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第一节函数及其表示考纲传真1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用1函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：AB如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)和它对应集合A与B存在着对应关系f，对于集合A中的每一个元素x，集合B中总有唯一的元素y与之对应名称把对应关系f叫作定义在集合A上的函数称这种对应为从集合A到集合B的映射记法函数yf(x)，xA映射：f：AB2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：数集A叫作函数的定义域；函数值的集合f(x)|xA叫作函数的值域(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法3分段函数若函数在其定义域内，对于定义域的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集常用结论简单函数定义域的类型(1)f(x)为分式型函数时，分式分母不为零；(2)f(x)为偶次根式型函数时，被开方式非负；(3)f(x)为对数型函数时，真数为正数、底数为正且不为1；(4)若f(x)x0，则定义域为x|x0；(5)指数函数的底数大于0且不等于1；(6)正切函数ytan x的定义域为xxk，kZ.基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数是特殊的映射()(2)函数y1与yx0是同一个函数()(3)f(x)是一个函数()答案(1)(2)(3)2(教材改编)函数y的定义域为()A.B(，3)(3，)C.(3，) D(3，)C由题意知解得x且x3.3(教材改编)若函数yf(x)的定义域为Mx|2x2，值域为Ny|0y2，则函数yf(x)的图像可能是()AB C DBMx|2x2，Ny|0y2，yf(x)图像只可能是B.4下列各组函数中，表示同一函数的是()Af(x)与g(x)Bf(x)|x|与g(x)()2Cf(x)与g(x)x1Df(x)x0与g(x)D在选项A中，由f(x)x与g(x)|x|的对应法则不同；对于选项B，f(x)|x|的定义域为R ，g(x)()2的定义域为x|x0，故定义域不同；在选项C中，f(x)的定义域为xR|x1，而g(x)x1的定义域为R，故两函数的定义域不同；对于选项D，f(x)x01(x0)，g(x)1(x0)，定义域和对应法则都相同，故选D.5(教材改编)已知函数f(x)则f(1)_；若f(a)5，则a_.51f(1)5.当a0时，由f(a)a24a5可知a1；当a0时，由f(a)a24a5得a1.综上可知a1.函数的定义域【例1】(1)在下列函数中，其定义域和值域分别与函数y10lg x的定义域和值域相同的是()AyxBylg xCy2x Dy(2)若函数yf(x)的定义域是0,2 018，则函数g(x)的定义域是()A1,2 017 B1,1)(1,2 017C0,2 018 D1,1)(1,2 018(1)D(2)B(1)y10lg xx，定义域与值域均为(0，)yx的定义域和值域均为R；ylg x的定义域为(0，)，值域为R；y2x的定义域为R，值域为(0，)；y的定义域与值域均为(0，)故选D.(2)令tx1，则由已知函数yf(x)的定义域为0，2 018可知f(t)中0t2 018，故要使函数f(x1)有意义，则0x12 018，解得1x2 017，故函数f(x1)的定义域为1,2 017所以函数g(x)有意义的条件是解得1x1或1x2 017.故函数g(x)的定义域为1,1)(1,2 017规律方法(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍.(2)求抽象函数的定义域：若yf(x)的定义域为(a，b)，则解不等式ag(x)b即可求出yf(g(x)的定义域；若yf(g(x)的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域.(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解. (1)函数f(x)lg(3x1)的定义域是()A.B.C. D.(2)已知函数f(2x)的定义域为1,1，则f(x)的定义域为_(1)A(2)(1)由题意可知解得x1，故选A.(2)f(2x)的定义域为1,1，2x2，即f(x)的定义域为.求函数的解析式【例2】(1)已知fx2，求f(x)的解析式；(2)已知flg x，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是二次函数且f(0)2，f(x1)f(x)x1，求f(x)的解析式；(4)已知f(x)2fx(x0)，求f(x)的解析式解(1)由于fx222，令tx，当x0时，t22，当且仅当x1时取等号；当x0时，t2，当且仅当x1时取等号，f(t)t22，t(，22，)综上所述，f(x)的解析式是f(x)x22，x(，22，)(2)令1t，由于x0，t1且x，f(t)lg，即f(x)lg(x1)(3)设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)2，得c2，f(x1)f(x)a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即2axabx1，即f(x)x2x2.(4)f(x)2fx，f2f(x).联立方程组解得f(x)(x0)规律方法求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式.(3)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(4)消元法：已知关于f(x)与f或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x). (1)已知f(x)是一次函数，且ff(x)x2，则f(x)()Ax1 B2x1Cx1 Dx1或x1(2)定义在(1,1)内的函数f(x)满足2f(x)f(x)lg(x1)，则f(x)_.(1)A(2)lg(x1)lg(1x)，x(1,1)(1)设f(x)kxb(k0)，又ff(x)x2，得k(kxb)bx2，即k2xkbbx2.k21，且kbb2，解得kb1，则f(x)x1.(2)当x(1,1)时，有2f(x)f(x)lg(x1)将x换成x，则x换成x，得2f(x)f(x)lg(x1)由消去f(x)得，f(x)lg(x1)lg(1x)，x(1,1)分段函数考法1求分段函数的函数值【例3】已知函数f(x)则ff_.8由题可得flog 2，因为log20，所以f2log266，故ff8.考法2已知分段函数的函数值求参数【例4】(2017山东高考)设f(x)若f(a)f(a1)，则f()A2 B4C6 D8Cf(a)f(a1)，或即或a，ff(4)6.考法3解与分段函数有关的方程或不等式【例5】(2019福州模拟)设函数f(x)若f(x0)1，则x0的取值范围是_(0,2)(3，)f(x)且f(x0)1，此不等式转化为或即或解之得0x02或x03.x0的取值范围是(0,2)(3，)规律方法(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于定义域的哪一个子集，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值.(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.易错警示：当分段函数自变量的范围不确定时，应分类讨论. (1)已知函数f(x)则f_；(2)函数f(x)若f(a)a，则实数a的取值范围是_(1)log3 2(2)1，)(1)flog32，ff(2)f(22)f(0)f(02)f(2)，f(2)log3 2，ff(2)log3 2.(2)当a0时，由f(a)a1a，解得a2，即a0；当a0时，由f(a)a，解得1a1，即1a0.综上所述，实数a的取值范围是1，)1(2015全国卷)设函数f(x)则f(2)f(log212)()A3B6C9 D12C21，f(log212)2log21216.f(2)f(log212)369.故选C.2(2017全国卷)设函数f(x)则满足f(x)f1的x的取值范围是_当x0时，原不等式为x1x1，解得x，x0.当01，显然成立当x时，原不等式为2x2x1，显然成立综上可知，x的取值范围是.- 8 -
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