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第3讲导数的简单应用考情考向高考导航1此部分内容是高考命题的热点内容在选择题、填空题中多考查导数的几何意义，难度较小2应用导数研究函数的单调性、极值、最值，多在选择题、填空题最后几题的位置考查，难度属中等偏上，属综合性问题有时也常在解答题的第一问中考查，难度中档真题体验1(2019全国卷)曲线y2sin xcos x在点(，1)处的切线方程为()Axy10B2xy210C2xy210 Dxy10解析：Cy2cos xsin x，切线斜率k2cos sin 2，在点(，1)处的切线方程为y12(x)，即2xy210.2(全国卷)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为()A1 B2e3C5e3 D1解析：Af(x)x2(a2)xa1ex1，则f(2)42(a2)a1e30a1，则f(x)(x2x1)ex1，f(x)(x2x2)ex1，令f(x)0，得x2或x1，当x2或x1时，f(x)0；当2x1时，f(x)0，则f(x)极小值为f(1)1.3(2018天津卷)已知函数f(x)exln x，f(x)为f(x)的导函数，则f(1)的值为_解析：由函数的解析式可得：f(x)exln xexex(ln x)，则：f(1)e1(ln 1)e.即f(1)的值为e.答案：e4(2019天津卷)已知aR，设函数f(x)若关于x的不等式f(x)0在R上恒成立，则a的取值范围为()A0,1 B0,2C0，e D1，e解析：C首先f(0)0，即a0，当0a1时，f(x)x22ax2a(xa)22aa22aa2a(2a)0，当a1时，f(1)10，故当a0时，x22ax2a0在(，1上恒成立；若xaln x0在(1，)上恒成立，即a在(1，)上恒成立，令g(x)，则g(x)，易知xe为函数g(x)在(1，)唯一的极小值点、也是最小值点，故g(x)maxg(e)e，所以ae.综上可知，a的取值范围是0，e故选C.主干整合1导数的几何意义函数yf(x)在点xx0处的导数值就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，其切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)2导数与函数单调性的关系(1)f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0.(2)f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f(x)0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性3可导函数极值的理解(1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值(2)对于可导函数f(x)，“f(x)在xx0处的导数f(x)0”是“f(x)在xx0处取得极值”的必要不充分条件(3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点4函数的极值与最值(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有(3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值热点一导数的几何意义例1(1)(2019全国卷)已知曲线yaexxln x在点(1，ae)处的切线方程为y2xb，则()Aae，b1Bae，b1Cae1，b1 Dae1，b1解析Dyaexln x1，ky|x1ae1，切线方程为yae(ae1)(x1)，即y(ae1)x1.又切线方程为y2xb，即ae1，b1.故选D.(2)(2019成都二模)已知曲线C1：y2tx(y0，t0)在点M处的切线与曲线C2：yex11也相切，则tln的值为()A4e2 B8eC2 D8解析D曲线C1：y，y.当x时，y，切线方程为y2，化简为yx1.与曲线C2相切，设切点为(x0，y0)，y|xx0ex01，x0ln1，那么y0ex0111，切线方程为y，化简为yxln1，是同一方程，所以ln11ln，即t4，那么tln4ln e28，故选D.求曲线yf(x)的切线方程的三种类型及方法(1)已知切点P(x0，y0)，求yf(x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f(x0)，由点斜式写出方程(2)已知切线的斜率为k，求yf(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程kf(x0)解得x0，再由点斜式写出方程(3)已知切线上一点(非切点)，求yf(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f(x0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程(1)(2019江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线yln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(e，1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是_解析：导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点设点A(x0，y0)，则y0ln x0.