2020版高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第6节 正弦定理、余弦定理及其应用教学案 理（含解析）北师大版

第六节正弦定理、余弦定理及其应用考纲传真1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题1正弦、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC的外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容2R.a2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C.变形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)abcsin Asin Bsin C；(3)2R.cos A；cos B；cos C.2.三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的高)；(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A；(3)Sr(abc)(r为内切圆半径)3实际问题中的常用角(1)仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫做仰角，目标视线在水平视线下方的角叫做俯角(如图1)(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30、北偏西45、西偏北60等(3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如点B的方位角为(如图2)(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数1在ABC中，ABabsin Asin B2三角形中的射影定理在ABC中，abcos Cccos B；bacos Cccos A；cbcos Aacos B3内角和公式的变形(1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C.4在ABC中，若acos Abcos B，则ABC是等腰三角形或直角三角形基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比()(2)在ABC中，若sin Asin B，则AB()(3)在ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素()(4)当b2c2a20时，ABC为锐角三角形；当b2c2a20时，ABC为直角三角形；当b2c2a20时，ABC为钝角三角形()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，B，a1，则b()A2B1C. DD由得b2.3(教材改编)在ABC中，若a18，b24，A45，则此三角形有()A无解 B两解C一解 D解的个数不确定Bbsin A24sin 4512，121824，即bsin AaB此三角形有两解4在ABC中，sin Asin Bsin C324，则cos C的值为()A. BC DD由题意可知abc324，不妨设a3k，b2k，c4k，则cos C.5在ABC中，a2，c，B30，则SABC_；b_.1SABCacsin B2.由b2a2c22accos B434cos 301，得b1.利用正、余弦定理解三角形【例1】(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面积为，求ABC的周长解(1)由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，即2cos Csin(AB)sin C，故2sin Ccos Csin C.可得cos C，所以C.(2)由已知得absin C.又C，所以ab6.由已知及余弦定理得a2b22abcos C7，故a2b213，从而(ab)225，所以ab5(负值舍去)所以ABC的周长为5.规律方法解三角形的常见题型及求解方法(1)已知两角A，B与一边a，由ABC及，可先求出角C及b，再求出c.(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2b2c22bccos A，先求出a，再求出角B，C.(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理可求出另一边b的对角B，由C(AB)，可求出角C，再由可求出c，而通过求角B时，可能有一解或两解或无解的情况 (1)(2018重庆二模)在ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若(ab)(sin Asin B)c(sin Csin B)，则角A等于()A.BC. D(2)如图，在ABC中，已知点D在边AB上，AD3DB，cos A，cosACB，BC13.求cos B的值；求CD的长(1)D由正弦定理可得(ab)(ab)c(cb)，即b2c2a2bc，由余弦定理可得cos A，又A(0，)，则A，故选D(2)解在ABC中，因为cos A，A(0，)，所以sin A.同理可得sinACB.所以cos Bcos(AACB)cos(AACB)sin AsinACBcos AcosACB.在ABC中，由正弦定理得，ABsinACB20.又AD3DB，所以BDAB5，又在BCD中，由余弦定理得CD 9.判断三角形的形状【例2】(1)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，(bca)(bca)3bc，则ABC的形状为()A直角三角形 B等腰非等边三角形C等边三角形 D钝角三角形(2)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cacos B(2ab)cos A，则ABC的形状为()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形(1)C(2)D(1)，bc.又(bca)(bca)3bc，b2c2a2bc，cos A.A(0，)，A，ABC是等边三角形(2)因为cacos B(2ab)cos A，C(AB)，所以由正弦定理得sin Csin Acos B2sin Acos Asin B cos A，所以sin Acos Bcos Asin Bsin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，所以cos A(sin Bsin A)0，所以cos A0或sin Bsin A，所以A或BA或BA(舍去)，所以ABC为等腰或直角三角形规律方法判定三角形形状的方法(1)化边：通过因式分解，配方等得边的相对应关系(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用ABC这个结论 (1)已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，则该三角形的形状是()A直角三角形 B等腰三角形C等边三角形 D钝角三角形(2)在ABC中，内角A，B，C所对边分别是a，b，c，若sin2，则ABC的形状一定是_(1)A(2)直角三角形(1)因为，由正弦定理得，所以sin 2Asin 2B由，可知ab，所以AB又A，B(0, )，所以2A1802B，即AB90，所以C90，于是ABC是直角三角形(2)由题意，得，即cos B，又由余弦定理，得，整理得a2b2c2，所以ABC为直角三角形与三角形有关的最值(范围)问题【例3】(2019广州调研)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2，acos B(2cb)cos A.