”；对于，y，当x0时，y，不是R上的增函数也不是常函数，故其不是“H函数”所以满足条件的函数的序号是.答案：- 15 -
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