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第2课时函数奇偶性的应用(教师独具内容)课程标准：会利用函数的奇偶性研究函数的定义域、值域、解析式、单调性等教学重点：函数奇偶性的应用教学难点：函数的奇偶性和单调性的综合应用【情境导学】(教师独具内容)通过上节课的学习，我们知道函数的奇偶性描述了函数图像具有的对称性，这节课我们就来学习如何应用函数的奇偶性来解决问题【知识导学】知识点一函数奇偶性的应用如果知道一个函数是奇函数或是偶函数，那么其定义域能分成关于原点对称的两部分，得出函数在其中一部分上的性质和图像，就可得出这个函数在另一部分上的性质和图像知识点二 偶函数的性质如果yf(x)是偶函数，那么其在x0与x0与x1)是奇函数，则a等于()A1 B0 C1 D无法确定(2)已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)x2，则f(1)_.(3)如果奇函数f(x)在区间2,5上是减函数，且最大值为8，最小值为3，那么f(x)在5，2上是_函数，最大值是_，最小值是_答案(1)C(2)2(3)减38题型一 利用函数的奇偶性求值或求参数 例1(1)已知函数f(x)x3ax2bxc是定义在2b5,2b3上的奇函数，则f的值为()A. B. C1 D无法确定(2)已知f(x)x7ax5bx3cx2，若f(3)3，则f(3)_.(3)已知函数f(x)(xa)(xb)(a，bR)为R上的偶函数求a，b的关系式；求关于x的方程f(x)0的解集解析(1)奇函数的定义域关于原点对称，2b5(2b3)2b3.解得b2.f(x)是定义在1,1上的奇函数，f(0)c0，f(1)f(1)即1a2(1a2)a0.f(x)x32x.f321.(2)令g(x)x7ax5bx3cx，则g(x)为奇函数f(3)g(3)2g(3)2.又f(3)3，g(3)5.又f(3)g(3)2，f(3)527.(3)因为f(x)(xa)(xb)x2(ab)xab是偶函数，所以f(x)f(x)对于xR恒成立，所以(x)2(ab)xabx2(ab)xab，即2(ab)x0对于xR恒成立，所以ab0，即ba.由可知，f(x)x2a2.当a0时，f(x)x20，解得x0；当a0时，f(x)x2a20，解得xa.综上所述，当a0时，方程f(x)0的解集为0；当a0时，方程f(x)0的解集为a，a答案(1)B(2)7(3)见解析金版点睛利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为a，b，根据定义域关于原点对称，利用ab0求参数(2)解析式含参数：根据f(x)f(x)或f(x)f(x)列式，比较系数即可求解(1)设函数f(x)若f(x)是奇函数，则g(2)的值是()A3 B5 C5 D3(2)若f(x)ax2bxb1是定义在a1,2a上的偶函数，则ab的值为()A B. C D.答案(1)A(2)B解析(1)函数f(x)且f(x)是奇函数，g(2)f(2)f(2)(221)3.故选A.(2)f(x)ax2bxb1是定义在a1,2a上的偶函数，a12a，f(x)ax2bxb1f(x)ax2bxb1.a，b0.ab.故选B.题型二 利用函数的奇偶性求解析式例2若f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x(1x)，求当x0时，f(x)的解析式解当x0，则x0时f(x)x3x1，求f(x)的解析式解当x0时，f(x)x3x1，设x0.f(x)(x)3(x)1x3x1.又f(x)是奇函数，f(0)0，f(x)f(x)f(x)x3x1，即f(x)x3x1.故f(x)题型三 函数的奇偶性与单调性的综合应用例3(1)已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，在2,6上是减函数，试比较f(5)与f(3)的大小；(2)设定义在2,2上的奇函数f(x)在区间0,2上单调递减，若f(m)f(m1)0，求实数m的取值范围解(1)因为f(x)是偶函数，所以f(5)f(5)，因为f(x)在2,6上是减函数，所以f(5)f(3)，所以f(5)0，得f(m)f(m1)，即f(1m)f(m)又f(x)在区间0,2上为减函数且f(x)在2,2上为奇函数，f(x)在2,2上为减函数即解得1m.故m的取值范围为.金版点睛奇偶性与单调性综合问题的两种类型(1)比较大小：看自变量是否在同一单调区间上在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小(2)解不等式利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式；根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式求解(1)已知函数f(x)在5,5上是偶函数，f(x)在0,5上是单调函数，且f(4)f(2)，则下列不等式一定成立的是()Af(1)f(3) Bf(2)f(3)Cf(3)f(1)(2)设函数f(x)在R上是偶函数，在(，0)上单调递减，若f(a22a3)f(a2a1)，求实数a的取值范围答案(1)D(2)见解析解析(1)因为函数f(x)在5,5上是偶函数，所以f(4)f(2)f(4)f(1)(2)由题意，知f(x)在(0，)上是增函数又a22a3(a1)220，a2a120，且f(a22a3)f(a2a1)，所以a22a3a2a1，即3a2，af(3)f(2) Bf()f(2)f(3)Cf(3)f(2)f() Df(3)f()f(2)答案A解析f(x)是R上的偶函数，f(2)f(2)，f()f()，又f(x)在0，)上单调递增，且23f(3)f(2)，即f()f(3)f(2)4奇函数f(x)在区间3,6上是增函数，在区间3,6上的最大值是4，最小值是1，则2f(6)f(3)_.答案7解析f(x)是奇函数，且在3,6上是增函数，f(3)1，f(6)4.2f(6)f(3)2f(6)f(3)2417.5已知函数f(x)x24x3.(1)若g(x)f(x)bx为偶函数，求b的值；(2)求函数f(x)在3,3上的最大值解(1)g(x)f(x)bxx2(b4)x3，g(x)x2(b4)x3，g(x)g(x)，b40，b4.(2)f(x)x24x3的图像关于直线x2对称，f(x)在x2时取得最小值1，在x3时取得最大值24.7
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