2020版高考数学一轮复习 高考大题增分课2 三角函数与解三角形中的高考热点问题教学案 理（含解析）北师大版

高考大题增分课命题解读从近五年全国卷高考试题来看，解答题第17题交替考查解三角形与数列，本专题的热点题型有：一是考查解三角形；二是解三角形与三角恒等变换的交汇问题；三是平面几何图形中的度量问题；四是三角形中的最值(范围)问题解三角形以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形面积或判断三角形形状，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式的应用【例1】(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin Acos A0，a2，b2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积解(1)由已知可得tan A，所以A.在ABC中，由余弦定理得284c24ccos，即c22c240，解得c6(舍去)，c4.(2)由题设可得CAD，所以BADBACCAD.故ABD面积与ACD面积的比值为1.又ABC的面积为42sinBAC2，所以ABD的面积为.规律方法1.正、余弦定理的选用解三角形时，如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到2与三角形面积有关问题的解题策略(1)求三角形的面积对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式(2)已知三角形的面积解三角形与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化 (2018郑州二模)ABC内接于半径为R的圆，a，b，c分别是A，B，C的对边，且2R(sin2Bsin2A)(bc)sin C，c3.(1)求A；(2)若AD是BC边上的中线，AD，求ABC的面积解(1)2R(sin2Bsin2A)(bc)sin C，由正弦定理得bsin Basin Absin Ccsin C，则b2a2bcc2.所以cos A，所以A60.(2)以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC，在ABE中，ABE120，AE，由余弦定理得AE2AB2BE22ABBEcos 120，即199AC223AC，解得AC2(舍负)故SABCbcsin A23.三角恒等变换与解三角形以三角形为载体，三角恒等变换与解三角形交汇命题，是近几年高考试题的一大亮点，主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的综合应用，求解的关键是根据题目提供的信息，恰当地实施边角互化【例2】(2017全国卷) ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(AC)8sin2.(1)求cos B；(2)若ac6，ABC的面积为2，求B解(1)由题设及ABC得sin B8sin2，故sin B4(1cos B)上式两边平方，整理得17cos2B32cos B150，解得cos B1(舍去)，cos B.(2)由cos B得sin B，故SABCacsin Bac.又SABC2，则ac.由余弦定理及ac6得b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)3624.所以b2.规律方法1.以三角形为载体，实质考查三角形中的边角转化，求解的关键是抓住边角间的关系，恰当选择正、余弦定理2解三角形常与三角变换交汇在一起(以解三角形的某一结论作为条件)，此时应首先确定三角形的边角关系，然后灵活运用三角函数的和、差、倍角公式化简转化 在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且(ac)2b23ac.(1)求角B的大小；(2)若b2，且sin Bsin(CA)2sin 2A，求ABC的面积解(1)由(ac)2b23ac，整理得a2c2b2ac，由余弦定理得cos B，0B，B.(2)在ABC中，ABC，即B(AC)，故sin Bsin(AC)，由已知sin Bsin(CA)2sin 2A可得sin(AC)sin(CA)2sin 2A，sin Acos Ccos Asin Csin Ccos Acos Csin A4sin Acos A，整理得cos Asin C2sin Acos A.若cos A0，则A，由b2，可得c，此时ABC的面积Sbc.若cos A0，则sin C2sin A，由正弦定理可知，c2a，代入a2c2b2ac，整理可得3a24，解得a，c，此时ABC的面积Sacsin B.综上所述，ABC的面积为.平面图形中的几何度量问题以四边形为载体，通过分割或补形构造新的三角形，其实质还是考查三角形中正、余弦定理的应用【例3】(本题满分12分)(2018全国卷)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求；(2)若.