2020版高考数学一轮复习 第5章 数列 第2节 等差数列及其前n项和教学案 理（含解析）北师大版

第二节等差数列及其前n项和考纲传真1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系1等差数列(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列用符号表示为an1and(nN，d为常数)(2)等差中项：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项，即A.(3)等差数列的通项公式：ana1(n1)d，可推广为anam(nm) d(4)等差数列的前n项和公式：Snna1d2等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系(1)ana1(n1)d可化为andna1d的形式当d0时，an是关于n的一次函数；当d0时，数列为递增数列；当d0时，数列为递减数列(2)数列an是等差数列，且公差不为0SnAn2Bn(A，B为常数)等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列an中，aman(mn)dd(mn)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN)，则akalaman.(2)和的性质：在等差数列an中，Sn为其前n项和，则S2nn(a1a2n)n(anan1)S2n1(2n1)an.基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()(3)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数()(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()答案(1)(2)(3)(4)2等差数列an中，a4a810，a106，则公差d等于()A. B C2 DAa4a82a610，a65，又a106，公差d.故选A.3(教材改编)设数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若a62且S530，则S8等于()A31 B32 C33 D34B设数列an的公差为d，法一：由S55a330得a36，又a62，S832.法二：由得S88a1d82832.4在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n8时Sn取得最大值，则d的取值范围为_由题意可知即解得1d.5(教材改编)在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_.180an为等差数列，a3a4a5a6a75a5450，a590，a2a82a5180.等差数列基本量的运算1若等差数列an的前5项和S525，且a23，则a7()A12 B13 C14 D15B由题意得S55a325，a35，公差da3a22，a7a25d35213.故选B2已知在等差数列an中，a120，an54，Sn3 700，则数列的公差d，项数n分别为()Ad0.34，n100 Bd0.34，n99Cd，n100 Dd，n99C由得解得故选C.3(2018宁德二模)已知等差数列an满足a3a514，a2a633，则a1a7()A33 B16 C13 D12C由得解得或当a11，d2时，a716213，a1a713；当a113，d2时，a7136(2)1，a1a713.综上可知a1a713.故选C.4(2018西宁一模)我国古代数学名著九章算术均输中记载了这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种重量单位)这个问题中，等差数列的通项公式为()An(nN*，n5)Bn(nN*，n5)C.n(nN*，n5)Dn(nN*，n5)D由题意可设五人所得依次对应等差数列中的a1，a2，a3，a4，a5，公差为d，则通项公式为an(n1)n(nN*，n5)，故选D规律方法解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程等差数列的判定与证明【例1】数列an满足an1，a11.(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列的前n项和Sn，并证明.解(1)证明：an1，化简得2，即2，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列(2)由(1)知2n1，所以Snn2.证明：1.规律方法等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an1anan2.(3)通项公式法：得出anpnq后，再根据定义判定数列an为等差数列(4)前n项和公式法：得出SnAn2Bn后，再使用定义法证明数列an为等差数列 已知数列an满足a11，且nan1(n1)an2n22n.(1)求a2，a3；(2)证明数列是等差数列，并求an的通项公式解(1)由已知，得a22a14，则a22a14，又a11，所以a26.由2a33a212，得2a3123a2，所以a315.(2)由已知nan1(n1)an2n(n1)，得2，即2，所以数列是首项1，公差d2的等差数列则12(n1)2n1，所以an2n2n.等差数列的性质及应用【例2】(1)设数列an，bn都是等差数列，且a125，b175，a2b2100，则a37b37等于()A0B37C100D37(2)(2019商洛模拟)等差数列an中，a13a8a15120，则2a9a10的值是()A20 B22 C24 D8(3)设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于()A63 B45 C36 D27(1)C(2)C(3)B(1)设an，bn的公差分别为d1，d2，则(an1bn1)(anbn)(an1an)(bn1bn)d1d2，所以anbn为等差数列又a1b1a2b2100，所以anbn为常数列，所以a37b37100.(2)因为a13a8a155a8120，所以a824，所以2a9a10a10a8a10a824.(3)由an是等差数列，得S3，S6S3，S9S6为等差数列即2(S6S3)S3(S9S6)，得到S9S62S63S345.规律方法等差数列的常用性质和结论(1)在等差数列an中，若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则amanapaq2ak.(2)在等差数列an中，数列Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列 (1)已知等差数列an的前n项和为Sn，若m1，且am1am1a10，S2m139，则m等于()A39 B20 C19 D10(2)设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的nN*，都有，则的值为()A. B C. D(1)B(2)C(1)数列an为等差数列，则am1am12am，则am1am1a10可化为2ama10，解得am1.又S2m1(2m1)am39，则m20.故选B(2)由题意可知b3b13b5b11b1b152b8，.故选C.等差数列前n项和的最值问题【例3】在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值解a120，S10S15，1020d1520d，d.法一：由an20(n1)n，得a130.即当n12时，an0，当n14时，an0.当n12或n13时，Sn取得最大值，且最大值为S12S131220130.法二：Sn20nn2n2.nN*，当n12或n13时，Sn有最大值，且最大值为S12S13130.法三：由S10S15，得a11a12a13a14a150.5a130，即a130.当n12或n13时，Sn有最大值，且最大值为S12S13130.规律方法求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Snan2bn，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解(2)邻项变号法当a10，d0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；当a10时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.易错警示：易忽视nN. (1)设数列an是公差d0的等差数列，Sn为其前n项和，若S65a110d，则Sn取最大值时，n的值为()A5 B6 C5或6 D11(2)已知等差数列an的首项a120，公差d2，则前n项和Sn的最大值为_(1)C(2)110(1)由题意得S66a115d5a110d，化简得a15d，所以a60，故当n5或6时，Sn最大(2)因为等差数列an的首项a120，公差d2，Snna1d20n2n221n22，又因为nN*，所以n10或n11时，Sn取得最大值，最大值为110.1(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若3S3S2S4，a12，则a5()A12B10C10D12B设等差数列an的公差为d，3S3S2S4，32a1d4a1d，解得da1，a12，d3，a5a14d24(3)10.故选B2(2017全国卷)等差数列an的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为()A24 B3 C3 D8A由已知条件可得a11，d0，由aa2a6可得(12d)2(1d)(15d)，解得d2.所以S66124.故选A.3(2016全国卷)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100()A100 B99 C98 D97Can是等差数列，设其公差为d，S99a527，a53.又a108，a100a199d199198.故选C.4(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和，已知a17，S315.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值解(1)设an的公差为d，由题意得3a13d15.由a17得d2.所以an的通项公式为an2n9.(2)由(1)得Snn28n(n4)216.所以当n4时，Sn取得最小值，最小值为16.- 8 -