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指导一 数学思想融会贯通第1讲函数与方程思想、数形结合思想一函数与方程思想函数思想方程思想通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想构建方程或方程组，通过解方程或方程组或运用方程的性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想函数思想与方程思想密切相关方程f(x)0的解就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标；函数yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0，通过方程进行研究，方程f(x)a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系函数与方程思想在函数、不等式中的应用例1(2019烟台三模)已知f(x)log2x，x2,16，对于函数f(x)值域内的任意实数m，使x2mx42m4x恒成立的实数x的取值范围为()A(，2B2，)C(，22，)D(，2)(2，)解析D因为x2,16，所以f(x)log2x1,4，即m1,4不等式x2mx42m4x恒成立，即为m(x2)(x2)20恒成立设g(m)(x2)m(x2)2，则此函数在区间1,4上恒大于0，所以即解得x2或x2.函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解活学活用1(2019贵阳三模)设0a1，e为自然对数的底数，则a，ae，ea1的大小关系为()Aea1aaeBaeaea1Caeea1a Daea1ae解析：B设f(x)exx1，x0，则f(x)ex1，f(x)在(0，)上是增函数，且f(0)0，f(x)0，ex1x，即ea1a.又yax(0a1)在R上是减函数，得aae，从而ea1aae.函数与方程思想在数列中的应用例2(2020兰州模拟)设an是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值_解析an为等差数列，则S44a16d4a16，S22a11，S1a1.又SS1S4知，(2a11)2a1(4a16)，a1.答案1应用方程的思想求等差(或等比)数列中的通项时，根据题中的条件，列出关于首项和公差(或公比)的方程组，通过解方程组求出数列的首项和公差(或公比)，再根据等差(或等比)数列的通项公式写出an.2根据题目条件构造函数关系，把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题是常用的解题思路活学活用2已知数列an满足a133，an1an2n，则的最小值为_解析：ananan1an1an2a2a1a12(n1)2(n2)2332(12n1)33(n1)n33，故n1.注意到对勾函数的单调性，易得n5或n6时，最小，而，故最小值为.答案：二数形结合思想以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)借助形的生动性和直观性来阐述数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的利用数形结合思想研究函数的零点例1已知函数f(x)恰有3个零点，则实数a的取值范围为()A. B.C. D.解析D函数f(x)恰有3个零点，则3a在x2时有且只有一个实数根，且ex在(2,0)上有两个不相等的实数根由3a在x2时有且只有一个实数根，得23a1，即a；ex在(2,0)上有两个不相等的实数根，可转化为axex在(2,0)上有两个不相等的实数根，令g(x)xex，则g(x)ex(x1)，当x(2，1)时，g(x)0，当x(1,0)时，g(x)0，所以函数g(x)在(2，1)上单调递减，在(1,0)上单调递增，当2x0时，函数g(x)的大致图象如图所示，所以当g(1)ag(2)，即a时，axex在(2,0)上有两个不相等的实数根综上，当a时，函数f(x)恰有3个零点，故选D.利用数形结合探究方程解的问题应注意两点：(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合活学活用1已知函数f(x)函数g(x)是周期为2的偶函数且当x0,1时，g(x)2x1，则函数yf(x)g(x)的零点个数是()A5 B6C7 D8解析：B在同一坐标系中作出yf(x)和yg(x)的图象如图所示，由图象可知当x0时，有4个零点，当x0时，有2个零点，所以一共有6个零点应用数形结合求解不等式、参数问题例2设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)0，且g(3)0，则不等式f(x)g(x)0的解集是_解析设F(x)f(x)g(x)，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)，即F(x)在R上为奇函数又当x0时，F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)0，所以x0时，F(x)为增函数因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x0时，F(x)也是增函数因为F(3)f(3)g(3)0F(3)所以，由图象可知F(x)0的解集是(，3)(0,3)答案(，3)(0,3)求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答活学活用2当x(1,2)时，(x1)2logax恒成立，则实数a的取值范围是_解析：由题意可知a1，在同一坐标系内作出y(x1)2，x(1,2)及ylogax的图象，若ylogax过点(2,1)，得loga21，所以a2.