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第一章 集合与常用逻辑用语第1课时 集合的概念了解集合的含义；体会元素与集合的“属于”关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的数学对象或数学问题；了解集合之间包含与相等的含义；能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义 学会区分集合与元素，集合与集合之间的关系. 学会自然语言、图形语言、集合语言之间的互化. 集合含义中掌握集合的三要素. 不要求证明集合相等关系和包含关系1. (必修1P7练习1改编)用列举法表示集合x|x23x20为_答案：1，2解析： x23x20， x1或x2.故集合为1，22. (必修1P10习题5改编)由x2，x组成一个集合A，A中含有2个元素，则实数x的取值不可以是_答案：0和1解析：由 x2x可解得x0或x1.3. (必修1P9练习1改编)集合Ax|0x3且xN的真子集个数是_答案：7解析：Ax|0x3且xN0，1，2， 真子集有7个4. (必修1P10练习6改编)设Ax|2x3，Bx|xm若AB，则m的取值范围是_答案：3，)解析：Ax|2x3，Bx|x2m1，即m2时，B，满足BA，即m2；当m12m1，即m2时，B3，满足BA，即m2；当m12时，由BA，得即2m3.综上，得m3.一个含有三个实数的集合可表示为，也可表示为ab，0，a2，则a2 018b2 018_答案：1解析：若集合相等，则集合的元素对应相等，并且集合还需满足确定性、互异性、无序性，所以0，得b0，此时a，1，0a，0，a2，即故a1，所以a2 018b2 0181.,3根据集合的关系求参数的取值范围),4)已知集合Ax|x24x0，xR，Bx|x22(a1)xa210，aR，xR若BA，求实数a的取值范围解：BA可分为BA和BA两种情况，易知A0，4(1) 当AB0，4时， 0，4是方程x22(a1)xa210的两根， a1.(2) 当BA时，有B或B. 当B时，B0或B4， 方程x22(a1)xa210有相等的实数根0或4， 4(a1)24(a21)0， a1， B0满足条件 当B时，0， a1.综上，所求实数a的取值范围是a1或a1.变式训练已知集合Ax|2xa，By|y2x3，xA，Cz|zx2，xA，且CB，求正数a的取值范围解：Bx|1x2a3，当02时，Cx|0xa2，而CB，则2a3a2，即 2，故实数a的取值范围是0.5. 已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0x0.当a1时，A1，3，B1，1，3，满足题意；当a3时，A3，2，B1，1，3，不满足题意所以实数a的值为1.2. 若集合A1，1，B0，2，则集合zzxy，xA，yB中的元素的个数为_答案： 3解析：容易看出xy只能取1、1、3这三个数值故共有3个元素. 3. 已知集合A，且2A，3A，则实数a的取值范围是_答案：(2，3解析：因为2A，所以0，即(2a1)(a2)0，解得a2或a.若3A，则0，即(3a1)(a3)0，解得a3或a，所以3A时，a3.由可知，实数a的取值范围是(2，34. 已知集合A1，2，3，4，5，B(x，y)|xA，yA，xyA，则B中所含元素的个数为_答案：10解析：由xyA及A1，2，3，4，5得xy.当y1时，x可取2，3，4，5，有4个；当y2时，x可取3，4，5，有3个；当y3时，x可取4，5，有2个；当y4时，x可取5，有1个故共有123410(个)1. 研究一个集合，首先要看集合中的代表元素是什么，然后再看元素的限制条件，即有何属性，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么注意区分x|yf(x)、y|yf(x)、(x，y)|yf(x)三者的不同对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性2. 空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性例如：AB，则需考虑A和A两种可能的情况3. 判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系4. 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析第2课时集合的基本运算(对应学生用书(文)、(理)45页)理解两个集合的交集与并集的含义；会求两个简单集合的交集与并集，理解给定集合的一个子集的补集的含义；会求给定子集的补集，会用Venn图表示集合的关系及运算 在给定集合中会求一个子集的补集，补集的含义在数学中就是对立面. 会求两个简单集合的交集与并集；交集的关键词是“且”，并集的关键词是“或”. 