(1)求角A的大小；(2)求ABC的周长的最大值解(1)法一：由已知，得acos Bbcos A2ccos A.由正弦定理，得sin Acos Bsin Bcos A2sin Ccos A，即sin(AB)2sin Ccos A.因为sin(AB)sin(C)sin C，所以sin C2sin Ccos A.因为sin C0，所以cos A.因为0A，所以A.法二：由已知及余弦定理，得a(2cb)，即b2c2a2bc，所以cos A.因为0A，所以A.(2)法一：由余弦定理a2b2c22bccos A，得bc4b2c2，即(bc)23bc4.因为bc2，所以(bc)2(bc)24，即bc4(当且仅当bc2时等号成立)，所以abc6.故ABC的周长的最大值为6.法二：因为，且a2，A，所以bsin B，csin C.所以abc2(sin Bsin C)2sin Bsin24sin.因为0B，所以当B时，abc取得最大值6.故ABC的周长的最大值为6.规律方法求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题，一般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解 (1)(2018郑州一模)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccos B2ab，若ABC的面积Sc，则ab的最小值为()A28 B36C48 D56(2)(2019河北五校联考)在ABC中，AB2，C，则ACBC的最大值为()A. B2C3 D4(1)C(2)D(1)在ABC中，2ccos B2ab，由正弦定理，得2sin Ccos B2sin Asin B又A(BC)，所以sin Asin(BC)sin(BC)，所以2sin Ccos B2sin(BC)sin B2sin Bcos C2cos Bsin Csin B，得2sin Bcos Csin B0，因为sin B0，所以cos C，又0C，所以C.由Scabsin Cab，得c.由余弦定理得，c2a2b22abcos Ca2b2ab2abab3ab(当且仅当ab时取等号)，所以23ab，得ab48，所以ab的最小值为48，故选C.(2)C，ABC，AB.由正弦定理，得4，BC4sin A，AC4sin B，ACBC4sin B4sin A4sin4sin A2cos A6sin A4sin(A)，当A2k(kZ)时，ACBC取得最大值，为4.故选D解三角形的实际应用【例4】(1)江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m.(2)某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45，距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105的方向，以10海里/时的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以10海里/时的速度前去营救，则舰艇的航向为北偏东_(1)10(2)75(1)如图，过炮台顶部A作水平面的垂线，垂足为B，设A处观测小船C的俯角为45，设A处观测小船D的俯角为60，连接BC，BDRtABC，ACB45，可得BCAB30 m，RtABD中，ADB60，可得BD10 m，在BCD中，BC30 m，BD10 m，CBD30，由余弦定理可得：CD2BC2BD22BCBDcos 30300，CD10 m.(2)如图所示，设所需时间为t小时，则AB10t，CB10t，在ABC中，根据余弦定理，则有AB2AC2BC22ACBCcos 120，可得(10t)2102(10t)221010tcos 120.整理得2t2t10，解得t1或t(舍去)，舰艇需1小时靠近渔船，此时AB10，BC10.在ABC中，由正弦定理得，sinCAB.CAB30.所以舰艇航向为北偏东75.规律方法利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的一般思路：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，根据条件列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.100由题意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300 m.在RtBCD中，CDBCtan 30300100(m)1(2018全国卷)在ABC中，cos ，BC1，AC5，则AB()A4BC. D2A因为cos ，所以cos C2cos2 1221.于是，在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C521225132，所以AB4.故选A.2.(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为，则C()A. BC. DC因为SABCabsin C，所以absin C由余弦定理a2b2c22abcos C，得2abcos C2absin C，即cos Csin C，所以在ABC中，C.故选C.3(2016全国卷)在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cos A()A. BC DC法一：设ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则由题意得SABCaaacsin B，ca.由余弦定理得b2a2c22accos Ba2a22aaa2，ba.cos A.故选C.法二：同法一得ca.由正弦定理得sin Csin A, 又B，sin Csinsin A，即cos Asin Asin A，tan A3，A为钝角又1tan2A，cos2A，cos A.故选C.4(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A，cos C，a1，则b_.因为A，C为ABC的内角，且cos A，cos C，所以sin A，sin C，所以sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.又a1，所以由正弦定理得b.5.(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知ABC的面积为.(1)求sin Bsin C；(2)若6cos Bcos C1，a3，求ABC的周长解(1)由题设得acsin B，即csin B.由正弦定理得sin Csin B.故sin Bsin C.(2)由题设及(1)得cos Bcos Csin Bsin C，即cos(BC).所以BC，故A.由题意得bcsin A，a3，所以bc8.由余弦定理得b2c2bc9，即(bc)23bc9.由bc8，得bc.故ABC的周长为3.- 12 -