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选修42矩阵与变换第1课时线性变换、二阶矩阵及其乘法掌握恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等常见的平面变换的几何表示及其几何意义.掌握恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等常见的平面变换的几何表示及其几何意义，并能应用这几种常见的平面变换进行解题.1. 已知矩阵M，MXY且Y，求矩阵X.解：设X，则，所以由得故X.2. 点（1，k）在伸压变换矩阵之下的对应点的坐标为（2，4），求m，k的值.解：， 解得3. 已知在一个二阶矩阵M对应的变换作用下，将点（1，1），（1，2）分别变换成（1，1），（2，4），求矩阵M.解：设M，则，即由题意可得，即联立两个方程组，解得即矩阵M.4. 已知曲线C：x22xy2y21，矩阵A所对应的变换T把曲线C变成曲线C1，求曲线C1的方程.解：设曲线C上的任意一点P（x，y）在矩阵A对应的变换作用下得到点Q（x，y），则，即x2yx，xy，所以xy，y.代入x22xy2y21，得y22y21，即x2y22，所以曲线C1的方程为x2y22.5. 求使等式M成立的矩阵M.解：设M， . ， M.1. 二阶矩阵与平面向量（1） 矩阵的概念在数学中，把形如，这样的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵，其中，同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数（或字母）叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的元素.（2） 行矩阵与列矩阵的乘法规则a11a12a11b11a12b21.（3） 二阶矩阵与列向量的乘法规则.2. 几种常见的平面变换（1） 当M时，对应的变换是恒等变换.（2） 由矩阵M或M（k0，且k1）确定的变换TM称为（垂直）伸压变换.（3） 反射变换是轴反射变换、中心反射变换的总称.（4） 当M时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形（或点）绕某个定点逆时针旋转角度.（5） 将一个平面图形投影到某条直线（或某个点）的变换称为投影变换.（6） 由矩阵M或M（kR，k0）确定的变换称为切变变换.3. 线性变换的基本性质（1） 设向量，则.（2） 设向量，则.（3） A是一个二阶矩阵，是平面上任意两个向量，是任一实数，则A（）A，A（）AA.（4） 二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）.4. 二阶矩阵的乘法（1） A，B，则AB.（2） 矩阵乘法满足结合律：（AB）CA（BC）.备课札记1二阶矩阵的运算1已知矩阵A，B，向量.若AB，求实数x，y的值.解：A，B，由AB，得解得变式训练已知矩阵A，B，满足AXB，求矩阵X.解：设X，由，得解得此时X.,2求变换前后的点的坐标与曲线方程),2)（1） （2017苏北四市期中）求椭圆C：1在矩阵A对应的变换作用下所得的曲线的方程.（2） 设M，N，试求曲线ysin x在矩阵MN对应的变换作用下的曲线方程.解：（1） 设椭圆C上的点（x1，y1）在矩阵A对应的变换作用下得到点（x，y），则，则代入椭圆方程1，得x2y21，所以所求曲线的方程为x2y21.（2） MN，设（x，y）是曲线ysin x上的任意一点，在矩阵MN对应的变换作用下对应的点为（x，y）.则，所以即代入ysin x，得ysin 2x，即y2sin 2x.即曲线ysin x在矩阵MN对应的变换作用下的曲线方程为y2sin 2x.变式训练在平面直角坐标系xOy中，设点A（1，2）在矩阵M对应的变换作用下得到点A，将点B（3，4）绕点A逆时针旋转90得到点B，求点B的坐标.解：设B（x，y），依题意，由，得A（1，2）.则（2，2），（x1，y2）.