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第二节两条直线的位置关系考纲传真1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2k1k21.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1l2.2两条直线的交点的求法直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解3三种距离公式(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|.特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|.(2)点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.(3)两条平行线AxByC10与AxByC20间的距离为d.常用结论1与直线AxByC0(A2B20)垂直或平行的直线系方程可设为：(1)垂直：BxAym0；(2)平行：AxByn0.2与对称问题相关的两个结论(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P(2ax0,2by0)(2)设点P(x0，y0)关于直线ykxb的对称点为P(x，y)，则有可求出x，y.基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为.()(4)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)直线l过点(1,2)且与直线2x3y40垂直，则直线l的方程是()A3x2y10B3x2y70C2x3y50D2x3y80A设l的方程为3x2ym0，又直线l过点(1,2)，则34m0，m1.l的方程为3x2y10，故选A.3(教材改编)已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a等于()A.B2C.1 D.1C由题意得1，即|a1|，又a0，a1.4(教材改编)过两直线l1：x3y40和l2：2xy50的交点和原点的直线方程为_3x19y0由得故过点(0,0)和的直线方程为3x19y0.5已知直线3x4y30与直线6xmy140平行，则它们之间的距离是_2由两直线平行可知，即m8.两直线方程分别为3x4y30和3x4y70，则它们之间的距离d2.两条直线的位置关系1设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件A当a1时，显然l1l2，若l1l2，则a(a1)210，所以a1或a2.所以a1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件2若直线l1：(a1)xy10和直线l2：3xay20垂直，则实数a的值为()A. B.C. D.D由已知得3(a1)a0，解得a.3已知三条直线l1：2x3y10，l2：4x3y50，l3：mxy10不能构成三角形，则实数m的取值集合为()A. B.C. D.D三条直线不能围成一个三角形，当l1l3时，m；当l2l3时，m；当l1，l2，l3交于一点时，也不能围成一个三角形，由得交点为，代入mxy10，得m.故选D.规律方法1.讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在.2.“直线A1xB1yC10，A2xB2yC20平行”的充要条件是“A1B2A2B1且A1C2A2C1”，“两直线垂直”的充要条件是“A1A2B1B20”.两条直线的交点与距离问题【例1】 (1)若点P是曲线yx2ln x上任意一点，则点P到直线yx2的最小距离为()A. B1C. D2 (2)直线l过点P(1,2)且到点A(2,3)和点B(4,5)的距离相等，则直线l的方程为_(1)C(2)x3y50或x1(1)因为点P是曲线yx2ln x上任意一点，所以当点P处的切线和直线yx2平行时，点P到直线yx2的距离最小因为直线yx2的斜率等于1，曲线yx2ln x的导数y2x，令y1，可得x1或x(舍去)，所以在曲线yx2ln x上与直线yx2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，所以点P到直线yx2的最小距离为，故选C.(2)法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由题意知，即|3k1|3k3|，k，直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意法二：当ABl时，有kkAB，直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当l过AB中点时，AB的中点为(1,4)，直线l的方程为x1.故所求直线l的方程为x3y50或x1.规律方法1.求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.2.处理距离问题的两大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求.(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上，从而简化计算. (1)经过两条直线l1：xy40和l2：xy20的交点，且与直线2xy10垂直的直线方程为_(2)若动点A，B分别在直线l1：xy70和l2：xy50上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A3 B2C3 D4(1)x2y70(2)A(1)由得l1与l2的交点坐标为(1,3)设与直线2xy10垂直的直线方程为x2yc0，则123c0，c7.所求直线方程为x2y70.(2)依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：xy70和l2：xy50距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离设点M所在直线的方程为l：xym0，根据平行线间的距离公式得|m7|m5|m6，即l：xy60.根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为3.对称问题【例2】已知直线l：2x3y10，点A(1，2)求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)直线l关于点A对称的直线l的方程解(1)设A(x，y)，则解得即A.(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点必在m上设对称点为M(a，b)，则解得即M.设m与l的交点为N，则由得N(4,3)又m经过点N(4,3)，由两点式得直线m的方程为9x46y1020.(3)法一：在l：2x3y10上任取两点，如P(1,1)，N(4,3)，则P，N关于点A的对称点P，N均在直线l上易知P(3，5)，N(6，7)，由两点式可得l的方程为2x3y90.法二：设Q(x，y)为l上任意一点，则Q(x，y)关于点A(1，2)的对称点为Q(2x，4y)，Q在直线l上，2(2x)3(4y)10，即2x3y90.规律方法常见对称问题的求解方法(1)中心对称点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P(x，y)满足直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.(2)轴对称点A(a，b)关于直线AxByC0(B0)的对称点A(m，n)，则有直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决. (1)已知直线y2x是ABC中角C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(4,2)，(3,1)，则点C的坐标为()A(2,4) B(2，4)C(2,4) D(2，4)(2)已知入射光线经过点M(3,4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_(1)C(2)6xy60(1)设A(4,2)关于直线y2x的对称点为(x，y)，则解得BC所在直线方程为y1(x3)，即3xy100.联立解得则C(2,4)(2)设点M(3,4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)，则反射光线所在直线过点M，所以解得a1，b0.即M (1,0)又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为，即6xy60.- 6 -
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