又y，当xx0时，y，点A在曲线yln x上的切线为yy0(xx0)，即yln x01，代入点(e，1)，得1ln x01，即x0ln x0e，考查函数H(x)xln x，当x(0,1)时，H(x)0，当x(1，)时，H(x)0，且H(x)ln x1，当x1时，H(x)0，H(x)单调递增，注意到H(e)e，故x0ln x0e存在唯一的实数根x0e，此时y01，故点A的坐标为A(e,1)答案：(e,1)(2)(2019烟台三模)函数f(x)exsin x的图象在点(0，f(0)处的切线方程是_解析：由f(x)exsin x，得f(x)exsin xexcos x，所以f(0)0且f(0)1，则切线的斜率为1，切点坐标为(0,0)，所以切线方程为yx.答案：yx热点二利用导数研究函数的单调性逻辑推理素养逻辑推理分类与整合思想研究函数的单调性含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见有以下几种可能：方程f(x)0是否有根；若f(x)0有根，求出根后是否在定义域内；若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法.例2(1)(2019青岛三模)若函数f(x)x2x1在区间上单调递减，则实数a的取值范围是_解析由已知得f(x)x2ax1，函数f(x)在区间上单调递减，f(x)0在区间上恒成立，即解得a，实数a的取值范围为.答案(2)(2019吉林三模节选)已知函数f(x)ln xax11，当a0时，讨论f(x)的单调性解f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.当a0时，f(x)，此时，在(0,1)上f(x)0，f(x)单调递减，在(1，)上f(x)0，f(x)单调递增；当a0时，f(x).()当1，即a时，f(x)0在(0，)上恒成立所以f(x)在(0，)上单调递减；()当a0时，1，此时在(0,1)，上f(x)0，f(x)单调递减，在上f(x)0，f(x)单调递增综上所述：当a0时，f(x)在(0,1)上单调递减，f(x)在(1，)上单调递增；当a0时，f(x)在(0,1)，上单调递减，f(x)在上单调递增；当a时f(x)在(0，)上单调递减求解或讨论函数单调性有关问题的解题策略讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论：(1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论(2)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论注意讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制(2019广州二模)已知x1是f(x)2xln x的一个极值点(1)求函数f(x)的单调递减区间(2)设函数g(x)f(x)，若函数g(x)在区间1,2内单调递增，求a的取值范围解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)2，x(0，)因为x1是f(x)2xln x的一个极值点，所以f(1)0，即2b10.解得b3，经检验，适合题意，所以b3.因为f(x)2，解f(x)0，得0x1.所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1(2)g(x)f(x)2xln x(x0)，g(x)2(x0)因为函数g(x)在1,2上单调递增，所以g(x)0在1,2上恒成立，即20在1,2上恒成立，所以a2x2x在1,2上恒成立，所以a(2x2x)max，x1,2因为在1,2上，(2x2x)max3，所以a3.热点三利用导数研究函数的极(最)值例3(2019银川二模)已知函数f(x)ln xax2(a2)x.(1)若f(x)在x1处取得极值，求a的值(2)求函数yf(x)在a2，a上的最大值审题指导(1)要求a的值，只需要令f(1)0即可(2)要求f(x)的最大值，就要根据与区间a2，a的关系分类讨论，依据单调性求解解析(1)因为f(x)ln xax2(a2)x，所以函数的定义域为(0，)所以f(x)2ax(a2).因为f(x)在x1处取得极值，即f(1)(21)(a1)0，解得a1.当a1时，在上f(x)0，在(1，)上f(x)0，此时x1是函数f(x)的极小值点，所以a1.(2)因为a2a，所以0a1，f(x)，因为x(0，)，所以ax10，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减当0a时，f(x)在a2，a上单调递增，所以f(x)maxf(a)ln aa3a22a；当即a时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)maxfln 21ln 2；当a2，即a1时，f(x)在a2，a上单调递减，所以f(x)maxf(a2)2ln aa5a32a2.