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第六节双曲线考纲传真1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用1双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|2c0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a0，c0.当2a|F1F2|时，M点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1 (a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)实、虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2a2b2(ca0，cb0)3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为yx，离心率为e.常用结论1双曲线1(a0，b0)中，过焦点垂直于实轴所在直线的弦长为.2双曲线的焦点到渐近线的距离等于其虚半轴长3已知双曲线(a0，b0，0)，求其渐近线的方程，只需把改写为0整理即可基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线()(2)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(3)双曲线(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()答案(1)(2)(3)(4)2双曲线3x2y21的渐近线方程是()Ay3xByxCyx DyxC由3x2y20得yx.故选C.3(教材改编)若双曲线1(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A. B5C. D2A由题意可知b2a，e，故选A.4若双曲线E：1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|等于()A11 B9C5 D3B由题意知a3，b4，c5.由双曲线的定义|PF1|PF2|3|PF2|2a6，|PF2|9.5已知双曲线1(a0，b0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，则双曲线的方程为_y21由题意可得解得a2，b1，所以双曲线的方程为y21.双曲线的定义及其应用【例1】(1)已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_(2)已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cosF1PF2_.(1)x21(x1)(2)(1)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|.因为|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC1|2，所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a1，c3，则b28.故点M的轨迹方程为x21(x1)(2)因为由双曲线的定义有|PF1|PF2|PF2|2a2，所以|PF1|2|PF2|4，所以cosF1PF2.母题探究(1)将本例(2)中的条件“|PF1|2|PF2|”改为“F1PF260”，则F1PF2的面积是多少？(2)将本例(2)中的条件“|PF1|2|PF2|”改为“0”，则F1PF2的面积是多少？解(1)不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a2，在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF2，|PF1|PF2|8，SF1PF2|PF1|PF2|sin 602.(2)不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a2，0，在F1PF2中，有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即|PF1|2|PF2|216，|PF1|PF2|4，SF1PF2|PF1|PF2|2.规律方法1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；2在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立与|PF1|PF2|的联系 (1)方程12的化简结果为()A.1B.1C.1(x0) D.1(x0)(2)设P是双曲线1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|9，则|PF2|等于_(1)C(2)17(1)设F1(10,0)，F2(10,0)，动点P(x，y)，则由题意可知|PF1|PF2|12，又|F1F2|20，动点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支又2a12,2c20，a6，c10，b8.即所求方程为1(x0)(2)由题意知|PF1|9ac10，所以P点在双曲线的右支，则有|PF2|PF1|2a8，故|PF2|PF1|817.双曲线的标准方程【例2】(1)(2018天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d26，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1(2)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程是()A.1 B.1Cx21 D.1(1)C(2)C(1)由d1d26，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b3.因为双曲线1(a0，b0)的离心率为2，所以2，所以4，所以4，解得a23，所以双曲线的方程为1，故选C.(2)因为双曲线的渐近线方程为yx, 即x.所以可设双曲线的方程是x2(0)，将点(2,3)代入，得1，所以该双曲线的标准方程为x21，故选C.规律方法求双曲线标准方程的主要方法(1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a2，b2，得双曲线方程.(2)待定系数法：即“先定位，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论.