2020版高考数学一轮复习 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第1节 平面向量的概念及线性运算教学案 理（含解析）北师大版

第一节平面向量的概念及线性运算考纲传真1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于1个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共线向量规定：0与任一向量平行(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0( a)() a；()aa a；(ab)ab3.共线向量定理a是一个非零向量，若存在一个实数，使得ba，则向量b与a共线1若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则()2.(，为实数)，若点A，B，C共线，则1.3一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即An1An，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量4与非零向量a共线的单位向量为.基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反()(2)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上()(3)若ab，bc，则ac.()(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立()答案(1)(2)(3)(4)2化简得()A.BC.D0D()0，故选D3(教材改编)如图，ABCD的对角线交于点M，若a，b，用a，b表示为()A.abBabCabDabD由题意可知ba，又2，(ba)ba，故选D4如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式错误的是()A. BC. DD向量具有大小和方向两个要素，故，所以D错误，故选D5已知a与b是两个不共线向量，且向量ab与(b3a)共线，则_.由已知得abk(b3a)，得平面向量的概念1给出下列命题：两个具有公共终点的向量一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；若a0(为实数)，则必为零；已知，为实数，若ab，则a与b共线其中正确命题的个数为()A1B2C3D4A错误两向量共线要看其方向而不是起点与终点正确因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小错误当a0时，无论为何值，a0.错误当0时，ab，此时，a与b可以是任意向量2给出下列命题：若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若|a|b|，则ab或ab；若A，B，C，D是不共线的四点，且，则ABCD为平行四边形；ab的充要条件是|a|b|且ab；其中真命题的序号是_错误两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点错误|a|b|，但a，b方向不确定，所以a，b不一定相等或相反正确因为，所以|且；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形错误当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，所以|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件规律方法(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，不要与线段的共线、平行混为一谈.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图像的移动混为一谈.平面向量的线性运算【例1】(1)(2018全国卷)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则()A. BC. D(2)(2019枣庄模拟)设D为ABC所在平面内一点，若(R)，则()A2 B3 C2 D3(3)在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_；y_.(1)A(2)D(3)(1)()，故选A.(2)由可知()，又，解得3，故选D(3)()xy，x，y.规律方法向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解 (1)(2019山西师大附中模拟)在ABC中，P是直线BN上一点，若m，则实数m的值为()A4 B1 C1 D4(2)(2019皖南八校联考)如图，在直角梯形ABCD中，AB2AD2DC，E为BC边上一点，3，F为AE的中点，则()A.BCD(1)B(2)B(1)，5.又m，m2，由B，P，N三点共线可知，m21，m1.(2)根据平面向量的运算法则得，.因为，所以，故选B向量共线定理及其应用【例2】设两个非零向量a与b不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线解(1)证明：ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，共线，又它们有公共点B，A，B，D三点共线(2)kab和akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb，(k)a(k1) Ba，b是两个不共线的非零向量，kk10，k210，k1.母题探究若将本例(1)中“2a8b”改为“amb”，则m为何值时，A，B，D三点共线？解(amb)3(ab)4a(m3)b，即4a(m3)b若A，B，D三点共线，则存在实数，使.即4a(m3)b(ab)解得m7.故当m7时，A，B，D三点共线规律方法共线向量定理的三个应用(1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数，使ab，则a与b共线(2)证明三点共线：若存在实数，使，则A，B，C三点共线(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值易错警示：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点 (1)已知向量e1与e2不共线，且向量e1me2，ne1e2，若A，B，C三点共线，则实数m，n满足的条件是()Amn1 Bmn1Cmn1 Dmn1(2)经过OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设m，n，m，nR，则的值为_(1)A(2)3(1)因为A，B，C三点共线，所以一定存在一个确定的实数，使得，所以有e1me2ne1e2，由此可得所以mn1.(2)设a，b，则(ab)，nbma，(ab)maaB由P，G，Q共线得，存在实数使得，即nbmaab，从而消去，得3.1(2015全国卷)设D为ABC所在平面内一点，3，则()A.BC.DA以，为基底利用向量的加减运算和平面向量基本定理求解().故选A.2(2015全国卷)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.ab与a2b平行，abt(a2b)，即abta2tb，解得- 9 -