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第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式考纲传真1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2 cos2 1，tan ；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式1同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2cos21；(2)商数关系：tan .2诱导公式组序一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin sin sin cos cos_余弦cos cos cos cos_sin sin 正切tan tan tan tan_口诀函数名不变，符号看象限函数名改变符号看象限1同角三角函数关系式的常用变形(sin cos )212sin cos ；sin tan cos .2诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若，为锐角，则sin2cos21.()(2)若R，则tan 恒成立()(3)sin()sin 成立的条件是为锐角()(4)若sin(k)(kZ)，则sin .()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)已知是第二象限角，sin ，则cos 等于()ABC.DBsin ，是第二象限角，cos .3化简sin 690的值是()A. B C. DBsin 690sin(72030)sin 30.选B4已知tan 2，则的值为_tan 2，.5化简sin()cos(2)的结果为_sin2原式(sin )cos sin2 .同角三角函数基本关系式的应用1已知sin cos ，且，则cos sin 的值为()ABC DB，cos 0，sin 0且cos sin ，cos sin 0.又(cos sin )212sin cos 12，cos sin .故选B2(2016全国卷)若tan ，则cos22sin 2()A. BC1 DA因为tan ，则cos22sin 2.故选A.3已知sin cos ，(0，)，则sin cos 的值是_将sin cos 两边平方得(sin cos )212sin cos ，所以2sin cos 0，所以(sin cos )212sin cos ，因为(0，)，所以sin 0，cos 0，所以，即sin cos 0，所以sin cos .规律方法同角三角函数关系式及变形公式的应用方法(1)利用sin2cos21可以实现角的正弦、余弦的互化，利用tan 可以实现角的弦切互化(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，利用(sin cos )212sin cos ，可以知一求二(3)注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.诱导公式的应用【例】(1)已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3xy0上，则等于()A BC0 D(2)已知为锐角，且2tan()3cos50，tan()6sin()10，则sin 的值是()A.BC. D(3)已知cosa，则cossin的值是_(1)B(2)C(3)0(1)由题可知tan 3，原式.(2)化简得解之得tan 3.为锐角，由方程组得sin .(3)因为coscoscosa，sinsincosa，所以cossin0.规律方法1.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了2含2整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2的整数倍的三角函数式中可直接将2的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5)cos()cos . (1)(2019湖北八校联考)已知sin()，则tan的值为()A2 B2C. D2(2)已知A(kZ)，则A的值构成的集合是()A1，1,2，2 B1,1C2，2 D1，1,0,2，2(3)(2017北京高考)在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称若sin ，则sin _.(1)D(2)C(3)(1)sin()，sin ，则cos ，tan2.故选D(2)当k为偶数时，A2；当k为奇数时，A2.所以A的值构成的集合是2，2(3)由角与角的终边关于y轴对称，可知2k(kZ)，所以2k(kZ)，所以sin sin .1(2017全国卷)已知sin cos ，则sin 2()A BC. DAsin cos ，(sin cos )212sin cos 1sin 2，sin 2.故选A.2.(2016全国卷)已知是第四象限角，且sin，则tan_.由题意知sin，是第四象限角，所以cos0，所以cos.tantan.- 7 -
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