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第五节综合法、分析法、反证法、数学归纳法考纲传真1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点.2.了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程和特点.3.了解数学归纳法的原理.4.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题1综合法、分析法内容综合法分析法定义从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明我们把这样的思维方法称为综合法从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等我们把这样的思维方法称为分析法实质由因导果执果索因框图表示得到一个明显,成立的条件文字语言因为所以或由得要证只需证即证2.反证法(1)反证法的定义：在假定命题结论的反面成立的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题结论成立的方法叫反证法(2)反证法的证题步骤：作出否定结论的假设；进行推理，导出矛盾；否定假设，肯定结论3数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；(2)归纳递推：假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立上述证明方法叫做数学归纳法常用结论利用归纳假设的技巧在推证nk1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设此时既要看准目标，又要掌握nk与nk1之间的关系在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n1时结论成立 ()(2)综合法是直接证明，分析法是间接证明()(3)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(4)用反证法证明结论“ab”时，应假设“a0，b0，且ab.证明：(1)ab2；(2)a2a2与b2b0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2.(2)假设a2a2与b2b2同时成立，则由a2a0，得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾故a2a2与b2b2不可能同时成立规律方法用反证法证明问题的步骤(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾，矛盾可以是与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾(推导矛盾)(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立(命题成立) 设数列an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和(1)求证：数列Sn不是等比数列；(2)数列Sn是等差数列吗？为什么？解(1)证明：假设数列Sn是等比数列，则SS1S3，即a(1q)2a1a1(1qq2)，因为a10，所以(1q)21qq2，即q0，这与公比q0矛盾，所以数列Sn不是等比数列(2)当q1时，Snna1，故Sn是等差数列；当q1时，Sn不是等差数列假设Sn是等差数列，则2S2S1S3，即2a1(1q)a1a1(1qq2)，得q0，这与公比q0矛盾综上，当q1时，数列Sn是等差数列；当q1时，数列Sn不是等差数列数学归纳法的应用【例3】已知f(n)1，g(n)，nN*.(1)当n1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明解(1)当n1时，f(1)1，g(1)1，所以f(1)g(1)；当n2时，f(2)，g(2)，所以f(2)g(2)；当n3时，f(3)，g(3)，所以f(3)g(3)(2)由(1)猜想，f(n)g(n)，用数学归纳法证明当n1,2,3时，不等式显然成立假设当nk(k3，kN*)时不等式成立，即1，则当nk1时，f(k1)f(k).因为0，所以f(k1)g(k1)由可知，对一切nN*，都有f(n)g(n)成立规律方法1.应用数学归纳法证明不等式应注意的问题(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立，推证nk1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法2利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理论证结论的正确性 设数列an的前n项和为Sn，满足Sn2nan13n24n，nN*，且S315.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列an的通项公式解(1)由Sn2nan13n24n，得S24a320，S3S2a35a320.又S315，a37，S24a3208.S2S1a2(2a27)a23a27，a25，a1S12a273.综上知a13，a25，a37.(2)由(1)猜想an2n1(nN*)，以下用数学归纳法证明：当n1时，猜想显然成立；假设当nk(kN*，且k2)时，有ak2k1成立，则Sk357(2k1)kk(k2)又Sk2kak13k24k，k(k2)2kak13k24k，解得ak12k32(k1)1，即当nk1时，猜想成立由知，数列an的通项公式为an2n1(nN*)- 8 -
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