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第六节抛物线考纲传真1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用1抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线2抛物线的标准方程与几何性质标准y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)方程p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR焦半径(其中P(x0，y0)|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y01y2ax(a0)的焦点坐标为，准线方程为x.2.设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2，y1y2p2.(2)弦长|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角)(3)以弦AB为直径的圆与准线相切(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于2p，通径是过焦点最短的弦基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切()(3)若一抛物线过点P(2,3)，则其标准方程可写为y22px(p0)()(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()答案(1)(2)(3)(4)2抛物线yx2的准线方程是()Ay1By2Cx1 Dx2Ayx2，x24y，准线方程为y1.3(教材改编)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(4，2)的抛物线的标准方程是()Ay2x Bx28yCy28x或x2y Dy2x或x28yD若焦点在y轴上，设抛物线方程为x2my，由题意可知162m，m8，即x28y.若焦点在x轴上，设抛物线方程为y2nx，由题意，得44n，n1，y2x.综上知，y2x或x28y.故选D4(教材改编)若抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A. BC. D0BM到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y，设M(x，y)，则y1，y.5(教材改编)过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1x26，则|PQ|等于_8|PQ|x1x2p628.抛物线的定义及应用【例1】(1)已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，且|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A. B1C. D(2)已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，A(3,2)，则|PA|PF|的最小值为_，取最小值时点P的坐标为_(1)C(2)(2,2)(1)如图所示，设抛物线的准线为l，AB的中点为M，作AA1l于A1，BB1l于B1，MM1l于M1，由抛物线的定义知p，|AA1|BB1|AF|BF|3，则点M到y轴的距离为|MM1|(|AA1|BB1|).故选C.(2)将x3代入抛物线方程y22x，得y.因为2，所以点A在抛物线内部，如图所示过点P作PQl于点Q，则|PA|PF|PA|PQ|，当PAl，即A，P，Q三点共线时，|PA|PQ|最小，最小值为，即|PA|PF|的最小值为，此时点P的纵坐标为2，代入y22x，得x2，所以所求点P的坐标为(2,2)规律方法应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|x0|或|PF|y0|. (1)动圆过点(1,0)，且与直线x1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_(2)(2017 全国卷)已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|_.(1)y24x(2)6(1)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x.(2)如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，PMOF.由题意知，F(2,0)，|FO|AO|2.点M为FN的中点，PMOF，|MP|FO|1. 又|BP|AO|2，|MB|MP|BP|3.由抛物线的定义知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6.抛物线的标准方程及其性质【例2】(1)如图所示，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|4，则抛物线的方程为()Ay28xBy24xCy22xDy2x(2)在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y24x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足如果直线AF的倾斜角为120，那么|PF|_.(1)B(2)4(1)如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设准线与x轴交于点G，设|BF|a，则由已知得|BC|2a，由定义得|BD|a，故BCD30 ，则在RtACE中，2|AE|AC|，又|AF|4，|AC|43a，|AE|4，43a8，从而得a，AEFG，即，p2.抛物线的方程为y24x.故选B(2)法一：抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.因为直线AF的倾斜角为120，所以AFO60.又tan 60，所以yA2.因为PAl，所以yPyA2.将其代入y24x，得xP3，所以|PF|PA|3(1)4.法二：抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.因为PAl，所以|PA|PF|.又因为直线AF的倾斜角为120，所以AFO60，所以PAF60，所以PAF为等边三角形，所以|PF|AF|4.规律方法(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此 (1)O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点若|PF|4，则POF的面积为()A. BC2 D3(2)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的方程为()Ay24x或y28x By22x或y28xCy24x或y216x Dy22x或y216x(1)B(2)C(1)抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线为直线x1.设点P(x，y)，由抛物线的定义，得|PF|x14，所以x3.把x3代入y24x，得y2，故POF的面积S|OF|y|12.故选B(2)如图所示，抛物线y22px的焦点F坐标为，准线方程为l：x.由|MF|5，可得点M到准线的距离为5，则点M的横坐标为5，可设M，则MF中点B的坐标为B，以MF为直径的圆过点A(0,2)，|AB|MF|，则有222，解得m4，由点M在抛物线上可得m2422p，解得p2或p8，所求抛物线方程为y24x或y216x，故选C.直线与抛物线的位置关系【例3】(2018全国卷)设抛物线C：y22x，点A(2,0)，B(2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：ABMABN.解(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x2，可得点M的坐标为(2,2)或(2，2)所以直线BM的方程为yx1或yx1.(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以ABMABN.当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x2)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x10，x20.由得ky22y4k0，可知y1y2，y1y24.直线BM，BN的斜率之和为kBMkBN.将x12，x22及y1y2，y1y2的表达式代入式分子，可得x2y1x1y22(y1y2)0.所以kBMkBN0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以ABMABN.综上，ABMABN.规律方法解决直线与抛物线位置关系问题的三种常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用弦长公式(3)涉及抛物线的弦长、弦中点等相关问题时，一般采用“设而不求，整体代入”的解法提醒：涉及弦的中点、弦所在直线的斜率时一般用“点差法”求解 (1)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有_条(2)(2019临沂模拟)已知点A(m,4)(m0)在抛物线x24y上，过点A作倾斜角互补的两条直线l1和l2，且l1，l2与抛物线的另一个交点分别为B，C.求证：直线BC的斜率为定值；若抛物线上存在两点关于BC对称，求|BC|的取值范围(1)3结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x0)(2)解证明：点A(m,4)在抛物线上，16m2，m4，又m0，m4.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则kABkAC0，x1x28.kBC2，直线BC的斜率为定值2.设直线BC的方程为y2xb，P(x3，y3)，Q(x4，y4)关于直线BC对称，设PQ的中点为M(x0，y0)，则kPQ，x01.M(1，2b)又点M在抛物线内部，2b，即b.由得x28x4b0，x3x48，x3x44b|BC|x3x4|.又b，|BC|10.|BC|的取值范围为(10，)1.(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则()A5B6C7 D8D过点(2,0)且斜率为的直线的方程为y(x2)，由得x25x40，解得x1或x4，所以或不妨设M(1,2)，N(4,4)，易知F(1,0)，所以(0,2)，(3,4)，所以8.故选D2(2016全国卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2 B4C6 D8B设抛物线的方程为y22px(p0)，圆的方程为x2y2r2.|AB|4，|DE|2，抛物线的准线方程为x，不妨设A，D.点A，D在圆x2y2r2上，85，p4(负值舍去)C的焦点到准线的距离为4.3.(2018全国卷)已知点M(1,1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90，则k_.2由题意知抛物线的焦点为(1,0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为yk(x1)(k0)，由消去y，得k2(x1)24x，即k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x21.由消去x得y24，即y2y40，则y1y2，y1y24.由AMB90，得(x11，y11)(x21，y21)x1x2x1x21y1y2(y1y2)10，将x1x2，x1x21与y1y2，y1y24代入，得k2.4.(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解(1)由题意得F(1,0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1(舍去)或k1.因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.- 9 -
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