综上所述，当0a时，函数yf(x)在a2，a上的最大值是ln aa3a22a；当a时，函数yf(x)在a2，a上的最大值是1ln 2；当a1时，函数yf(x)在a2，a上的最大值是2ln aa5a32a2.利用导数研究函数极值、最值的方法(1)若求极值，则先求方程f(x)0的根，再检查f(x)在方程根的左、右函数值的符号(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况来求解(3)求函数f(x)在闭区间a，b上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值几点注意：求函数极值时，一定要注意分析导函数的零点是不是函数的极值点；求函数最值时，务必将极值与端点值比较得出最大(小)值；对于含参数的函数解析式或区间求极值、最值问题，务必要对参数分类讨论(2019惠州二模)已知函数f(x)(1)求f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点；(2)求f(x)在1，e(e为自然对数的底数)上的最大值解析：(1)当x1时，f(x)3x22xx(3x2)，令f(x)0，解得x0或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0f(x)00f(x)极小值极大值故当x0时，函数f(x)取得极小值为f(0)0，函数f(x)的极大值点为x.(2)当1x1时，由(1)知，函数f(x)在1,0)和上单调递减，在上单调递增因为f(1)2，f，f(0)0，所以f(x)在1，1)上的最大值为2.当1xe，f(x)aln x，当a0时，f(x)0；当a0时，f(x)在1，e上单调递增，则f(x)在1，e上的最大值为f(e)a.故当a2时，f(x)在1，e上的最大值为a；当a2时，f(x)在1，e上的最大值为2.限时50分钟满分76分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1(2020南开中学质检)已知函数f(x)g(x)2x且曲线yg(x)在x1处的切线为y2x1，则曲线yf(x)在x1处的切线的斜率为()A2B4C6 D8解析：B曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，g(1)2.函数f(x)g(x)2x，f(x)g(x)2，f(1)g(1)2，f(1)224，即曲线yf(x)在x1处的切线的斜率为4.故选B.2(2019南京三模)若函数f(x)kxln x在区间(1，)上单调递增，则k的取值范围是()A(，2 B(，1C2，) D1，)解析：D因为f(x)kxln x，所以f(x)k.因为f(x)在区间(1，)上单调递增，所以当x1时，f(x)k0恒成立，即k在区间(1，)上恒成立因为x1，所以01，所以k1.故选D.3(2019保定三模)函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是()A0,1) B(1,1)C. D(0,1)解析：Df(x)3x23a3(x2a)当a0时，f(x)0，f(x)在(0,1)内单调递增，无最小值当a0时，f(x)3(x)(x)当x(，)和(，)时，f(x)单调递增；当x(，)时，f(x)单调递减，所以当1，即0a1时，f(x)在(0,1)内有最小值4(2020长沙模拟)已知函数f(x)x3ax23x1有两个极值点，则实数a的取值范围是()A(，) B(，)C(，) D(，)(，)解析：Df(x)x22ax3.由题意知方程f(x)0有两个不相等的实数根，所以4a2120，解得a或a.5(2019长春质量监测)已知函数f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x)f(x)0，其中f(x)为f(x)的导函数，设af(0)，b2f(ln 2)，cef(1)，则a，b，c的大小关系是()Acba BabcCcab Dbca解析：A令g(x)exf(x)，则g(x)exf(x)f(x)0，所以函数g(x)在定义域R上单调递增，从而g(0)g(ln 2)g(1)，得f(0)2f(ln 2)ef(1)，即abc.故选A.6(山东卷)若函数yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yf(x)具有T性质下列函数中具有T性质的是()Aysin x Byln xCyex Dyx3解析：A当ysin x时，ycos x，cos 0cos 1，所以在函数ysin x图象存在两点x0，x使条件成立，故A正确；函数yln x，yex，yx3的导数值均非负，不符合题意，故选A.二、填空题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)7(2019厦门三模)已知直线ykx2与曲线yxln x相切，则实数k的值为_解析：由yxln x知yln x1，设切点为(x0，x0ln x0)，则切线方程为yx0ln x0(ln x01)(xx0)，因为切线ykx2过定点(0，2)，所以2x0ln x0(ln x01)(0x0)，解得x02，故k1ln 2.答案：1ln 28(2019潍坊三模)设函数f(x)ln xax2bx，若x1是f(x)的极大值点，则a的取值范围是_解析：f(x)的定义域为(0，)，f(x)axb，由f(1)0，得b1a.f(x)axa1.