会使用Venn图表示集合的关系及运算；对于数集有时也可以用数轴表示1. (必修1P13练习1改编)设集合A平行四边形，B对角线相等的四边形，则AB_答案：矩形解析：对角线相等的平行四边形为矩形2. (必修1P13练习3改编)已知集合Ay|yx22x，xR，By|yx26x16，xR，则AB_.答案：1，)解析：依题意知A1，)，B7，)，所以AB1，)3. (必修1P9练习2改编)设全集U2，1，0，1，2，Ax|x1，B2，0，2，则U(AB)_答案：1，1，2解析： AB2，0 U(AB)1，1，24. (必修1P10习题4改编)已知集合A0，2，4，6，UA1，1，3，3，UB1，0，2，则集合B_答案：1，4，6，3，3解析： UA1，1，3，3， U1，1，0，2，4，6，3，3又UB1，0，2， B1，4，6，3，35. (必修1P14习题10改编)设集合A4，5，7，9，B3，4，7，8，9，全集UAB，则集合U(AB)中的元素共有_个答案：3解析：全集UAB3，4，5，7，8，9，AB4，7，9， U(AB)3，5，8， U(AB)中的元素共有3个1. 集合的运算(1) 交集：由所有属于A且属于B的元素组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，记作AB，即ABx|xA且xB(2) 并集：由所有属于A或属于B的元素组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记作AB，即ABx|xA或xB(3) 全集：如果集合S含有我们所研究的各个集合的全部元素，那么这个集合就可以看作一个全集，通常用U来表示一切所研究的集合都是这个集合的子集(4) 补集：集合A是集合S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合叫做A的补集，记作SA，即SAx|xS，且xA2. 常用运算性质及一些重要结论(1) ABBA，AAA，A，ABAAB. (2) ABBA，AAA，AA，ABBAB.(3) S(SA)A，SS，(SA)(SB)S(AB)，(SA)(SB)S(AB)备课札记,1集合的运算),1)已知A，By|yx2x1，xR(1) 求A，B；(2) 求AB，A(RB)解：(1) 由1，得10，即x(x1)0且x0，解得0x1，所以A(0，1由yx2x1，得B.(2) 因为RB，所以AB(0，)，A(RB).变式训练已知Ax|x23x20，Bx|x2axa10，Cx|x2mx20，且ABA，ACC，求实数a及m的值解： A1，2，Bx|(x1)x(a1)0，又ABA， BA. a12a3(此时AB)，或a11a2(此时B1)由ACCCA，从而CA或C(当C1或C2时，可检验不符合题意)当CA时，m3；当C时，m2802m2.综上可知a2或a3，m3或2m2.已知两个正整数集合Aa1，a2，a3，a4，Ba，a，a，a，其中a1a2a3a4.若ABa1，a4，且a1a410，且AB的所有元素之和是124，求集合A，B.分析：命题中的集合是列举法给出的，只需要根据“交、并”的意义及元素的基本性质解决，注意“正整数”这个条件的运用解： 1a1a2a3a4， aaaa3，与条件矛盾，不合题意综上，A1，3，5，9，B1，9，25，81,2根据集合的运算求参数的取值范围),2)设Ax|axa3，Bx|x5，当a为何值时，(1) AB；(2) ABA；(3) A(RB)RB.解：(1) AB， 集合A的区间长度为3， 由图可得a5，解得a2， 当a2时，AB.(2) ABA， AB.由图得a35，即a5时，ABA.(3) 由补集的定义知RBx|1x5， A(RB)RB， ARB.由图得解得1a2.变式训练设全集是实数集R，Ax|2x27x30，Bx|x2a0(1) 当a4时，求AB和AB；(2) 若(RA)BB，求实数a的取值范围解：(1) A.当a4时，Bx|2x2， AB，ABx|2x3(2) RA.当(RA)BB时，BRA，即AB. 当B，即a0时，满足BRA； 当B，即a0时，Bx|x，要使BRA，需，解得a0.综上可得，a的取值范围是.设集合Ax|x22x2m40，Bx|x0，若AB，求实数m的取值范围解：(解法1)命题方程x22x2m40至少有一个负实数根，设Mm|关于x的方程x22x2m40两根均为非负实数，则2m， M.设全集Um|0， m的取值范围是UMm|m2(解法2)命题方程的小根x112m31m2.,3集合的综合应用),3)已知集合A，Bx|x22xm0(1) 当m3时，求A(RB)；(2) 若ABx|1x4，求实数m的值解：因为0，所以1x5，所以Ax|1x5(1) 当m3时，Bx|1x3，则RBx|x1或x3，所以A(RB)x|3x5(2) 因为Ax|1x5，ABx|1x4，所以有4224m0，解得m8.此时Bx|2x4，符合题意，故实数m的值为8.