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第八节函数与方程考纲传真结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数1函数的零点(1)定义：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)0有实根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(3)零点存在性定理：如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0(a，b)，使得f(x0)0.2二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210常用结论1f(a)f(b)0是连续函数yf(x)在闭区间a，b上有零点的充分不必要条件2若函数f(x)在a，b上是单调函数，且f(x)的图象连续不断，则f(a)f(b)0函数f(x)在区间a，b上只有一个零点基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0，则函数f(x)在a，b上有且只有一个零点()(4)二次函数yax2bxc在b24ac0时没有零点()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)函数f(x)ln x2x6的零点所在的区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,3) D(3,4)C由题意得f(1)ln 12640，f(2)ln 246ln 220，f(3)ln 366ln 30，f(4)ln 486ln 420，f(x)的零点所在的区间为(2,3)3(教材改编)已知函数yf(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：x123456y124.4337424.536.7123.6则函数yf(x)在区间1,6上的零点至少有()A2个 B3个C4个 D5个Bf(2)f(3)0，f(3)f(4)0，f(4)f(5)0，故函数f(x)在区间1,6内至少有3个零点4函数f(x)xx的零点有_个1如图所示，函数f(x)xx的零点有1个5函数f(x)ax12a在区间(1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是_函数f(x)的图象为直线，由题意可得f(1)f(1)0，(3a1)(1a)0，解得a1，实数a的取值范围是.判断函数零点所在的区间1函数f(x)ln x的零点所在的区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3) D(3,4)B由题意知函数f(x)是增函数，因为f(1)0，f(2)ln 2ln 2ln 0，所以函数f(x)的零点所在的区间是(1,2)故选B.2若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内D(，a)和(c，)内Aabc，f(a)(ab)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(ca)(cb)0，由函数零点存在性判定定理可知：在区间(a，b)(b，c)内分别存在一个零点；又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.3已知函数f(x)ln x2x6的零点在(kZ)内，那么k_.5f(x)20，x(0，)，f(x)在x(0，)上单调递增，且fln 10，f(3)ln 30，f(x)的零点在内，则整数k5.规律方法判断函数零点所在区间的方法(1)解方程，当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上来判断.(2)利用零点存在性定理进行判断.(3)数形结合画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间内是否有交点来判断.判断函数零点的个数【例1】(1)函数f(x)的零点个数为()A0 B1C2 D3(2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)exx3，则f(x)的零点个数为()A1 B2C3 D4(1)D(2)C依题意，在考虑x0时可以画出函数yln x与yx22x的图象(如图)，可知两个函数的图象有两个交点，当x0时，函数f(x)2x1与x轴只有一个交点，综上，函数f(x)有3个零点故选D.(2)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)0，即x0是函数f(x)的1个零点当x0时，令f(x)exx30，则exx3，分别画出函数yex和yx3的图象，如图所示，两函数图象有1个交点，所以函数f(x)有1个零点根据对称性知，当x0时，函数f(x)也有1个零点综上所述，f(x)的零点个数为3.规律方法函数零点个数的判断方法(1)直接求零点，令f(x)0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数. (1)函数f(x)2x|log0.5 x|1的零点个数为()A1 B2C3 D4(2)已知函数f(x)若f(0)2，f(1)1，则函数g(x)f(x)x的零点个数为_(1)B(2)3(1)令f(x)2x|log0.5x|10，可得|log0.5x|x.设g(x)|log0.5x|，h(x)x.在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点故选B.(2)依题意得由此解得由g(x)0得f(x)x0，该方程等价于或解得x2，解得x1或x2.因此，函数g(x)f(x)x的零点个数为3.函数零点的应用【例2】(1)设函数f(x)exx2，g(x)ln xx23.若实数a，b满足f(a)0，g(b)0，则()Ag(a)0f(b) Bf(b)0g(a)C0g(a)f(b) Df(b)g(a)0(2)已知函数f(x)其中m0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_(1)A(2)(3，)(1)f(x)exx2，f(x)ex10，则f(x)在R上为增函数，又f(0)e020，f(1)e10，且f(a)0，0a1.g(x)ln xx23，g(x)2x.当x(0，)时，g(x)0，g(x)在(0，)上为增函数，又g(1)ln 1220，g(2)ln 210，且g(b)0，1b2，ab，故选A.(2)画出f(x)的草图如图所示，若存在实数b，使得f(x)b有3个不同的根，则4mm2m，即m23m0，又m0，解得m3.规律方法已知函数有零点求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解. (1)已知函数f(x)exx，g(x)ln xx，h(x)ln x1的零点依次为a，b，c，则()Aabc BcbaCcab Dbac(2)函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A(1,3) B(1,2)C(0,3) D(0,2)(1)A(2)C(1)在同一坐标系中，画出函数yex，yln x与yx，y1的图象如图所示由图可知abc，故选A.(2)函数f(x)2xa在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)f(2)0，(a)(41a)0，即a(a3)0，0a3.1(2018全国卷)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A1,0)B0，)C1，) D1，)C函数g(x)f(x)xa存在2个零点，即关于x的方程f(x)xa有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线yxa有2个交点，作出直线yxa与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，a1，解得a1，故选C.2(2017全国卷)已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则a()A B.C. D1C法一：f(x)x22xa(ex1ex1)(x1)2aex1e(x1)1，令tx1，则g(t)f(t1)t2a(etet)1.g(t)(t)2a(etet)1g(t)，函数g(t)为偶函数f(x)有唯一零点，g(t)也有唯一零点又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)0，2a10，解得a.故选C.法二：f(x)0a(ex1ex1)x22x.ex1ex122，当且仅当x1时取“”又x22x(x1)211，当且仅当x1时取“”若a0，则a(ex1ex1)2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a1，即a.若a0，则f(x)的零点不唯一故选C.- 7 -
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