信息提取看到想到ADB；想到ADB中已知哪些量；想到如何应用正、余弦定理解三角形看到想到DBC；想到用余弦定理求BC.解(1)在ABD中，由正弦定理得.由题设知，2分所以sinADB.3分由题设知，ADB90，所以cosADB.6分(2)由题设及(1)知，cosBDCsinADB.8分在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcosBDC25825225. 11分所以BC5.12分易错与防范易错点防范措施想不到先求sinADB，再计算cosADB同角三角函数的基本关系：sin2cos21常作为隐含条件，必须熟记于心.求不出cosBDC.互余的两个角，满足sin cos .通性通法求解此类问题的突破口：一是观察所给的四边形的特征，正确分析已知图形中的边角关系，判断是用正弦定理，还是用余弦定理，求边或角；二是注意大边对大角在解三角形中的应用 如图，在ABC中，点D是边AC上一点，且AD2CD(1)若ABC90，ABAD2，求BD的长；(2)求证：.解(1)由题意，AC3，于是cos A.在ABD中，根据余弦定理可知BD2AB2AD22ABADcos A，所以BD.(2)证明：在ABD和CBD中分别使用正弦定理可得方程组由ADBCDB得sinADBsinCDB于是，结合AD2CD，将上面的两个方程相比可得，.三角形中的最值(范围)问题解三角形与其他知识相交汇问题，常与不等式、平面向量等知识相交汇，此类问题出现在解答题的第二问中，属于中档题，分值约为6分【例4】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcos Ccsin B(1)求B；(2)若b2，求ABC面积的最大值. 解(1)由已知及正弦定理得sin Asin Bcos Csin Csin B又A(BC)，故sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C由和C(0，)得sin Bcos B又B(0，)，所以B.(2)ABC的面积Sacsin Bac.由已知及余弦定理得4a2c22accos .又a2c22ac，故ac，当且仅当ac时，等号成立因此ABC面积的最大值为1.规律方法该类求解面积(周长)问题是建立面积(周长)的函数关系式或者使用基本不等式得出三角形两边之积的最大值，再根据三角形面积公式(或周长公式)求得最值 (2019长春质检)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bacos C.(1)求角A；(2)若3，求a的最小值解(1)由题意得，bacos C，由正弦定理知，sin Bsin Acos Csin C.ABC，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，sin Acos Ccos Asin Csin Acos Csin C，cos Asin Csin C，cos A，A.(2)由(1)及3得bc6，所以a2b2c22bccos Ab2c262bc66，当且仅当bc时取等号，所以a的最小值为.大题增分专训1(2018济南一模)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcos Aacos B2c.(1)证明：tan B3tan A；(2)若b2c2a2bc，且ABC的面积为，求a.解(1)证明：根据正弦定理，得sin Bcos Acos Bsin A2sin C2sin(AB)，即sin Bcos Acos Bsin A2(sin Bcos Acos Bsin A)，整理得sin Bcos A3cos Bsin A，tan B3tan A.(2)由已知得，b2c2a2bc，cos A，由0A，得A，tan A，tan B.由0B，得B，C，ac，由SABCacsin a2，得a2.2(2018合肥一模)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a2b)cos Cccos A0.(1)求角C；(2)若c2，求ABC周长的最大值解(1)根据正弦定理，由已知得(sin A2sin B)cos Csin Ccos A0，即sin Acos Csin Ccos A2sin Bcos C，sin(AC)2sin Bcos C，ACB，sin(AC)sin(B)sin B0，sin B2sin Bcos C，cos C.C(0，)，C.(2)由(1)及余弦定理得cos C，又c2，a2b212aB(ab)2123ab32，即(ab)248(当且仅当ab2时等号成立)ABC周长的最大值为6.3在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)若a2，SABC6，求b，c的值解(1)，由正弦定理可得：，sin Acos B2sin Ccos Asin Bcos A，sin Acos Bsin Bcos A2sin Ccos A.即sin C2sin Ccos A.又sin C0，cos A.又A(0，)，A.(2)SABCbcsin Abc6，bc24，又cos A，整理得：(bc)2100，又bc0，bc10.联立解得：或- 9 -