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第六节立体几何中的向量方法考纲传真能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用1异面直线的夹角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则a与b的夹角a，bl1与l2的夹角范围0a，b0关系cosa，bcos |cosa，b|2.直线与平面的夹角设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面的夹角为，则sin |cosa，n|.3二面角(1)如图，AB，CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，(2)如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos |cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)点到平面的距离如图所示，已知AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面的距离为|.基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)两直线的方向向量的夹角就是两条直线的夹角()(2)直线的方向向量和平面的法向量的夹角就是直线与平面所成的角()(3)两个平面的法向量的夹角是这两个平面所成的二面角()(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是0，()答案(1)(2)(3)(4)2已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为()A.BC.或 D或Cm(0,1,0)，n(0,1,1)，mn1，|m|1，|n|，cosm，n，m，n.两平面所成的二面角为或，故选C.3.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N夹角的余弦值为()A. BC. DA以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，如图，设AB2，则N(1,0,0)，D1(0,0,2)，M(1,1,0)，B1(2,2,2)，(1，1，2)，(1,0，2)，143，|，|，cos，0，B1M与D1N夹角的余弦值为.故选A.4已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n，则l与的夹角为_设l与所成的角为，则sin |cosm，n|，又，.5过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，若ABPA，则平面ABP与平面CDP所成的锐二面角为_45如图，建立空间直角坐标系，设ABPA1，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，由题意，AD平面PAB，设E为PD的中点，连接AE，则AEPD，又CD平面PAD，CDAE，从而AE平面PCD(0,1,0)，分别是平面PAB，平面PCD的法向量，且，45.故平面PAB与平面PCD所成的锐二面角为45.求异面直线的夹角1已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1夹角的余弦值为()A.BC. DC在平面ABC内过点B作AB的垂线，以B为原点，以该垂线，BA，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Bxyz，则A(0,2,0)，B1(0,0,1)，C，C1，(0，2,1)，cos，故选C.2.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB2，BAD60.(1)求证：BD平面PAC；(2)若PAAB，求PB与AC夹角的余弦值解(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD因为PA平面ABCD，所以PABD又因为ACPAA，所以BD平面PAC.(2)设ACBDO.因为BAD60，PAAB2，所以BO1，AOCO.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0，2)，A(0，0)，B(1,0,0)，C(0，0)所以(1，2)，(0,2，0)设PB与AC所成角为，则cos .即PB与AC夹角的余弦值为.规律方法用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线夹角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值求直线与平面的夹角【例1】(2018合肥一模)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF平面ABCD，DE平面ABCD，BFDE，M为棱AE的中点(1)求证：平面BDM平面EFC；(2)若DE2AB，求直线AE与平面BDM夹角的正弦值解(1)连接AC，交BD于点N，连接MN，则N为AC的中点，又M为AE的中点，MNEC.MN平面EFC，EC平面EFC，MN平面EFC.BF，DE都垂直底面 ABCD，BFDE.BFDE，四边形BDEF为平行四边形，BDEF.BD平面EFC，EF平面EFC，BD平面EFC.又MNBDN，平面BDM平面EFC.(2)DE平面ABCD，四边形ABCD是正方形，DA，DC，DE两两垂直，如图，建立空间直角坐标系Dxyz.设AB2，则DE4，从而D(0,0,0)，B(2,2,0)，M(1,0,2)，A( 2,0,0)，E(0,0,4)，(2,2,0)，(1,0,2)，设平面BDM的法向量为n(x，y，z)，则得令x2，则y2，z1，从而n(2，2，1)为平面BDM的一个法向量(2,0,4)，设直线AE与平面BDM所成的角为，则sin |cosn，|，直线AE与平面BDM夹角的正弦值为.规律方法利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA12，点P，Q分别为A1B1，BC的中点(1)求异面直线BP与AC1夹角的余弦值；(2)求直线CC1与平面AQC1夹角的正弦值解如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，连接OB，OO1，则OBOC，OO1OC，OO1OB，如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz.