2019高考数学 突破三角函数与解三角形问题中的套路 专题01 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式学案 理

专题01 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式知识必备一、任意角的三角函数 1定义设是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，点是角的终边上任意一点，到原点的距离，那么角的正弦、余弦、正切分别是 注意：正切函数的定义域是，正弦函数和余弦函数的定义域都是. 2三角函数值在各象限内的符号三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦3三角函数线设角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作垂直于轴于由三角函数的定义知，点的坐标为，即，其中单位圆与轴的正半轴交于点，单位圆在点的切线与的终边或其反向延长线相交于点，则我们把有向线段分别叫做的余弦线、正弦线、正切线各象限内的三角函数线如下：角所在的象限第一象限第二象限第三象限第四象限图形4特殊角的三角函数值0 0100100101不存在0不存在0补充：二、同角三角函数的基本关系式1平方关系2商的关系3同角三角函数基本关系式的变形（1）平方关系的变形：；（2）商的关系的变形：；（3）三、三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k+（kZ）+正弦sin sinsinsincoscos余弦cos cos cos cos sinsin 正切tan tantantan口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限核心考点考点一 三角函数的定义【例1】已知角的终边经过点，且，则等于ABCD【答案】A【解析】因为角的终边经过点，所以角是第二象限角，所以，求解可得（正值舍去）.故选A.备考指南1利用三角函数的定义求角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x、纵坐标y、该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)2利用三角函数线解三角不等式的步骤：确定区域的边界；确定区域；写出解集3已知角的终边所在的直线方程或角的大小，根据三角函数的定义可求角终边上某特定点的坐标4三角函数值的符号及角的位置的判断已知一角的三角函数值(，)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置注意终边在坐标轴上的特殊情况.考点二 象限角的判断【例2】“”是“角是第一象限角”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B 备考指南1已知所在的象限，求或n（nN*）所在的象限的方法是：将的范围用不等式（含有k）表示，然后两边同除以n或乘以n，再对k进行讨论，得到或n（nN*）所在的象限2象限角的判定有两种方法：一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；二是先将此角化为k360（0360，kZ）的形式，即找出与此角终边相同的角，再由角终边所在的象限来判断此角是第几象限角3由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解.考点三 同角三角函数基本关系式及其应用【例3】设.若，则A BC D【答案】A 【解析】因为，且，所以,所以.故选A备考指南1利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化2的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于的齐次式，或含有及的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“”代换后转化为“切”后求解.考点四 诱导公式及其应用【例4】点位于 A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【答案】C 备考指南1应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”“正角化锐角”求值2使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似的形式时，需要对k的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负3利用诱导公式化简三角函数式的思路：（1）分析结构特点，选择恰当公式；（2）利用公式化成单角三角函数；（3）整理得最简形式利用诱导公式化简三角函数式的要求：（1）化简过程是恒等变形；（2）结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值4巧用相关角的关系能简化解题的过程常见的互余关系有与，与，与等；常见的互补关系有与，与等.考点五 三角函数公式的综合应用【例5】已知角的顶点均为坐标原点，始边均为轴的正半轴，若的终边分别与单位圆相交于两点，且.（1）求的值，并确定点所在的象限；（2）若点的坐标为，求的值.【解析】（1）.因为，所以的终边在第二或第四象限，所以点在第二或第四象限.（2）由知，则 .备考指南熟练掌握正切的差角公式，三角函数的诱导公式，同角三角函数的关系式，正确使用公式是解题的关键.能力突破1已知角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，终边过点（5，12），则=A BC D【答案】B【解析】由题知，=13，根据三角函数定义知，=， = =，故选B【名师点睛】高考中常将三角函数定义与三角函数公式相结合进行考查，是基础题.2已知，则ABCD【答案】A 【解析】方法一：因为，所以，所以，故选A方法二：由，得，所以.【名师点睛】同角三角函数基本关系式也常与三角函数诱导公式、恒等变换结合起来进行考查.3角为的一个内角，若，则这个三角形为 A锐角三角形 B钝角三角形C等腰直角三角形 D等腰三角形【答案】B【名师点睛】判断三角形的形状有两种方法：一是根据角来判断，分为锐角、直角、钝角三角形；二是根据边来判断，分为不等边、等腰、等边三角形注意这两种分类方法有重合的部分，如等腰直角三角形4已知，.（1）求，的值；（2）求的值.【解析】（1）因为，所以，由于，所以，所以.（2）原式.【名师点睛】对于三角函数求值问题，必须熟练记忆和掌握三角函数公式：同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角恒等变换.高考通关1（2018北京）在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O𝑥为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是 A BCD 【答案】C【解析】由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线.A选项：当点在上时，故A选项错误；B选项：当点在上时，故B选项错误；C选项：当点在上时，故C选项正确；D选项：点在上且在第三象限，故D选项错误.综上，故选C.【名师点睛】此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到所对应的三角函数线进行比较.2已知，则的值为A BC D【答案】A 【解析】，原式，故选A3（2017北京）在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin=，则sin=_【答案】 【解析】因为角与角的终边关于轴对称，所以，所以.【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称，则 ，若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于原点对称，则.4（2017新课标）已知，tan =2，则=_【答案】【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角5（2018新课标）已知，则_【答案】【解析】因为，所以，因此6（2018浙江）已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）（1）求sin（+）的值；（2）若角满足sin（+）=，求cos的值【解析】（1）由角的终边过点得，所以.（2）由角的终边过点得，由得.由得，所以或.你都掌握了吗？ 有哪些问题？整理一下！ 12