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第十二节定积分与微积分基本定理考纲传真1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义1定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点i(i1,2，n)，作和式sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn.当每个小区间的长度x趋于0时，s的值趋于一个常数A.我们称常数A叫作函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dxA.在f(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式(2)定积分的几何意义图形阴影部分面积Sf(x)dxSf(x)dxSf(x)dxf(x)dxSf(x)dxg(x)dxf(x)g(x)dx2定积分的性质(1)1dxba；(2)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)；(3)f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx；(4)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)3微积分基本定理如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)F(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)，这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿莱布尼茨公式通常称F(x)是f(x)的一个原函数为了方便，常把F(b)F(a)记作F(x)|，即f(x)dxF(x)|F(b)F(a)函数f(x)在闭区间a，a上连续，则有(1)若f(x)为偶函数，则af(x)dx2f(x)dx.(2)若f(x)为奇函数，则af(x)dx0.基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)设函数yf(x)在区间a，b上连续，则f(x)dxf(t)dt.()(2)定积分一定是曲边梯形的面积()(3)若f(x)dx0，那么由yf(x)的图像，直线xa，直线xb以及x轴所围成的图形一定在x轴下方()答案(1)(2)(3)2.exdx的值等于()AeB1eCe1 D(e1)Cexdxexe1.3(教材改编)已知质点的速率v10t，则从t0到tt0质点所经过的路程是()A10tB5tC.tDtBSt00vdtt0010tdt5t2|t005t.4(教材改编)曲线yx2与直线yx所围成的封闭图形的面积为_如图，阴影部分的面积即为所求由得A(1,1)故所求面积为S(xx2)dx.5.dx_.dx表示曲线y与直线x1，x1及x轴围成的曲边梯形的面积，故dx.定积分的计算1(2019玉溪模拟)计算dx的值为()A.Bln 2C.ln 2 D3ln 2Bdx2ln 2ln 2.故选B2(2018吉林三模)|x1|dx()A1 B2C3 DD|x1|dx(1x)dx1.3设f(x)则f(x)dx等于()A. BC. D不存在C如图，f(x)dxx2dx(2x)dxx3.4.(sin xcos x)dx_.2(sin xcos x)dx(-cos x-sin x)|1+12.规律方法1.运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点(1)对被积函数要先化简，再求积分(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分(4)注意用“F(x)f(x)”检验积分的对错2根据定积分的几何意义，可利用面积求定积分定积分的几何意义【例1】(1)(2019皖南八校联考)用mina，b表示a，b两个数中的最小值，设f(x)min，则由函数f(x)的图像，x轴与直线x和直线x2所围成的封闭图形的面积为_(2)(2019黄山模拟)已知曲线yx2与直线ykx(k0)所围成的曲边图形的面积为，则k_.(1)ln 2(2)2(1)由题意，围成的封闭图形如图中阴影部分，由题意，Sdxdxx1ln xln 2ln 2，故答案为ln 2.(2)由得或则曲线yx2与直线ykx(k0)所围成的曲边梯形的面积为(kxx2)dx|k3，即k38，所以k2.规律方法利用定积分求平面图形面积的步骤(1)根据题意画出图形.(2)借助图形确定被积函数，求交点坐标，确定积分的上、下限.(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和.(4)计算定积分，写出答案.易错警示：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数.当图形的边界不同时，要分不同情况讨论. (1)曲线yx2，y与x轴所围成的面积为_(2)如图所示，由抛物线yx24x3及其在点A(0，3)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积为_(1)(2)(1)如图所示，由y及yx2可得交点横坐标为x1.由定积分的几何意义可知，由y，yx2及x轴所围成的封闭图形的面积为dx(x2)dxx|.(2)由yx24x3，得y2x4，y|x04，y|x32，抛物线在A点处的切线方程为y4x3，在B点处的切线方程为y2x6，联立方程解得两切线交点的横坐标为，定积分在物理中的应用【例2】(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A125ln 5B825lnC425ln 5 D450ln 2(2)(2019渭南模拟)一物体在变力F(x)5x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30方向作直线运动，则由x1运动到x2时，F(x)做的功为()A. J B JC. J D2 J(1)C(2)C(1)由v(t)73t0，可得t4，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s，此期间行驶的距离为v(t)dtdt |425ln 5.(2)变力F在位移方向上的分力为Fcos 30，故F(x)做的功为W(5x2)cos 30dx(5x2)dx5xx3.规律方法定积分在物理中的两个应用(1)求物体变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为vv(t)，那么从时刻ta到tb所经过的路程sv(t)dt.(2)变力做功，一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从xa运动到xb时，力F(x)所做的功是WF(x)dx. 物体A以速度v3t21(t的单位：s，v的单位：m/s)在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5 m处以v10t(t的单位：s，v的单位：m/s)的速度与A同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A的出发地的距离是_m.130设A追上B时，所用的时间为t0，则SASB5，即t00(3t21)dtt00(10t)dt5，(t3t)t005t5tt05(t1)即t05，SA5t55525130(m)- 7 -
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