已知集合A，B(x，y)|yax2，xR，yR，若AB，求实数a的值解：由方程组得(1a)x1，当a1时，方程组无解；当a1时，x，若2，即a，此时x2为增根，所以方程组也无解从而a1或a时，AB.反思：本题也可利用数形结合方法解,4与集合运算有关的新定义问题),4)定义集合运算A*Bx|xA，或xB，但xAB，设A1，2，3，4，B1，2，5，6，7，则(A*B)*A_答案：1，2，5，6，7解析：A*B3，4，5，6，7， (A*B)*A1，2，5，6，7变式训练(必修1P14习题13改编)设A，B是非空集合，定义ABx|xAB，且xAB若Ax|y，By|y3x，则AB_答案：(，3)解析：集合A即为函数f(x)的定义域，由x23x0x0或x3，故集合A(，03，)，集合B即为函数g(x)3x的值域，故B(0，)，从而有ABR，AB3，)，由定义知AB(，3)(2018洪泽中学单元卷)对于任意两集合A，B，定义ABx|xA且xB，A*B(AB)(BA)，记Ay|y0，Bx|3x3，则A*B_答案：3，0)(3，)解析：由题意知，ABx|x3，BAx|3x0，A*B(AB)(BA)3，0)(3，)反思：本题考查集合的运算新定义问题，属于难题新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决本题定义一种运算ABx|xA且xB，A*B(AB)(BA)达到考查集合运算的目的1. (2018四川雅安中学月考)已知My|yx2，xR，Ny|x2y21，xR，yR，则MN_答案：0，1解析：由题意得M0，)，由x2y21，得到1y1，即N1，1，则MN0，12. 已知集合A0，a，B0，1，3若AB0，1，2，3，则实数a的值为_答案：2解析：A0，a，B0，1，3，AB0，1，2，3，则a2.3. 已知全集U1，2，3，4，5，A1，2，B2，3，4，那么A(UB)_答案：1，2，5解析： UB1，5， A(UB)1，2，54. 已知集合A1，2，3，4，5，B1，3，5，7，9，CAB，则集合C的子集的个数为_答案：8解析：C1，3，5，则集合C的子集的个数为8.5. 设集合A1，0，1，Ba1，a，AB0，则实数a的值为_答案：1解析：0，由 a0，则a10，则实数a的值为1.,2. 集合关系不能转化)典例设A(x，y)|y2x10，B(x，y)|4x22x2y50，C(x，y)|ykxb，是否存在k，bN，使得(AB)C，并证明你的结论易错分析：难点在于对集合关系的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内涵，因而可能感觉无从下手解： (AB)C， AC且BC. k2x2(2bk1)xb210. AC， 1(2bk1)24k2(b21)0， 4k24bk10，即b21. 4x2(22k)x(52b)0. BC， 2(1k)24(52b)0， k22k8b190，从而8b20，即b2.5.由及bN，得b2，代入由10和20组成的不等式组，得 k1.故存在自然数k1，b2，使得(AB)C.特别提醒：解决此题的闪光点是将条件(AB)C转化为AC且BC.要能够借助Venn图充分理解集合的交、并、补之间的关系及熟练转化1. (2018遂宁射洪中学入学考试)设集合Ux|x5，xN*，Mx|x25x60，则UM_答案：1，4解析：集合Ux|x0，则AB_答案：3解析： Ax|1x3，BxZ|x2， ABxZ|2bc2，则ab”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有_个答案：13. (改编题)已知集合A1，a，B1，2，3，则“a3”是“AB”的_条件答案：充分不必要解析：a3时，A1，3，显然AB.但AB时，a2或3.所以a3是AB的充分不必要条件4. (改编题)函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1 对称的充要条件是_答案：m2解析：已知函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称，则m2；反之也成立所以函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是m2.5. (改编题)已知命题p：xR，x2x10，则綈p为_答案：xR，x2x10解析：含有存在量词的命题的否定，需将存在量词改为全称量词，并将结论否定，即綈p：xR，x2x10.1. 四种命题及其关系(1) 四种命题 如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题互为逆命题； 如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题； 如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若非p，则非q逆否命题若非q，则非p(2) 四种命题间的逆否关系(3) 四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系2. 