若a0，当0x1时，f(x)0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，f(x)单调递减；所以x1是f(x)的极大值点若a0，由f(x)0，得x1或x.因为x1是f(x)的极大值点，所以1，解得1a0.综合得a的取值范围是(1，)答案：(1，)三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)9(2018北京卷)设函数f(x)ax2(3a1)x3a2ex.(1)若曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率为0，求a；(2)若f(x)在x1处取得极小值，求a的取值范围解：(1)f(x)ax2(3a1)x3a2exf(x)ax2(a1)x1exf(2)(2a1)e20a(2)f(x)(ax1)(x1)ex当a0时，令f(x)0得x1f(x)，f(x)随x变化如下表：x(，1)1(1，)f(x)0f(x)极大值f(x)在x1处取得极大值(舍)当a0时，令f(x)0得x1，x21a当x1x2，即a1时，f(x)(x1)2ex0f(x)在R上单调递增f(x)无极值(舍)b当x1x2，即0a1时，f(x)，f(x)随x变化如下表：x(，1)1f(x)00f(x)极大值极小值f(x)在x1处取极大值(舍)c当x1x2，即a1时f(x)，f(x)随x变化如下表：x1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值f(x)在x1处取极小值即a1成立当a0时，令f(x)0得x1，x21f(x)，f(x)随x变化如下表：x1(1，)f(x)00f(x)极小值极大值f(x)在x1处取极大值(舍)综上所述：a的取值范围为(1，)10(2019全国卷)已知函数f(x)2x3ax2b.(1)讨论f(x)的单调性(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间0,1的最小值为1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由解析：这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算思考量不大，由计算量补充(1)对f(x)2x3ax2b求导得f(x)6x22ax6x.所以有当a0时，区间上单调递增，区间上单调递减，(0，)区间上单调递增；当a0时，(，)区间上单调递增；当a0时，(，0)区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增(2)若f(x)在区间0,1有最大值1和最小值1，所以若a0，区间上单调递增，区间上单调递减，(0，)区间上单调递增；此时在区间0,1上单调递增，所以f(0)1，f(1)1代入解得b1，a0，与a0矛盾，所以a0不成立若a0，(，)区间上单调递增；在区间0.1所以f(0)1，f(1)1代入解得.若0a2，(，0)区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增即f(x)在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间0,1上最小值为f而f(0)b，f(1)2abf(0)，故所以区间0,1上最大值为f(1). 即相减得2a2，即a(a3)(a3)0，又因为0a2，所以无解若2a3，(，0)区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增即f(x)在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间0,1上最小值为f而f(0)b，f(1)2abf(0)，故所以区间0,1上最大值为f(0). 即相减得2，解得x3，又因为2a3，所以无解若a3，(，0)区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增所以有f(x)区间0,1上单调递减，所以区间0,1上最大值为f(0)，最小值为f(1)即解得.综上得或.答案：(1)见详解；(2)或.11(2018江苏卷)记f(x)，g(x)分别为函数f(x)，g(x)的导函数若存在x0R，满足f(x0)g(x0)且f(x0)g(x0)，则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”(1)证明：函数f(x)x与g(x)x22x2不存在“S点”；(2)若函数f(x)ax21与g(x)ln x存在“S点”，求实数a的值；(3)已知函数f(x)x2a，g(x).对任意a0，判断是否存在b0，使函数f(x)与g(x)在区间(0，)内存在“S点”，并说明理由解：(1)f(x)1，g(x)2x2若存在，则有根据得到x0代入不符合，因此不存在“S点”(2)f(x)2ax，g(x)根据题意有且有x00根据得到x0代入得到a.(3)f(x)2x，g(x)转化为xa00x01xxa(x01)2x0m(x)x3xa(x01)0转化为m(x)存在零点x0,0x01又m(0)a0，m(1)2m(x)恒存在零点大于0小于1对任意a0均存在b0，使得存在“S点”- 15 -
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