(1)(2017全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则C的方程为()A.1B.1C.1 D.1(2)已知点A(1,0)，B(1,0)为双曲线1(a0，b0)的左、右顶点，点M在双曲线上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则该双曲线的标准方程为()Ax21 Bx21Cx21 Dx2y21(1)B(2)D(1)由yx可得.由椭圆1的焦点为(3,0)，(3,0)，可得a2b29.由可得a24，b25.所以C的方程为1.故选B.(2)由题意知a1.不妨设点M在第一象限，则由题意有|AB|BM|2，ABM120.过点M作MNx轴于点N，则|BN|1，|MN|，所以M(2，)，代入双曲线方程得41，解得b1，所以双曲线的方程为x2y21，故选D.双曲线的几何性质考法1双曲线的离心率问题【例3】(2018广州一模)如图，在梯形ABCD中，已知|AB|2|CD|，双曲线过C，D，E三点，且以A，B为焦点，则双曲线的离心率为()A. B2C3 D.A如图，以AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则由梯形的性质与双曲线的对称性知C，D关于y轴对称设A(c,0)，则B(c,0)，C(其中h为梯形的高)，因为，所以xEc，yEh.设双曲线的方程为1(a0，b0)，因为点C，E在双曲线上，则解得7，所以双曲线的离心率e，故选A.考法2双曲线的渐近线问题【例4】(2019福州模拟)过双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为8b，则该双曲线的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dy2xA由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为8b，所以菱形的边长为2b，由勾股定理得4条直线与y轴的交点到x轴的距离为，又4条直线分别与两条渐近线平行，所以，解得ab，所以该双曲线的渐近线的斜率为1，所以该双曲线的渐近线方程为yx，故选A.考法3双曲线几何性质的综合应用【例5】(1)(2019福州模拟)已知双曲线1与直线y2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为()A(1，) B(1，C(，) D，)(2)已知双曲线C1：y21，双曲线C2：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线C2的一条渐近线上，且OMMF2(O为坐标原点)，若SOMF216，且双曲线C1，C2的离心率相同，则双曲线C2的实轴长为()A32 B16C8 D4(1)C(2)B(1)双曲线的一条渐近线方程为yx，则由题意，得2，e，即双曲线离心率的取值范围为(，)(2)双曲线C1：y21的离心率为，设F2(c,0)，双曲线C2的一条渐近线方程为yx，可得|MF2|b，|OM|a.由SOMF216，可得ab16，即ab32.又a2b2c2，且，得a8，b4，c4，所以双曲线C2的实轴长为16.规律方法与双曲线几何性质有关问题的解题策略(1)求双曲线的离心率(或范围).依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得.(2)求双曲线的渐近线方程.依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程. (1)(2019海口模拟)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线与圆(x2)2(y1)21相切，则C的离心率为()A. B.C. D.(2)若实数k满足0k9，则曲线1与曲线1的()A焦距相等 B实半轴长相等C虚半轴长相等 D离心率相等(3)已知双曲线C1，C2的焦点分别在x轴、y轴上，渐近线方程为yx(a0)，离心率分别为e1，e2，则e1e2的最小值为_(1)B(2)A(3)2(1)双曲线C的渐近线方程为byax0，与圆相切的只能是直线byax0，则1，化简得3a4b，所以9a216b216(c2a2)，e2，故e，故选B.(2)0k9，9k0,25k0.1与1均表示双曲线，又25(9k)34k(25k)9，它们的焦距相等，故选A.(3)e1e22，当且仅当a1时取等号，故e1e2的最小值是2.1(2018全国卷)双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()AyxByxCyx DyxA法一：由题意知，e，所以ca，所以ba，所以，所以该双曲线的渐近线方程为yxx，故选A.法二：由e，得，所以该双曲线的渐近线方程为yxx，故选A.2.(2018全国卷)已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若OMN为直角三角形，则|MN|()A. B3C2 D4B因为双曲线y21的渐近线方程为yx，所以MON60.不妨设过点F的直线与直线yx交于点M，由OMN为直角三角形，不妨设OMN90，则MFO60，又直线MN过点F(2,0)，所以直线MN的方程为y(x2)，由得所以M，所以|OM|，所以|MN|OM|3，故选B.3(2016全国卷)已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A(1,3) B(1，)C(0,3) D(0，)A若双曲线的焦点在x轴上，则又(m2n)(3m2n)4，m21，1n3m2且n0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点若MAN60，则C的离心率为_如图，由题意知点A(a,0)，双曲线的一条渐近线l的方程为yx，即bxay0，点A到l的距离d.又MAN60，MANAb，MAN为等边三角形，dMAb，即b，a23b2，e.5(2015全国卷)已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)当APF周长最小时，该三角形的面积为_12由双曲线方程x21可知，a1，c3，故F(3,0)，F1(3,0)当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|PF1|2，所以|PF|PF1|2，从而APF的周长|AP|PF|AF|AP|PF1|2|AF|.因为|AF|15为定值，所以当(|AP|PF1|)最小时，APF的周长最小，由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)由题意可知直线AF1的方程为y2x6，由得y26y960，解得y2或y8(舍去)，所以SAPFSAF1FSPF1F666212.- 10 -
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