根据题意，函数ylogax，x(1,2)的图象恒在y(x1)2，x(1,2)的上方，所以1a2.答案：(1,2利用数形结合求最值问题例3(1)(2019泉州三模)记实数x1，x2，xn中最小数为minx1，x2，xn，则定义在区间0，)上的函数f(x)minx21，x3,13x的最大值为()A5 B6C8 D10解析C在同一坐标系中作出三个函数yx21，yx3，y13x的图象如图：由图可知，在实数集R上，minx21，x3,13x为yx3上A点下方的射线，拋物线AB之间的部分，线段BC，与直线y13x点C下方的部分的组合图显然，在区间0，)上，在C点时，yminx21，x3,13x取得最大值解方程组得点C(5,8)所以f(x)max8.(2)已知圆C：(x3)2(y4)21和两点A(m,0)，B(m,0)(m0)若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为()A7 B6C5 D4解析B根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r1，且|AB|2m.因为APB90，连接OP，易知|OP|AB|m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离因为|OC|5，所以|OP|max|OC|r6，即m的最大值为6.运用数形结合思想求解最值问题(1)对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解(2)应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：比值可考虑直线的斜率；二元一次式可考虑直线的截距；根式分式可考虑点到直线的距离；根式可考虑两点间的距离活学活用3(2019南昌三模)若x，y满足约束条件则的最大值为_解析：画出可行域，如图所示，z表示可行域内的点和定点F(6,6)连线的斜率，显然直线AF的斜率最大，kAF3，即的最大值是3.答案：3第2讲分类讨论思想、转化与化归思想一分类讨论思想分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略，对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度由概念、性质、运算引起的分类讨论例1(1)(2020山师附中模拟)已知函数f(x)若f(2a)1，则f(a)等于()A2B1C1 D2解析A当2a2，即a0时，22a211，解得a1，则f(a)f(1)log23(1)2；当2a2即a0时，log23(2a)1，解得a，舍去所以f(a)2.故选A.(2)(2020阜阳模拟)等比数列an中，a1a4a72，a3a6a918，则an的前9项和S9_.解析由题意得q29，q3，当q3时，a2a5a83(a1a4a7)6，S9261826；当q3时，a2a5a83(a1a4a7)6，S9261814，所以S914或26.答案14或26数学概念运算公式中常见的分类(1)由二次函数、指数函数、对数函数的定义，直线的倾斜角、向量的夹角的范围等引起分类讨论；(2)由除法运算中除数不为零，不等式两边同乘以(或除以)同一个数(或式)时的不等号等引起分类讨论；(3)由数学公式、定理、性质成立的条件等引起分类讨论活学活用1已知函数f(x)axb(a0，a1)的定义域和值域都是1,0，则ab_.解析：当a1时，函数f(x)axb在1,0上为增函数，由题意得无解当0a1时，函数f(x)axb在1,0上为减函数，由题意得解得所以ab.答案：由图形位置或形状引起的分类讨论例2(2019泉州三模)若双曲线1的渐近线方程为yx，则m的值为()A1 B.C. D1或解析B根据题意可分以下两种情况讨论：当焦点在x轴上时，则有解得m1，此时渐近线方程为y x，由题意，解得m.当焦点在y轴上时，则有解得m3，此时渐近线方程为y x，由题意，解得：m；与m3矛盾(舍去)结合以上可知m.故选B.图形位置或形状的变化中常见的分类圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论；相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论活学活用2设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b3，c1，ABC的面积为，则a的值为_解析：由三角形面积公式，得31sin A，故sin A.因为sin2Acos2A1，所以cos A .当cos A时，由余弦定理，得a2b2c22bccos A32122138，所以a2.当cos A时，由余弦定理，得a2b2c22bccos A321221312，所以a2.综上所述，a2或2.