充分条件与必要条件(1) 如果pq，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件(2) 如果pq，且qp，那么称p是q的充要条件，记作pq.(3) 如果pq，q_p，那么称p是q的充分不必要条件(4) 如果qp，p_q，那么称p是q的必要不充分条件(5) 如果p/ q，且q/ p，那么称p是q的既不充分也不必要条件3. 简单的逻辑联结词(1) “或”“且”“非”叫做逻辑联结词 或：两个简单命题至少一个成立. 且：两个简单命题都成立. 非：对一个命题的否定(2) 用联结词“且”联结命题p和命题q，记作pq，读作“p且q”(3) 用联结词“或”联结命题p和命题q，记作pq，读作“p或q”(4) 一个命题p的否定记作綈p，读作“非p”或“p的否定”(5) 命题pq，pq，綈p的真假判断pq中p，q有一假为假，pq中p，q有一真为真，p与非p必定是一真一假4. 全称量词与存在量词(1) 全称量词与全称命题短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“x”表示“对任意x”含有全称量词的命题，叫做全称命题全称命题“对M中任意一个x，都有p(x)成立”可用符号简记为xM，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”(2) 存在量词与存在性命题短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“x”表示“存在x”含有存在量词的命题，叫做存在性命题存在性命题“M中存在一个x，使p(x)成立”可用符号简记为xM，p(x)，读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”5. 含有一个量词的命题的否定命题命题的否定xM，p(x)xM，綈p(x)xM，p(x)xM，綈p(x)备课札记,1四种命题及其相互关系),1)(1) 命题“若ab，则2a2b1”的否命题为_；(2) (2018溧阳中学摸底)命题“x0”的否定是_(3) 命题“若x2xm0没有实根，则m0”是_命题(选填“真”或“假”)答案：(1) 若ab，则2a2b1(2) x0，有x20(3) 真解析：(3) 很可能许多同学会认为它是假命题(原因m0时显然方程有根)，其实不然，由x2xm0没有实根可推得m，而是m|m0的真子集，由m3x”的否定； “若m0，则x2xm0有实根”的逆否命题答案：解析：中命题的逆命题为若a0或b0，则ab0，为真命题，故正确；中命题的否命题为若x2y20，则x，y全为零，为真命题，故正确；中命题的否定为xR，使x23x10 ，因为(3)2450，故错误；中命题x2xm0有实根14m0m若m0，则x2xm0有实根为真命题其逆否命题也为真命题，故正确故填.命题“若x，y都是偶数，则xy也是偶数”的逆否命题是_答案：若xy不是偶数，则x，y不都是偶数解析：由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“xy是偶数”的否定表达是“xy不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若xy不是偶数，则x，y不都是偶数”.,2充分条件和必要条件)典型示例,2)已知集合A，Bx|xm21p：xA，q：xB，并且p是q的充分条件，求实数m的取值范围【思维导图】 对集合进行化简将条件间的关系转化为集合间的包含关系利用集合间的关系列出关于m的不等式求出实数m的范围【规范解答】 解： 化简集合A，由yx2x1配方得y. x， ymin，ymax2. y. A.化简集合B，由xm21，得x1m2，Bx|x1m2 命题p是命题q的充分条件， AB. 1m2，解得m或m. 实数m的取值范围是.【精要点评】 本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键总结归纳充要关系的几种判断方法(1) 定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假(2) 等价法：即利用AB与綈B綈A；BA与綈A綈B；AB与綈B綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法(3) 利用集合间的包含关系判断：设Ax|p(x)，Bx|q(x)，若AB，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充要条件题组练透1. “m0，若pq为假命题，则实数m的取值范围是_答案：2，)解析：依题意知，p，q均为假命题当p是假命题时，mx210恒成立，则有m0；当q是假命题时，则有m240，m2或m2.因此由p，q均为假命题得即m2.