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第五节指数与指数函数考纲传真1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景.3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,3,10，的指数函数的图像.4.体会指数函数是一类重要的函数模型1有理指数幂(1)分数指数幂正分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)；负分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)；0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的运算性质arasars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)2指数函数的图像与性质图像a10a1定义域R值域(0，)性质过定点(0,1)当x0时，y1；当x0时，0y1当x0时，0y1；当x0时，y1在R上是增函数在R上是减函数常用结论1指数函数图像的画法画指数函数yax(a0，且a1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.2指数函数的图像与底数大小的比较如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图像，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为cd1ab0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数yax(a0，a1)的图像越高，底数越大3指数函数yax(a0，a1)的图像和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a1与0a1来研究基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)()na.()(2)(1)(1).()(3)函数yax21(a1)的值域是(0，)()(4)若aman(a0且a1)，则mn.()答案(1)(2)(3)(4)2函数yax12(a0，且a1)的图像恒过点的坐标为()A(2,2)B(2,4)C(1,2) D(1,3)D令x10得x1，此时y123，故选D.3设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是()Aabc BacbCbac DbcaCy0.6x在R上是减函数，又0.61.5，0.60.60.61.5，又yx0.6为R上的增函数，1.50.60.60.6，1.50.60.60.60.61.5.即cab.4(教材改编)函数f(x)21x的大致图像为() AB CDAf(x)21xx1，又f(0)2，f(1)1，故排除B，C，D，故选A.5(教材改编)计算：4a原式ab4a1b04a.指数幂的运算1化简(x0，y0)的正确结果是()A2x2yB2xyC4x2y D2x2yDx0，y0，2x2y，选D.2计算022(0.01)_.原式11.3.ab2(3ab1)(4ab3)_.原式2abababab.规律方法指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算.(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数.(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.指数函数的图像及应用【例1】(1)函数f(x)axb的图像如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()Aa1，b0Ba1，b0C0a1，b0D0a1，b0(2)若曲线y|2x1|与直线yb有两个公共点，则b的取值范围为_(1)D(2)(0,1)由f(x)axb的图像可以观察出，函数f(x)axb在定义域上递减，所以0a1，函数f(x)axb的图像是在yax的基础上向左平移得到的，所以b0.(2)曲线y|2x1|与直线yb的图像如图所示，由图像可得，如果曲线y|2x1|与直线yb有两个公共点，则b的取值范围是(0,1)规律方法(1)与指数函数有关的函数图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称、翻折变换得到其图像.(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解. (1)函数f(x)1e|x|的图像大致是() AB C D(2)已知实数a，b满足等式2 018a2 019b，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的关系式有()A1个 B2个C3个 D4个(1)A(2)B(1)易知f(x)是偶函数，且f(0)0，从而排除选项B，C，D，故选A.(2)作出y2 018x及y2 019x的图像如图所示，由图可知ab0，ab0或ab0时，有2 018a2 019b，故不可能成立，故选B.指数函数的性质及应用【例2】(1)下列各式比较大小正确的是()A1.72.51.73 B0.610.62C0.80.11.250.2 D1.70.30.93.1(2)(2019承德模拟)若函数f(x)ax22x3的值域是，则f(x)的递增区间是_(3)已知函数f(x)x，若f(a)2，则f(a)_.(1)B(2)(，1(3)2(1)A中，因为函数y1.7x在R上是增函数，2.53，所以1.72.51.73.B中，因为y0.6x在R上是减函数，12，所以0.610.62.C中，因为0.811.25，所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小因为y1.25x在R上是增函数，0.10.2，所以1.250.11.250.2，即0.80.11.250.2.D中，因为1.70.31,00.93.11，所以1.70.30.93.1.(2)令g(x)ax22x3，由于f(x)的值域为，所以g(x)的值域为2，)因此解得a1.g(x)x22x3，f(x)x22x3，由于g(x)在(，1上是减函数，故f(x)的递增区间为(，1(3)令g(x)，则g(x)1g(x)，即g(x)为奇函数，f(x)xg(x)为偶函数，又f(a)2，f(a)f(a)2.规律方法(1)比较指数式的大小的方法是：能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.易错警示：在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论. (1)如果函数ya2x2ax1(a0，且a1)在区间1,1上的最大值是14，那么a的值为()A. B1C3 D.或3(2)当x(，1时，不等式(m2m)4x2x0恒成立，则实数m的取值范围是_(1)D(2)(1,2)(1)令axt，则yt22t1(t1)22.当a1时，因为x1,1，所以t，又函数y(t1)22在上递增，所以ymax(a1)2214，解得a3.当0a1时，因为x1,1，所以t，又函数y(t1)22在上递增，则ymax2214，解得a.综上知a3或a.(2)(m2m)4x2x0在(，1上恒成立，m2mx在(，1上恒成立由于f(x)x在(，1上是减函数，且f(x)min12.故由m2m2得1m2.- 7 -
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