记旋转矩阵N，则，即，解得所以点B的坐标为（1，4）.,3根据变换前后的曲线方程求矩阵),3)已知矩阵A，直线l：xy40在矩阵A对应的变换作用下变为直线l：xy2a0.（1） 求实数a的值；（2） 求A2.解：（1） 设直线l上任一点M0（x0，y0）在矩阵A对应的变换作用下变为l上的点M（x，y），则，所以代入l方程得（ax0y0）（x0ay0）2a0，即（a1）x0（a1）y02a0.因为（x0，y0）满足x0y040，所以4，解得a2.（2） 由A，得A2.变式训练（2017镇江期末）已知实数a，b，矩阵A对应的变换将直线xy10变换为自身，求a，b的值.解：设直线xy10上任意一点P（x，y）在矩阵A对应的变换作用下得到点P（x，y），由，得因为P（x，y）在直线xy10上，所以xy10，即（1b）x（a3）y10.因为P（x，y）在直线xy10上，所以xy10.因此解得已知直线l：xy1在矩阵A对应的变换作用下变为直线l：xy1，求矩阵A.解：设直线l：xy1上任意一点M（x，y）在矩阵A对应的变换作用下，变换为点M（x，y）.由，得又点M（x，y）在l上，所以xy1，即（mxny）y1.依题意解得所以A.,4平面变换的综合应用),4)已知M，N，向量.求证：（1） （MN）M（N）；（2） 这两个矩阵不满足MNNM.证明：（1） 因为MN，所以（MN）.因为N，所以M（N），所以（MN）M（N）.（2） 由（1）知MN，NM，所以这两个矩阵不满足MNNM.在直角坐标系中，已知ABC的顶点坐标为A（0，0），B（1，2），C（0，3）.求ABC在矩阵对应的变换作用下所得到的图形的面积.解：因为，所以A（0，0），B（1，2），C（0，3）在矩阵对应的变换作用下所得到的三个顶点坐标分别为A（0，0），B（2，1），C（3，0）.故SABCAC|yB|.1. （2017南京、盐城模拟）设a，bR，若直线l：axy70在矩阵A对应的变换作用下，得到的直线为l：9xy910.求实数a，b的值.解：（解法1）取直线l：axy70上点A（0，7），B（1，7a）.因为，所以A（0，7），B（1，7a）在矩阵A对应的变换作用下分别得到点A（0，7b），B（3，b（7a）1）.由题意，知A，B在直线l：9xy910上，所以解得（解法2）设直线l上任意一点P（x，y），点P在矩阵A对应的变换作用下得到点Q（x，y）.因为，所以因为点Q（x，y）在直线l上，所以9xy910.即27x（xby）910，也即26xby910.又点P（x，y）在直线l上，所以有axy70.所以，解得a2，b13.2. 已知在矩阵A对应的变换作用下把点（1，1）变换成点（2，2）.（1） 求a，b的值，（2） 求曲线C：x2y21在矩阵A的变换作用下对应的曲线方程.解：（1） 由，得 （2） 设曲线C上任一点M（x0，y0）在矩阵A对应的变换作用下得到点M（x，y）， A， ，即 点M在曲线C上， 1.故所求曲线方程为x2xyy21.3. 已知a，bR，若在矩阵M所对应的变换作用下把直线2xy3变换成自身，试求实数a，b.解：设直线2xy3上任意一点A（x，y）在矩阵M对应的变换作用下得到点A0（x0，y0），则，得 2x0y03， 2（xay）（bx3y）3.即（2b）x（2a3）y3.此直线即为2xy3， 解得4. 二阶矩阵M对应的变换将点（1，1）与（2，1）分别变换成点（1，1）与（0，2）.设直线l在矩阵M对应的变换作用下得到了直线m：xy4，求l的方程.解：设M，则有，所以解得所以M.设直线l上任一点P（x，y）在矩阵M对应的变换作用下得到点P（x，y）.因为，所以又m：xy4，所以直线l的方程为（x2y）（3x4y）4，即xy20.1. 求曲线|x|y|1在矩阵M对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积.解：设点（x0，y0）为曲线|x|y|1上的任意一点，在矩阵M对应的变换作用下得到的点为（x，y），则，所以所以曲线|x|y|1在矩阵M对应的变换作用下得到的曲线为|x|3|y|1，所围成的图形为菱形，其面积为2.2. 已知直线l：axy1在矩阵A对应的变换作用下变为直线l：xby1.