因为ABAA12，所以A(0，1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，1,2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)(1)因为P为A1B1的中点，所以P，从而，(0,2,2)，故|cos，|.因此，异面直线BP与AC1夹角的余弦值为.(2)因为Q为BC的中点，所以Q，因此，(0,2,2)，(0,0,2)设n(x，y，z)为平面AQC1的法向量，则即不妨取n(，1,1)设直线CC1与平面AQC1所成角为，则sin |cos，n|，所以直线CC1与平面AQC1夹角的正弦值为.求二面角【例2】(2018湖北二模)如图1，等腰直角三角形ABC的底边AB2，点D在线段AC上，DEAB于点E，现将ADE沿DE折起到PDE的位置(如图2) 图1图2(1)求证：PBDE；(2)若PEBE，直线PD与平面PBC的夹角为30，求平面PDE与平面PBC所成的锐二面角的正弦值解(1)证明：DEPE，DEBE，PEBEE，DE平面PBE，又PB平面PBE，PBDE.(2)由题知DEPE，DEEB，且PEEB，DE，BE，PE两两互相垂直分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Exyz.设|PE|a(0a1)，则B(0,2a,0)，D(a,0,0)，C(1,1a,0)，P(0,0，a)，(0,2a，a)，(1，1,0)设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，则平面PBC的一个法向量为n(a，a,2a)，直线PD与平面PBC的夹角为30，且(a,0，a)，sin 30，a2(舍)或a.平面PBC的一个法向量为n.易知平面PDE的一个法向量为m(0,1,0)，设所求的锐二面角为，则cos ，所以sin ，即平面PDE与平面PBC所成的锐二面角的正弦值为.规律方法利用向量计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐(钝)二面角(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小 (2019南昌重点中学联考)如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线AC将ACD折起，使得点D在平面ABC内的射影恰好落在边AB上(1)求证：平面ACD平面BCD；(2)当2时，求二面角DACB的余弦值解(1)证明：如图，设点D在平面ABC内的射影为点E，连接DE，则DE平面ABC，所以DEBC.因为四边形ABCD是矩形，所以ABBC，所以BC平面ABD，所以BCAD又ADCD，所以AD平面BCD，而AD平面ACD，所以平面ACD平面BCD(2)以点B为原点，线段BC所在的直线为x轴，线段AB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示设ADa，则AB2a，所以A(0，2a,0)，C(a,0,0)由(1)知ADBD，又2，所以DBA30，DAB60，所以AEADcosDABa，BEABAEa，DEADsinDABa，所以D，所以，(a,2a,0)设平面ACD的法向量为m(x，y，z)，则即取y1，则x2，z，所以m.因为平面ABC的一个法向量为n(0,0,1)，所以cosm，n.所以二面角DACB的余弦值为.1(2018全国卷)如图所示，在三棱锥PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O为AC的中点(1)证明：PO平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM夹角的正弦值解(1)证明：因为APCPAC4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP2.连接OB因为ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OBAC2.由OP2OB2PB2知POOB由OPOB，OPAC，OBACO，知PO平面ABC.(2)如图，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.由已知得O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，(0,2,2)取平面PAC的一个法向量(2,0,0)设M(a,2a,0)(0a2)，则(a,4a,0)设平面PAM的法向量为n(x，y，z)由n0，n0得可取n(a4)，a，a)，所以cos，n.由已知可得|cos，n|，所以，解得a4(舍去)或a，所以n.又(0,2，2)，所以cos，n.所以PC与平面PAM夹角的正弦值为.2(2016全国卷)如图所示，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB5，AC6，点E，F分别在AD，CD上，AECF，EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置，OD.(1)证明：DH平面ABCD；(2)求二面角BDAC的正弦值解(1)证明：由已知得ACBD，ADCD又由AECF得，故ACEF.因此EFHD，从而EFDH.由AB5，AC6得DOBO4.由EFAC得.所以OH1，DHDH3.于是DH2OH2321210DO2，故DHOH.又DHEF，而OHEFH，所以DH平面ABCD(2)如图，以H为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系Hxyz，则H(0,0,0)，A(3，1,0)，B(0，5,0)，C(3，1,0)，D(0,0,3)，(3，4,0)，(6,0,0)，(3,1,3)设m(x1，y1，z1)是平面ABD的法向量，则即所以可取m(4,3，5)设n(x2，y2，z2)是平面ACD的法向量，则即所以可取n(0，3,1)于是cosm，n，sinm，n.因此二面角BDAC的正弦值是.- 12 -
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