变式训练已知命题p：“x0，1，aex”；命题q：“xR，使得x24xa0”若命题“pq”是真命题，则实数a的取值范围是_答案：e，4解析：若命题“pq”是真命题，那么命题p，q都是真命题由x0，1，aex，得ae；由xR，使得x24xa0，知164a0，a4，因此ea4.已知命题p：|x2x|6，q：xZ，若“pq”与“綈q”都是假命题，求x的值解： 綈q假， q真又pq假， p假 即 x1，0，1，2.,4全称命题与存在性命题),4)已知命题p：“xR，mR，使4x2x1m0”若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是_答案：(，1解析：命题綈p是假命题，即命题p是真命题，由4x2x1m0得m(4x2x1)，令f(x)(4x2x1)，由于f(x)(2x1)21，所以当xR时f(x)1，因此实数m的取值范围是m1.若命题“xR，有x2mxm0”是假命题，则实数m的取值范围是_答案：4，0解析：“xR，有x2mxm0”是假命题，则“xR，有x2mxm0”是真命题，即m24m0， 4m0.1. 已知命题p：xR，使ax22x10.当綈p为真命题时，实数a的取值范围是_答案：a|a1解析：綈p：xR，使ax22x10.若此命题为真命题，则即a1，从而所求a的取值范围是a|a12. (2016全国卷)命题“xR，2x23ax90”为假命题，则实数a的取值范围是_答案：2，2解析：因题中的命题为假命题，则它的否定“xR，2x23ax90”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，因此只需9a24290，即2a2.3. (2018衡水中学周测)设p：0，q：x2(2a1)xa(a1)0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_答案：解析：因为p：x1，q：axa1，所以由题意可得0a2x；命题q：x(，0)，3x2x，则下列命题为真命题的是_(填序号) pq； p(綈q)； (綈p)q； (綈p)(綈q)答案：解析：x(0，)，3x2x，所以命题p为真命题；x(，0)，3x0是f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)的_条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案：充要解析：当x0时， y1，易知y在(0，)上单调递增，又y是奇函数， 函数f(x)ex在(，)上为单调增函数先证充分性： x1x20， x1x2，又f(x)ex在(，)上为单调增函数， f(x1)f(x2)，同理：f(x2)f(x1)，故f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)充分性证毕再证必要性：记g(x)f(x)f(x)，由f(x)ex在(，)上单调递增，可知f(x)在(，)上单调递减， g(x)f(x)f(x)在(，)上单调递增由f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)，可得f(x1)f(x1)f(x2)f(x2)，即g(x1)g(x2)， x1x2，x1x20.必要性证毕1. “bc0”是“二次函数yax2bxc的图象经过原点”的_条件答案：充分不必要解析：若bc0，则二次函数yax2bxcax2经过原点；若二次函数yax2bxc过原点，则c0.2. 已知命题p：x25x60；命题q：0x4.若p是真命题，q是假命题，求实数x的取值范围解：由x25x60得x3或x2. 命题q为假， x0或x4.则x|x3或x2x|x0或x4x|x0或x4 满足条件的实数x的范围是(，04，)3. (2018济南一中期初)已知不等式|xm|1成立的充分不必要条件是x，则m的取值范围是_答案：解析：解不等式|xm|1，得 m1x0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是_答案：3，8)解析：因为p(1)是假命题，所以12m0，解得m3；又p(2)是真命题，所以44m0，解得m8.故实数m的取值范围是3m8.1. 在判断四个命题间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系要注意四种命题关系的相对性与等价性，判断四种命题真假的关键是熟悉四种命题的概念与互为逆否命题是等价的，即“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”，而互逆命题、互否命题是不等价的，当一个命题直接判断不易进行时，通常可转化为判断其等价命题的真假；而判断一个命题为假命题只需举出反例即可2. 充要条件的三种判断方法
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