（1） 求实数a，b的值；（2） 若点P（x0，y0）在直线l上，且A，求点P的坐标.解： （1） 设直线l上一点（x，y）在矩阵A对应的变换作用下得点（x，y），则， 代入直线l，得2x（b3）y1， a2，b2.（2） 点P（x0，y0）在直线l上， 2x0y01.由，得 P.3. 设数列an，bn满足an12an3bn，bn12bn，且满足M，求二阶矩阵M.解： 依题设有，令A，则MA4，A2.MA4（A2）2.4. 已知直线l：axy0在矩阵A对应的变换作用下得到直线l，若直线l过点（1，1），求实数a的值.解：设P（x，y）为直线l上任意一点，在矩阵A对应的变换作用下变为直线l上的点P（x，y），则，即 代入axy0，整理，得（2a1）xay0.将点（1，1）代入上述方程，解得a1.几种特殊的变换反射变换：M：点的变换为（x，y）（x，y），变换前后关于x轴对称；M：点的变换为（x，y）（x，y），变换前后关于y轴对称；M：点的变换为（x，y）（x，y），变换前后关于原点对称；M：点的变换为（x，y）（y，x），变换前后关于直线yx对称.投影变换：M：将坐标平面上的点垂直投影到x轴上，点的变换为（x，y）（x，0）；M：将坐标平面上的点垂直投影到y轴上，点的变换为（x，y）（0，y）；M：将坐标平面上的点垂直于x轴方向投影到yx上，点的变换为（x，y）（x，x）；M：将坐标平面上的点平行于x轴方向投影到yx上，点的变换为（x，y）（y，y）；M：将坐标平面上的点垂直于yx方向投影到yx上，点的变换为（x，y）.第2课时逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与 特征向量（对应学生用书（理）194197页） 掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件，并能进行矩阵的运算. 会求二阶矩阵的特征值和特征向量，会利用特征值和特征向量进行矩阵运算. 理解逆矩阵的意义，掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件，并能进行矩阵的运算. 会求二阶矩阵的特征值和特征向量，会利用矩阵求解方程组，会利用特征值和特征向量进行矩阵运算.1. 设二阶矩阵A，B满足A1，BA，求B1.解： BBAA1，设B1，则，即， 解得 B1.2. 已知矩阵A，B，求矩阵A1B.解：设矩阵A的逆矩阵为，则，即，所以a1，bc0，d，从而矩阵A的逆矩阵为A1，所以A1B.3. 已知矩阵M的一个特征值为2，求M2.解：将2代入2（x1）（x5）0，得x3. 矩阵M， M2.4. 设是矩阵M的一个特征向量，求实数a的值.解：设是矩阵M属于特征值的一个特征向量，则，故解得5. 已知矩阵M的属于特征值8的一个特征向量是e，点P（1，2）在M对应的变换作用下得到点Q，求点Q的坐标.解：由题意知8，故解得 ， 点Q的坐标为（2，4）.1. 逆变换与逆矩阵（1） 对于二阶矩阵A，B，若有ABBAE，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵.（2） 若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且（AB）1B1A1.（3） 利用行列式解二元一次方程组.2. 特征值与特征向量（1） 设A是一个二阶矩阵，如果对于实数，存在一个非零向量，使A，那么称为A的一个特征值，而称为A的属于特征值的一个特征向量.（2） 从几何上看，特征向量经过矩阵A对应的变换作用后，与原向量保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变（0），或者方向相反（0）.特别地，当0时，特征向量就被变换成了零向量.,1求逆矩阵与逆变换),1)已知矩阵A，B.求矩阵C，使得ACB.解： 因为det（A）23115，所以A1.由ACB，得（A1A）CA1B，所以CA1B.变式训练 （2017常州期末）已知矩阵A，列向量X，B.若AXB，直接写出A1，并求出X.解：由A，得A1.由AXB，得XA1B.,2求特征值与特征向量),2)求矩阵的特征值及对应的特征向量.