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第二节基本不等式考纲传真1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题1基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数2两个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号(2)ab2(a，bR)，当且仅当ab时取等号3利用基本不等式求最值已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值s，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大)1.2(a，b同号)，当且仅当ab时取等号2ab2.3.(a0，b0)基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个不等式a2b22ab与成立的条件是相同的()(2)函数yx的最小值是2.()(3)函数f(x)sin x，x(0，)的最小值为4.()(4)x0且y0是2的充要条件()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A80B77C81D82Cx0，y0，即xy281，当且仅当xy9时，(xy)max81.3若直线1(a0，b0)过点(1,1)，则ab的最小值等于()A2 B3 C4 D5C由题意得1.又a0，b0，ab(ab)2224.当且仅当，即ab2时等号成立，故选C.4若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a等于()A1 B1C3 D4C当x2时，x20，f(x)(x2)2224，当且仅当x2(x2)，即x3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x3，即a3，选C.5(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_m2.25设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y，则另一边为(202x)(10x)m，则yx(10x)225，当且仅当x10x，即x5时，ymax25.利用基本不等式求最值考法1配凑法求最值【例1】(1)设0x2，则函数y的最大值为()A2BC.D(2)若x，则f(x)4x2的最大值为_(1)D(2)1(1)0x2，42x0，x(42x)2x(42x)242.当且仅当2x42x，即x1时等号成立即函数y的最大值为.(2)因为x，所以54x0，则f(x)4x2323231.当且仅当54x，即x1时，等号成立故f(x)4x2的最大值为1.考法2常数代换法求最值【例2】已知x0，y0，且2x8yxy0，求：(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解(1)由2x8yxy0，得1，又x0，y0，则12 ，得xy64，当且仅当x4y，即x16，y4时等号成立故xy的最小值为64.(2)法一：(消元法)由2x8yxy0，得x，因为x0，y0，所以y2，则xyy(y2)1018，当且仅当y2，即y6，x12时等号成立故xy的最小值为18.法二：(常数代换法)由2x8yxy0，得1，则xy(xy)10102 18，当且仅当y6，x12时等号成立，故xy的最小值为18.规律方法(1)利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式(2)常数代换法主要解决形如“已知xyt(t为常数)，求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值注意：应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等” (1)已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为_(2)(2019皖南八校联考)函数yloga(x4)1(a0，a1)的图像恒过定点A，若点A在直线1上，且m0，n0，则3mn的最小值为()A13 B16C116 D28(1)6(2)B(1)x0，y0，x3yxy9，9(x3y)xyx3y2，当且仅当x3y时，等号成立，由因为x0，y0，计算得出x3y的最小值为6.(2)函数yloga(x4)1(a0，a1)的图像恒过A(3，1)，由点A在直线1上可得，1，即1，故3mn(3mn)103，因为m0，n0，所以22(当且仅当，即mn时取等号)，故3mn103103216，故选B利用基本不等式解决实际问题【例3】随着社会的发展，汽车逐步成为人们的代步工具，家庭轿车的持有量逐年上升，交通堵塞现象时有发生，据调查某段公路在某时段内的车流量y(单位：千辆/时)与汽车的平均速度v(单位：千米/时)之间有函数关系：y(v0)(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量约为多少？(结果保留两位小数)(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？解(1)由题知，v0，则y，当且仅当v，即v40时取等号所以ymax10.23.故当v40时，车流量y最大，最大约为10.23千辆/时(2)由y10，得1，即90vv28v1 600，整理得v282v1 6000，即(v32)(v50)0，解得32v50.所以为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时，汽车的平均速度应大于等于32千米/时且小于等于50千米/时规律方法解实际应用题的三个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是()A80元 B120元 C160元 D240元C设底面相邻两边的边长分别为x m，y m，总造价为T元，则xy14xy4.T420(2x2y)1108020(xy)8020280204160(当且仅当xy时取等号)故该容器的最低总造价是160元基本不等式的综合应用【例4】(1)已知a0，b0，若不等式恒成立，则m的最大值为()A9 B12 C18 D24(2)设等差数列an的公差是d，其前n项和是Sn(nN*)，若a1d1，则的最小值是_(1)B(2)(1)由，得m(a3b)6.又62612(当且仅当，即a3b时等号成立)，m12，m的最大值为12.(2)ana1(n1)dn，Sn，当且仅当n4时取等号的最小值是. (1)当xR时，32x(k1)3x20恒成立，则k的取值范围是()A(，1)B(，21)C(1,21) D(21,21)(2)已知函数f(x)|lg x|，ab0，f(a)f(b)，则的最小值等于_(1)B(2)2(1)由32x(k1)3x20，解得k13x.3x0，3x2(当且仅当3x，即xlog3时，等号成立)，3x的最小值为2.又当xR时，32x(k1)3x20恒成立，当xR时，k1min，即k12，即k21.(2)由f(x)|lg x|，且f(a)f(b)可知|lg a|lg b|，又ab0，lg alg b，即lg ab0，ab1.(ab)2，当且仅当ab时等号成立，的最小值为2.- 8 -
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