2019年高考数学 考纲解读与热点难点突破 专题14 空间中的平行与垂直教学案 文（含解析）

空间中的平行与垂直【2019年高考考纲解读】1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面平行和垂直的判定定理与性质定理对命题的真假进行判断，属于基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系的交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中档【重点、难点剖析】 1直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a，b，aba.(2)线面平行的性质定理：a，a，bab.(3)面面平行的判定定理：a，b，abP，a，b.(4)面面平行的性质定理：，a，bab.2平行关系的转化两平面平行问题常常可以转化为直线与平面的平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以要注意转化思想的应用，以下为三种平行关系的转化示意图3直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m，n，mnP，lm，lnl.(2)线面垂直的性质定理：a，bab.(3)面面垂直的判定定理：a，a. (2)如图，平面与平面相交于BC，AB，CD，点ABC，点DBC，则下列叙述错误的是()A直线AD与BC是异面直线B过AD只能作一个平面与BC平行C过AD只能作一个平面与BC垂直D过D只能作唯一平面与BC垂直，但过D可作无数个平面与BC平行答案C解析由异面直线的判定定理得直线AD与BC是异面直线；在平面内仅有一条直线过点D且与BC平行，这条直线与AD确定一个平面与BC平行，即过AD只能作一个平面与BC平行；若AD垂直于平面，则过AD的平面都与BC垂直，因此C错；过D只能作唯一平面与BC垂直，但过D可作无数个平面与BC平行题型二空间平行、垂直关系的证明例2. (2018全国)如图，在三棱锥PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O为AC的中点(1)证明：PO平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC2MB，求点C到平面POM的距离(1)证明因为PAPCAC4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP2.如图，连接OB.因为ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形，所以OBAC，OBAC2.由OP2OB2PB2知POOB.因为OPOB，OPAC，OBACO，OB，AC平面ABC，所以PO平面ABC.(2)解作CHOM，垂足为H，又由(1)可得OPCH，因为OMOPO，OM，OP平面POM，所以CH平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离由题意可知OCAC2，CMBC，ACB45，所以在OMC中，由余弦定理可得，OM，CH.所以点C到平面POM的距离为.【变式探究】(1)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAB平面ABCD，点E是PD的中点，棱PA与平面BCE交于点F.求证：ADEF；若PAB是正三角形，求三棱锥PBEF的体积证明因为底面ABCD是边长为2的正方形，所以BCAD.又因为BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC平面PAD.又因为B，C，E，F四点共面，且平面BCEF平面PADEF，所以BCEF.又因为BCAD，所以ADEF.解由知，ADEF，点E是PD的中点，所以点F为PA的中点，EFAD1.又因为平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，ADAB，所以AD平面PAB，所以EF平面PAB.又因为PAB是正三角形，所以PAPBAB2，所以SPBFSPBA.又EF1，所以VPBEFVEPBF1.故三棱锥PBEF的体积为.(2)(2018北京)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F分别为AD，PB的中点求证：PEBC；求证：平面PAB平面PCD；求证：EF平面PCD.证明因为PAPD，E为AD的中点，所以PEAD.因为底面ABCD为矩形，所以BCAD，所以PEBC.如图，取PC的中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FGBC，FGBC，因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DEBC，DEBC.所以DEFG，DEFG.所以四边形DEFG为平行四边形，所以EFDG.又因为EF平面PCD，DG平面PCD，所以EF平面PCD.【感悟提升】垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证明线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换(2)证明线线垂直常用的方法：利用等腰三角形底边中线即高线的性质；勾股定理；线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可，l，ala.【变式探究】(2018全国)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点(1)证明：平面AMD平面BMC.(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC平面PBD？说明理由(1)证明由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD.因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，又DM平面CMD，故BCDM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM.又BCCMC，BC，CM平面BMC，所以DM平面BMC.又DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.(2)解当P为AM的中点时，MC平面PBD.证明如下：连接AC，BD，交于点O.因为ABCD为矩形，所以O为AC的中点连接OP，因为P为AM的中点，所以MCOP.又MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC平面PBD.题型三平面图形的翻折问题平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化，有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是解决翻折问题的主要方法例3、如图1，已知菱形AECD的对角线AC，DE交于点F，点E为AB中点将ADE沿线段DE折起到PDE的位置，如图2所示(1)求证：DE平面PCF；(2)求证：平面PBC平面PCF；(3)在线段PD，BC上是否分别存在点M，N，使得平面CFM平面PEN？若存在，请指出点M，N的位置，并证明；若不存在，请说明理由(1)证明折叠前，因为四边形AECD为菱形，所以ACDE，所以折叠后，DEPF，DECF，又PFCFF，PF，CF平面PCF，所以DE平面PCF.(2)证明因为四边形AECD为菱形，所以DCAE，DCAE.又点E为AB的中点，所以DCEB，DCEB，所以四边形DEBC为平行四边形，所以CBDE.又由(1)得，DE平面PCF，所以CB平面PCF.因为CB平面PBC，所以平面PBC平面PCF.(3)解存在满足条件的点M，N，且M，N分别是PD和BC的中点如图，分别取PD和BC的中点M，N.连接EN，PN，MF，CM.因为四边形DEBC为平行四边形，所以EFCN，EFBCCN，所以四边形ENCF为平行四边形，所以FCEN.在PDE中，M，F分别为PD，DE的中点，所以MFPE.又EN，PE平面PEN，PEENE，MF，CF平面CFM，MFCFF，所以平面CFM平面PEN.【感悟提升】(1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口(2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾则否定假设，否则给出肯定结论【变式探究】如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，BDDC，点E是BC边的中点，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图所示的空间几何体(1)求证：AB平面ADC；(2)若AD1，AB，求点B到平面ADE的距离(1)证明因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，又BDDC，DC平面BCD，所以DC平面ABD. 因为AB平面ABD，所以DCAB.又ADAB，DCADD，AD，DC平面ADC，所以AB平面ADC.所以SADE1 .因为DC平面ABD，所以VABCDCDSABD.设点B到平面ADE的距离为d， 则dSADEVBADEVABDEVABCD，所以d，即点B到平面ADE的距离为.9