解：特征多项式f（）（3）21268.由f（）0，解得12，24.将12代入特征方程组，得xy0，可取为属于特征值12的一个特征向量.同理，当24时，由xy0，所以可取为属于特征值24的一个特征向量.综上所述，矩阵有两个特征值12，24；属于12的一个特征向量为，属于24的一个特征向量为.变式训练（2017苏北三市模拟）已知矩阵A，若A，求矩阵A的特征值.解： 因为A，所以 解得 所以A.所以矩阵A的特征多项式为f（）（2）（1）6234.令f（）0，解得矩阵A的特征值为11，24.,3根据特征值或特征向量求矩阵),3)已知矩阵A.若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为1，属于特征值1的一个特征向量为2，求矩阵A，并写出A的逆矩阵.解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为1，可得6，即cd6.由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为2，可得，即3c2d2.联立解得即A，所以A的逆矩阵是.已知二阶矩阵M有特征值3及对应的一个特征向量e1，并且在矩阵M对应的变换作用下将点（1，2）变换成（9，15），求矩阵M.解： 设M，则3，故，故联立以上两个方程组解得故M.,4特征值与特征向量的综合应用),4)已知矩阵A，向量，计算A5.解：因为f（）256.由f（）0，得2或3.当2时，对应的一个特征向量为1；当3时，对应的一个特征向量为2.设mn，解得所以A5225135.变式训练已知矩阵M的两个特征向量1，2.若，求M2.解：设矩阵M的特征向量1对应的特征值为1，特征向量2对应的特征值为2，则由可解得又2122，所以M2M2（122）12242.1. （2017苏州期初）已知为矩阵A属于的一个特征向量，求实数a，的值及A2.解：由条件可知，所以解得因此A，所以A2.2. （2017苏州期中）已知二阶矩阵M有特征值8及对应的一个特征向量e1，并且矩阵M将点（1，3）变换为（0，8）.（1） 求矩阵M；（2） 求曲线x3y20在矩阵M对应的变换作用下的新曲线方程.解：（1） 设M，由8及，得解得 M.（2） 设原曲线上任一点P（x，y）在矩阵M对应的变换作用下的对应点为P（x，y），则，即解得代入x3y20并整理得x2y40，即曲线x3y20在矩阵M对应的变换作用下得到的新曲线方程为x2y40.3. （2017南京、盐城期末）设矩阵M的一个特征值对应的一个特征向量为，求实数m与的值.解：由题意得，则解得4. （2017无锡期末）已知变换T将平面内的点，（0，1）分别变换成点，.设变换T对应的矩阵为M.（1） 求矩阵M；（2） 求矩阵M的特征值.解：（1） 设M，则，得a3，b，c4，d4， M.（2） 设矩阵M的特征多项式为f（）， f（）（3）（4）6276.令f（）0，则11，26.1. 已知a，b是实数，如果矩阵A所对应的变换T把点（2，3）变成点（3，4）.（1） 求a，b的值；（2） 若矩阵A的逆矩阵为B，求B2.解：（1） 由题意，得，故解得（2） 由（1），得A.由矩阵的逆矩阵公式得B.所以B2.2. （2017南通、泰州模拟）设矩阵A满足：A，求矩阵A的逆矩阵A1.解：（解法1）设矩阵A，则，所以a1，2a6b2，c0，2c6d3.解得b0，d，所以A.根据逆矩阵公式得A1.（解法2）在A两边同时左乘逆矩阵A1，得A1.设A1，则，所以a1，2a3b2，c0，2c3d6.解得a1，b0，c0，d2，从而A1.3. 已知矩阵M，求逆矩阵M1的特征值.解：设M1，则MM1，所以，所以解得所以M1.M1的特征多项式为f（）（1），令f（）0，解得1或.所以矩阵M的逆矩阵M1的特征值为1和.4. 已知矩阵M，计算M6.解：矩阵M的特征多项式为f（）223.令f（）0，解得13，21，对应的一个特征向量分别为1，2.令m1n2，得m4，n3.M6M6（4132）4（M61）3（M62）4363（1）6.备课札记16
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