2020版高考数学一轮复习 第5章 数列 第1节 数列的概念与简单表示法教学案 理（含解析）北师大版

第一节数列的概念与简单表示法考纲传真1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数1数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列an的第n项an通项公式数列an的第n项an与n之间的关系能用公式anf(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列an中，Sna1a2an叫做数列的前n项和2.数列的表示方法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和解析法3an与Sn的关系若数列an的前n项和为Sn，则an4数列的分分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an1an其中nN*递减数列an1an常数列an1an求数列的最大(小)项，一般可以利用数列的单调性，即用(n2，nN*)或(n2，nN*)求解，也可以转化为函数的最值问题或利用数形结合思想求解基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列()(2)一个数列中的数是不可以重复的()(3)所有数列的第n项都能使用公式表达()(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个()答案(1)(2)(3)(4)2已知数列，下列各数中是此数列中的项的是()A.BC.DB该数列的通项an，结合选项可知B正确3设数列an的前n项和Snn2，则a8的值为()A15 B16 C49 D64Aa8S8S7827215.故选A.4(教材改编)在数列an中，a11，an1(n2)，则a5等于()A. B C. DDa11，a21112；a311；a41123；a511.5根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an_.5n4an是以1为首项，5为公差的等差数列，an1(n1)55n4.由an与Sn的关系求通项公式1已知数列an的前n项和为Snn2n3，则数列an的通项公式an_.当n1时，a1S13.又当n2时，anSnSn1n2n3n.an2若数列an的前n项和Snan，则an的通项公式an_.(2)n1由Snan得当n2时，Sn1an1，anSnSn1anan1.即an2an1，(n2)又a1S1a1，a11.数列an是以首项为1，公比为2的等比数列，an(2)n1.3已知数列an满足a12a23a34a4nan3n22n1，求an.解设a12a23a34a4nanTn，当n1时，a1T13122112，当n2时，nanTnTn13n22n13(n1)22(n1)16n5，因此an，显然当n1时，不满足上式故数列的通项公式为an规律方法已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1S1求出a1.(2)用n1替换Sn中的n得出Sn1，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式(3)看a1是否符合n2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应写成分段的形式易错警示：利用anSnSn1求通项时，应注意n2这一前提条件，易忽视验证n1致误由递推关系式求数列的通项公式【例1】分别求出满足下列条件的数列的通项公式(1)a12，an1an3n2(nN*)；(2)a11，anan1(n2，nN*)；(3)a11，an13an2(nN*)解(1)an1an3n2，anan13n1(n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)当n1时，a1(311)2符合公式，ann2.(2)当n2，nN*时，ana11n，当n1时，也符合上式，该数列的通项公式为ann.(3)an13an2，an113(an1)，又a11，a112，故数列an1是首项为2，公比为3的等比数列，an123n1，因此an23n11.规律方法由数列的递推关系求通项公式的常用方法(1)已知a1，且anan1f(n)，可用“累加法”求an.(2)已知a1(a10)，且f(n)，可用“累乘法”求an.(3)已知a1，且an1qanb，则an1kq(ank)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为ank为等比数列易错警示：本题(1)，(2)中常见的错误是忽视验证a1是否适合所求式 (1)在数列an中，a12，an1anln，则an等于()A2ln n B2(n1)ln nC2nln n D1nln n(2)若a11，an13an3n1，则an_.(1)A(2)n3n23n1(1)an1anlnln，a2a1ln，a3a2ln，anan1ln，n2，a2a1a3a2anan1lnln n，ana1ln nan2ln n(n2)将n1代入检验有a12ln 12与已知符合，故an2ln n.(2)因为an13an3n1，所以1，所以1，又，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列所以(n1)n，所以ann3n23n1.数列的性质【例2】(1)已知数列an满足an1，若a1，则a2 018()A1BC1D2(2)已知数列an满足：a11，an1(nN*)，若bn1(n)，b1，且数列bn是递增数列，则实数的取值范围是()A(2，) B(3，)C(，2) D(，3)(3)已知数列an满足an(nN*)，则数列an的最小项是第_项(1)D(2)C(3)5(1)由a1，an1，得a22，a31，a4，a52，于是可知数列an是以3为周期的周期数列，因此a2 018a36722a22.(2)由an1，知1，即12，所以数列是首项为12，公比为2的等比数列，所以12n，所以bn1(n)2n，因为数列bn是递增数列，所以bn1bn(n)2n(n1)2n1(n1)2n10对一切正整数n恒成立，所以n1，因为nN*，所以2，故选C.(3)因为an，所以数列an的最小项必为an0，即0,3n160，从而n.又nN*，所以当n5时，an的值最小规律方法1.解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值2判断数列单调性的二种方法(1)作差比较法：比较an1an与0的大小(2)作商比较法：比较与1的大小，注意an的符号3求数列最大项或最小项的方法(1)利用不等式组(n2)找到数列的最大项；(2)利用不等式组(n2)找到数列的最小项 (1)已知an，那么数列an是()A递减数列B递增数列C常数列 D摆动数列(2)数列an的通项公式是an(n1)n，则此数列的最大项是第_项(3)若ann2kn4且对于nN*，都有an1an成立，则实数k的取值范围是_(1)B(2)9或10(3)(3，)(1)an1，将an看作关于n的函数，nN*，易知an是递增数列(2)an1an(n2)n1(n1)nn，当n9时，an1an0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an，该数列中有最大项，且最大项为第9,10项(3)由an1an知该数列是一个递增数列，又通项公式ann2kn4，(n1)2k(n1)4n2kn4，即k12n，又nN*，k3.1(2018全国卷)记Sn为数列an的前n项和若Sn2an1，则S6_.63因为Sn2an1，所以当n1时，a12a11，解得a11，当n2时，anSnSn12an1(2an11)，所以an2an1，所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an2n1，所以S663.2(2015全国卷)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.an1Sn1Sn，an1SnSn1，Sn1SnSnSn1.Sn0，1，即1.又1，是首项为1，公差为1的等差数列1(n1)(1)n，Sn.3(2014全国卷)数列an满足an1，a82，则a1_.an1，a82，a7，a61，a52，an是周期为3的数列，a8a322a22.而a2，a1.- 8 -