答案：2或2由变量或参数引起的分类讨论例3(2019潍坊三模节选)设函数f(x)x3axb，xR，其中a，bR.求f(x)的单调区间解析由f(x)x3axb，可得f(x)3x2a.下面分两种情况：当a0时，f(x)3x2a0恒成立所以f(x)的单调递增区间为(，)当a0时，令f(x)0，解得x或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表：xf(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，.几种常见的由参数变化引起的分类与整合1含有参数的不等式的求解2含有参数的方程的求解3对于解析式系数含参数的函数，求最值或单调性问题4二元二次方程表示曲线类型的判定等5直线与圆锥曲线位置关系的分类活学活用3函数f(x)ax24x3在x0,2上有最大值f(2)，则实数a的取值范围是_解析：当a0时，f(x)4x3在x0,2上为单调递增函数，最大值为f(2)，满足题意当a0时，函数f(x)ax24x3a23，其对称轴为x.当a0时，f(x)ax24x3在x0,2上为单调递增函数，最大值为f(2)，满足题意当a0时，只有当2，即1a0时，f(x)ax24x3在x0,2上为单调递增函数，最大值为f(2)，满足题意综上，当a1时，函数f(x)ax24x3在x0,2上有最大值f(2)答案：1，)二转化与化归思想转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题特殊与一般的转化例1(2019长沙三模)(1)过拋物线yax2(a0)的焦点F，作一直线交拋物线于P，Q两点若线段PF与FQ的长度分别为p，q，则等于()A2a B.C4a D.解析C拋物线yax2(a0)的标准方程为x2y(a0)，焦点F.过焦点F作直线垂直于y轴，则|PF|QF|，4a.(2)(2017浙江)已知向量a，b满足|a|1，|b|2，则|ab|ab|的最小值是_，最大值是_解析由题意，不妨设b(2,0)，a(cos ，sin )，则ab(2cos ，sin )，ab(cos 2，sin )令y|ab|ab|，令y，则y210216,20由此可得(|ab|ab|)max2，(|ab|ab|)min4，即|ab|ab|的最小值是4，最大值是2.答案42(1)一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果(2)对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案活学活用1在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则_.解析：显然ABC为等边三角形时符合题设条件，所以.答案：正与反的转化例2(2019吉林三模)若对于任意t1,2，函数g(x)x3x22x在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是_解析g(x)3x2(m4)x2，若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，则g(x)0在(t,3)上恒成立，或g(x)0在(t,3)上恒成立(正反转化)由得3x2(m4)x20，即m43x，当x(t,3)时恒成立，m43t恒成立，则m41，即m5；由得3x2(m4)x20，即m43x，当x(t,3)时恒成立，则m49，即m.函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为答案(1)本题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则(2)题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中活学活用2由命题“存在x0R，使e|x01|m0”是假命题，得m的取值范围是(，a)，则实数a的取值是()A(，1) B(，2)C1 D2解析：C命题“存在x0R，使e|x01|m0”是假命题，可知它的否定形式“任意xR，使e|x1|m0”是真命题，可得m的取值范围是(，1)，而(，a)与(，1)为同一区间，故a1.主与次的相互转化例3(2019西安三模)已知函数f(x)x33ax1，g(x)f(x)ax5，其中f(x)是f(x)的导函数对满足1a1的一切a的值，都有g(x)0，则实数x的取值范围为_解析由题意，知g(x)3x2ax3a5，对(a)(3x)a3x25，1a1.对1a1，恒有g(x)0，即(a)0，即解得x1.故当x时，对满足1a1的一切a的值，都有g(x)0.答案(1)本题是把关于x的函数转化为在1,1内关于a的一次函数小于0恒成立的问题(2)在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看作是“主元”，而把其它变元看作是常量，从而达到减少变元简化运算的目的活学活用3对于满足0p4的所有实数p，使不等式x2px4xp3成立的x的取值范围是_解析：设f(p)(x1)px24x3，则当x1时，f(p)0.所以x1.f(p)在0p4上恒为正，等价于即解得x3或x1.答案：(，1)(3，)- 13 -
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